Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Varietà topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilità. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.

2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.

3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare è localmente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Moebius non è orientabile.

4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali è contenuta in un piano o in una sfera.

5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e interpretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.

6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). http://dx.doi.org/10.1007/b98853

[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).

[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).

[4] M. Abate, F. Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

I numeri complessi; le funzioni olomorfe e Cauchy_Riemann. Qualche esempio di mappa olomorfa; la sfera di Riemann e il punto all'infinito. Varie proprieta' delle trasformazioni lineari fratte. Integrale di una funzione olomorfa lungo una curva; indice di una curva rispetto a un punto. Teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; formula di Cauchy. Il teorema di Liouville. Principio della media, principio del massimo e principio d'identita' delle funzioni olomorfe. Il limite quasi-uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo. Il lemma di Schwarz e gli automorfismi del disco. La metrica di Poincare' sul disco e le sue geodetiche. Le serie di Laurent; la forma generale del teorema di Cauchy. Teorema della singolarita' rimuovibile; poli e singolarita' essenziali; Casorati-Weierstrass. La produttoria di Eulero per il seno. Le funzioni meromorfe. Indicatore logaritmico e teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; il limite quasi uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo; la formula d'inversione di Lagrange. Le funzioni armoniche; la proprieta' della media, il principio del massimo e il problema di Dirichlet; il nucleo di Poisson; le funzioni continue con la proprieta' della media sono armoniche. Il principio di riflessione di Schwarz. Il prolungamento analitico. La formula di Jensen per gli zeri di una funzione olomorfa. Famiglie normali e compattezza per la convergenza quasi-uniforme. Il teorema della mappa di Riemann. Quando due anelli sono conformemente equivalenti. Il piccolo teorema di Picard. Funzioni olomorfe e fluidodinamica.

W. Rudin, Real and complex Analysis, McGraw-Hill.

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

1. Teoria delle distribuzioni

Definizione e convergenza distribuzionale.
Derivata distribuzionale.
Spazi di distribuzioni.
Convoluzioni.
Spazio di Schwartz, distribuzioni temperate.
Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate.
Spazi di Sobolev e operatori pseudo-differenziali.

2. Applicazione a equazioni di Schrödinger

Equazione di Schrödinger lineare, effetti di smoothing locale e globale.
Equazione di Schrödinger nonlineare, teoria locale in L^2, H^1, H^2.
Risultati asintotici e formazione di singolarità per NLS.

Bony - Cours d'analyse, Théorie des distributions et analyse de Fourier
Ponce, Linares - Introduction to nonlinear dispersive equations

Classificazione dei rivestimenti topologici tramite il gruppo fondamentale.
Categorie.
Complessi simpliciali astratti e geometrici.
Omologia singolare e simpliciale.
Coomologia.
Teoremi di dualità .
Analisi dei dati.

Allen Hatcher: Algebraic topology Cambridge University press.
Vidit Nanda: Computational Algebraic Topology - Lecture notes
Lucia Caporaso : Lezioni di topologia

Definizione di superfici di Riemann come varieta' complesse di dimensione uno ed esempi. Proprieta' topologiche delle superfici di Riemann. Funzioni olomorfe e meromorfe. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: proprieta' locali, ramificazione e diramazione, grado, formula di Hurwitz.
Il campo delle funzioni meromorfe. Tori complessi: classificazione, funzioni theta, automorfismi. Le superfici di Riemann iperellittiche: definizione e funzioni meromorfe. 0-Forme (1-Forme, 2-Forme) differenziali su aperti di ℂ: (1,0)-forme, (0,1)-forme, forme olomorfe e forme meromorfe.
Operazioni sulle forme differenziali: restrizione, moltiplicazione per funzioni, prodotto wedge, differenziale di forme, pull-back lungo mappe olomorfe.
Integrazione di 1-forme lungo 1-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema fondamentale del calcolo, Funtorialita'. Integrazione di 2-forme lungo 2-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema di Stokes, Funtorialita'. Residuo e ordine di 1-forme meromorfe. Teorema dei residui su superfici di Riemann compatte. Il gruppo Div(X) dei divisori su X. Il divisore principale div(f) associato ad una funzione meromorfa f. La relazione di equivalenza lineare tra divisori e l'insieme delle classi di divisori Div(X)/PDiv(X). Il divisore canonico div(ω) associato ad una 1-forma meromorfa. Il grado di divisori su superfici di Riemann compatte: il grado dei divisori principali e' zero, il grado dei divisori canonici e' 2g-2. Esempi: divisori canonici sulla sfera di Riemann e sui tori complessi. Il pull-back di divisori lungo una mappa olomorfa F:X→Y. I divisori sulla retta proiettiva: due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado. I divisori sui tori complessi: la mappa di Abel-Jacobi; due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado e la stessa immagine tramite tramite la mappa di Abel-Jacobi. I divisori sulle curve proiettive piane: divisori di intersezione e loro proprieta' (formula di Bezout). Applicazione: la formula di Plucker per il genere delle curve proiettive piane. Spazi di funzioni associati a divisori: lo spazio L(D) e sue proprieta'. Proposizione: L(D) ha dimensione finita per superfici di Riemann compatte. Lo spazio lineare completo |D| associato ad un divisore e la mappa ℙ(L(D))→|D|. Spazi di 1-forme associati a divisori: lo spazio L^1(D) e sue proprieta'. Proposizione: l'isomorfismo L(D+K)≅L^1(D), per un divisore canonico K
Gli spazi L(D) sulla retta proiettiva e sui tori complessi. Mappe olomorfe verso spazi proiettivi e sistemi lineari senza punti base. Immersione in spazi proiettivi e sistemi lineari molto ampi. Curve proiettive lisce e loro proprieta'. Teorema di Riemann-Roch: dim(L(D))−dim(L(K−D))=deg(D)+1−g.
Le tre interpretazioni del genere: genere topologico, g=dim(Ω^1X) e g=deg(K)/2+1
Applicazioni: ogni divisore di grado almeno 2g (risp. 2g+1) e' senza punti base (risp. molto ampi); ogni superficie di Riemann compatta di genere 0 e' isomorfa alla retta proiettiva; ogni superficie di Riemann di genere uno e' isomorfa ad una cubica piana liscia.
Il sistema lineare canonico e' senza punti base se il genere e' positivo e molto ampio per superfici di Riemann non iperellittiche. La mappa canonica per X sup. di Riemann di genere almeno due: e' un'immersione olomorfa se X non e' iperellittica e un mappa di grado due su una curva razionale normale se X e' iperellittica. Forma geometrica del Teorema di Riemann-Roch per sup. di Riemann non iperellittiche. Conseguenze: la dimensione del sistema lineare completo associato ad un divisore effettivo.

R. Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

Basic Linear Algebra:
Hilbert Spaces, Products and Tensor Products, Matrices, Complex Spaces and Inner Products, Matrices, Graphs, and Sums Over Paths.
Boolean Functions, Quantum Bits, and Feasibility:
Feasible Boolean Functions, Quantum Representation of Boolean Arguments Quantum Feasibility.
Special Matrices:
Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Reversible Computation and Permutation Matrices, Feasible Diagonal Matrices, Reflections. Tricks: Start Vectors, Controlling and Copying Base States, The Copy-Uncompute Trick, Superposition Tricks, Flipping a Switch, Measurement Tricks, Partial Transforms.
Algorithms:
Phil’s Algorithm: Phil Measures Up, Quantum Mazes versus Circuits versus Matrices.
Deutsch’s Algorithm: Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.
QuantumWalks:
Classical Random Walks, Random Walks and Matrices, Defining Quantum Walks, Interference and Diffusion.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press;

Moto Browniano: Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker.

Integrazione stocastica: Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale. Equazioni differenziali stocastiche. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Esercizi.

Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf

An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure, osservabili e relazione di indeterminazione. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Problemi unidimensionali. Parità. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Zanichelli

- Introduzione al calcolo parallelo e distribuito
- Concetti base: architetture hardware e gerarchie di memorie
- Il linguaggio C
- Modelli di programmazione parallela
- MPI: Message Passing Interface
- Calcolo parallelo con OpenMP: Open Multiprocessing
- Input/Output parallelo
- Introduzione alla programmazione general-purpose su Graphics Processing Unit (GPU)
- CUDA e OpenCL

Introduction to Parallel Computing: From Algorithms to Programming on State-of-the-Art Platforms, Trobec, Slivnik, Bulić, Robič, Springer

Programming on Parallel Machines, Norm Matloff

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Ottimizzazione di modelli. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting. Bagging.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Analisi delle componenti principali.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, e TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

Basic Linear Algebra:
Hilbert Spaces, Products and Tensor Products, Matrices, Complex Spaces and Inner Products, Matrices, Graphs, and Sums Over Paths.
Boolean Functions, Quantum Bits, and Feasibility:
Feasible Boolean Functions, Quantum Representation of Boolean Arguments Quantum Feasibility.
Special Matrices:
Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Reversible Computation and Permutation Matrices, Feasible Diagonal Matrices, Reflections. Tricks: Start Vectors, Controlling and Copying Base States, The Copy-Uncompute Trick, Superposition Tricks, Flipping a Switch, Measurement Tricks, Partial Transforms.
Algorithms:
Phil’s Algorithm: Phil Measures Up, Quantum Mazes versus Circuits versus Matrices.
Deutsch’s Algorithm: Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.
QuantumWalks:
Classical Random Walks, Random Walks and Matrices, Defining Quantum Walks, Interference and Diffusion.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press;

Moto Browniano: Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker.

Integrazione stocastica: Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale. Equazioni differenziali stocastiche. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Esercizi.

Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf

An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. L' anello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.
6. Completamwenti di anelli.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

M. Nielsen,
Neural Networks and Deep Learning (free online book)
http://neuralnetworksanddeeplearning.com

Various authors,
Distill, dedicated to clear explanations of machine learning
https://distill.pub

Dimostrazioni (Sequent Proofs)
***************************************
Deduzione Naturale (ND)

Il Calcolo dei Sequenti per la Logica Intuizionista (LJ) e Logica Classia (LK)

L'eliminazione dei Tagli per LJ ed LK

Il calcolo dei sequenti della Logica Lineare (LL)

Il teorema di Eliminazione dei Tagli per LL

Il Teorema di Focalizzazione delle dimostrazioni di LL

Reti dimostrative (Proof Nets)
*************************************
(stutture dimostrative, correttezza, normalizzazione, adeguatezza, sequenzializzazione, focalizzazione, complessità)

Reti puramente moltiplicative

Reti moltplicative-additive

Reti moltiplicative-esponenziali

Semantica Denotazionale

APPUNTI E SLIDES DISPONIBILI SULLA PAGINA WEB DEL CORSO
https://sites.google.com/view/lm510/

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Il teorema di Hahn-Banach; i teoremi dell'applicazione aperta, del grafico chiuso e di uniforme limitatezza. Toplogie deboli, teorema di Banach-Alaoglu e riflessività. Operatori lineari continui e il teorema spettrale per gli operatori compatti autoaggiunti. Spazi di Sobolev e problemi ellittici in una dimensione. Il teorema spettrale per gli operatori unitari.

H. Brezis, Analisi funzionale.

W. Rudin, Functional Analysis.

Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^n
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.

Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.

Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).

Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.

Richiami di teoria elementare dei gruppi. Prodotti semidiretti. Gruppi di pemutazioni. Gruppi semplici. Azione di un gruppo su un insieme. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati. Gruppi liberi. Gruppi nilpotenti e risolubili. Rappresentazioni lineari di gruppi.

'Gruppi' di A. Machì, Springer

Introduzione alla Teoria algebrica dei numeri:
Anelli degli interi in campi di numeri e fattorizzazione unica degli ideali.
Valori assoluti in un campo di numeri.

Altezza di Weil e Misura di Mahler:
Definizioni e proprietà.
Formula del prodotto.
Teorema di Northcott.
Teorema di Kroneker.

Equazioni di Thue:
Teorema di Thue sull’approssimazione diofantea.
Lemma di Siegel.
Le equazioni di Thue hanno un numero finito di soluzioni intere.

Dinamica aritmetica:
Punti (pre)periodici.
L’altezza canonica.
Funzioni razionali.

Equazioni diofantee in radici dell’unità:
Richiami sulle radici dell’unità e polinomi ciclotomici.
Il Teorema di Ihara-Serre-Tate.

Equidistribuzione:
Definizioni ed esempi.
Il Teorema di Bilu.
La congettura di Bogomolov.

Dispense fornite dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Non ci sono testi in italiano
D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov. Successioni di variabili aleatorie.
Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto. Misura invariante, timereversal e reversibilit`a.

2. Esempi e modelli classici. Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita
e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis
e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi
interagenti.

3. Convergenza all’equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi
ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema
del ‘coupon collector’ e al mescolamento di un mazzo di carte.

4. Convergenza all’equilibrio II. Convergenza in norma L2. Gap spettrale e stime
dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger.

5. Catene di Markov a tempo continuo. Processo di Poisson. Q-matrici e probabilit`a di transizione a tempo continuo. Generatore infinitesimale di una catena di
Markov a tempo continuo. Costruzione esplicita e rappresentazione grafica.

6. Conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della ‘comparazione’. Gap spettrale per il processo di Bernoulli-Laplace
e per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all’equilibrio in
termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche.

7. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di
fase dinamica per il modello di ‘campo medio’ e per il modello su reticolo. Il fenomeno
del ‘cut-off’. Algoritmi per la ‘simulazione perfetta’

Markov Chains and Mixing Times, by D. Levine, Y. Peres and E. Wilmer, AMS 2009 - disponibile online pdf
An introduction to Markov processes, by D. Stroock, Springer 2013
Markov Chains, by J.R. Norris, Cambridge University Press 2006
Lectures on finite Markov chains, by L. Saloff-Coste, Lecture Notes in Math. 1665, pp.301-413 (1997).

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F Cesarone (2020), Computational Finance. MATLAB oriented modeling, Routledge-Giappichelli Studies in Business and Management, ISBN 978-0-367-49303-5
https://www.giappichelli.it/computational-finance

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Non ci sono testi in italiano
D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

- Basi di biologia molecolare (acidi nucleici, struttura delle proteine, dogma centrale).
- Richiami di teoria della probabilità (distribuzioni di probabilità, regola di Bayes, random walk).
- Allineamento di sequenze: scoring matrices, allineamento globale e locale (metodi di programmazione dinamica, algoritmo BLAST).
- Alberi filogenetici: metodi basati sulle distanze (alberi ultrametrici e additivi), metodi probabilistici (massima verosimiglianza, metodi bayesiani).
- Genetica della popolazioni: legge di Hardy-Weinberg, deriva genetica, selezione naturale.
- Reti booleane: cenni sulla regolazione genica, reti booleane asincrone, attrattori e cicli attrattivi, cicli positivi e negativi.

- Clote P., Backofen, R., Computational Molecular Biology. An Introduction, Wiley Series in Mathematical and Computational Biology, 2000.
- Allman E. S., Rhodes J. A., Mathematical Models in Biology. An Introduction, Cambridge University Press, 2004.
- Citterich M. H., Ferr ́e F., Pavesi G., Romualdi C., Pesole G., Fon- damenti di bioinformatica, Biologia Zanichelli, 2018.
- Gillespie, J., Population Genetics: a Coincise Guide, Johns Hopkins University Press, 2004.
-R uet P., Local cycles and dynamical properties of Boolean networks, Mathematical Structures in Computer Science, Volume 26, Issue 4, May 2016, pp. 702 - 718.

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Varietà topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilità. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.

2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.

3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare è localmente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Moebius non è orientabile.

4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali è contenuta in un piano o in una sfera.

5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e interpretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.

6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). http://dx.doi.org/10.1007/b98853

[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).

[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).

[4] M. Abate, F. Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

I numeri complessi; le funzioni olomorfe e Cauchy_Riemann. Qualche esempio di mappa olomorfa; la sfera di Riemann e il punto all'infinito. Varie proprieta' delle trasformazioni lineari fratte. Integrale di una funzione olomorfa lungo una curva; indice di una curva rispetto a un punto. Teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; formula di Cauchy. Il teorema di Liouville. Principio della media, principio del massimo e principio d'identita' delle funzioni olomorfe. Il limite quasi-uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo. Il lemma di Schwarz e gli automorfismi del disco. La metrica di Poincare' sul disco e le sue geodetiche. Le serie di Laurent; la forma generale del teorema di Cauchy. Teorema della singolarita' rimuovibile; poli e singolarita' essenziali; Casorati-Weierstrass. La produttoria di Eulero per il seno. Le funzioni meromorfe. Indicatore logaritmico e teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; il limite quasi uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo; la formula d'inversione di Lagrange. Le funzioni armoniche; la proprieta' della media, il principio del massimo e il problema di Dirichlet; il nucleo di Poisson; le funzioni continue con la proprieta' della media sono armoniche. Il principio di riflessione di Schwarz. Il prolungamento analitico. La formula di Jensen per gli zeri di una funzione olomorfa. Famiglie normali e compattezza per la convergenza quasi-uniforme. Il teorema della mappa di Riemann. Quando due anelli sono conformemente equivalenti. Il piccolo teorema di Picard. Funzioni olomorfe e fluidodinamica.

W. Rudin, Real and complex Analysis, McGraw-Hill.

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

1. Teoria delle distribuzioni

Definizione e convergenza distribuzionale.
Derivata distribuzionale.
Spazi di distribuzioni.
Convoluzioni.
Spazio di Schwartz, distribuzioni temperate.
Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate.
Spazi di Sobolev e operatori pseudo-differenziali.

2. Applicazione a equazioni di Schrödinger

Equazione di Schrödinger lineare, effetti di smoothing locale e globale.
Equazione di Schrödinger nonlineare, teoria locale in L^2, H^1, H^2.
Risultati asintotici e formazione di singolarità per NLS.

Bony - Cours d'analyse, Théorie des distributions et analyse de Fourier
Ponce, Linares - Introduction to nonlinear dispersive equations

Classificazione dei rivestimenti topologici tramite il gruppo fondamentale.
Categorie.
Complessi simpliciali astratti e geometrici.
Omologia singolare e simpliciale.
Coomologia.
Teoremi di dualità .
Analisi dei dati.

Allen Hatcher: Algebraic topology Cambridge University press.
Vidit Nanda: Computational Algebraic Topology - Lecture notes
Lucia Caporaso : Lezioni di topologia

Definizione di superfici di Riemann come varieta' complesse di dimensione uno ed esempi. Proprieta' topologiche delle superfici di Riemann. Funzioni olomorfe e meromorfe. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: proprieta' locali, ramificazione e diramazione, grado, formula di Hurwitz.
Il campo delle funzioni meromorfe. Tori complessi: classificazione, funzioni theta, automorfismi. Le superfici di Riemann iperellittiche: definizione e funzioni meromorfe. 0-Forme (1-Forme, 2-Forme) differenziali su aperti di ℂ: (1,0)-forme, (0,1)-forme, forme olomorfe e forme meromorfe.
Operazioni sulle forme differenziali: restrizione, moltiplicazione per funzioni, prodotto wedge, differenziale di forme, pull-back lungo mappe olomorfe.
Integrazione di 1-forme lungo 1-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema fondamentale del calcolo, Funtorialita'. Integrazione di 2-forme lungo 2-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema di Stokes, Funtorialita'. Residuo e ordine di 1-forme meromorfe. Teorema dei residui su superfici di Riemann compatte. Il gruppo Div(X) dei divisori su X. Il divisore principale div(f) associato ad una funzione meromorfa f. La relazione di equivalenza lineare tra divisori e l'insieme delle classi di divisori Div(X)/PDiv(X). Il divisore canonico div(ω) associato ad una 1-forma meromorfa. Il grado di divisori su superfici di Riemann compatte: il grado dei divisori principali e' zero, il grado dei divisori canonici e' 2g-2. Esempi: divisori canonici sulla sfera di Riemann e sui tori complessi. Il pull-back di divisori lungo una mappa olomorfa F:X→Y. I divisori sulla retta proiettiva: due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado. I divisori sui tori complessi: la mappa di Abel-Jacobi; due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado e la stessa immagine tramite tramite la mappa di Abel-Jacobi. I divisori sulle curve proiettive piane: divisori di intersezione e loro proprieta' (formula di Bezout). Applicazione: la formula di Plucker per il genere delle curve proiettive piane. Spazi di funzioni associati a divisori: lo spazio L(D) e sue proprieta'. Proposizione: L(D) ha dimensione finita per superfici di Riemann compatte. Lo spazio lineare completo |D| associato ad un divisore e la mappa ℙ(L(D))→|D|. Spazi di 1-forme associati a divisori: lo spazio L^1(D) e sue proprieta'. Proposizione: l'isomorfismo L(D+K)≅L^1(D), per un divisore canonico K
Gli spazi L(D) sulla retta proiettiva e sui tori complessi. Mappe olomorfe verso spazi proiettivi e sistemi lineari senza punti base. Immersione in spazi proiettivi e sistemi lineari molto ampi. Curve proiettive lisce e loro proprieta'. Teorema di Riemann-Roch: dim(L(D))−dim(L(K−D))=deg(D)+1−g.
Le tre interpretazioni del genere: genere topologico, g=dim(Ω^1X) e g=deg(K)/2+1
Applicazioni: ogni divisore di grado almeno 2g (risp. 2g+1) e' senza punti base (risp. molto ampi); ogni superficie di Riemann compatta di genere 0 e' isomorfa alla retta proiettiva; ogni superficie di Riemann di genere uno e' isomorfa ad una cubica piana liscia.
Il sistema lineare canonico e' senza punti base se il genere e' positivo e molto ampio per superfici di Riemann non iperellittiche. La mappa canonica per X sup. di Riemann di genere almeno due: e' un'immersione olomorfa se X non e' iperellittica e un mappa di grado due su una curva razionale normale se X e' iperellittica. Forma geometrica del Teorema di Riemann-Roch per sup. di Riemann non iperellittiche. Conseguenze: la dimensione del sistema lineare completo associato ad un divisore effettivo.

R. Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

Basic Linear Algebra:
Hilbert Spaces, Products and Tensor Products, Matrices, Complex Spaces and Inner Products, Matrices, Graphs, and Sums Over Paths.
Boolean Functions, Quantum Bits, and Feasibility:
Feasible Boolean Functions, Quantum Representation of Boolean Arguments Quantum Feasibility.
Special Matrices:
Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Reversible Computation and Permutation Matrices, Feasible Diagonal Matrices, Reflections. Tricks: Start Vectors, Controlling and Copying Base States, The Copy-Uncompute Trick, Superposition Tricks, Flipping a Switch, Measurement Tricks, Partial Transforms.
Algorithms:
Phil’s Algorithm: Phil Measures Up, Quantum Mazes versus Circuits versus Matrices.
Deutsch’s Algorithm: Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.
QuantumWalks:
Classical Random Walks, Random Walks and Matrices, Defining Quantum Walks, Interference and Diffusion.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press;

Moto Browniano: Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker.

Integrazione stocastica: Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale. Equazioni differenziali stocastiche. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Esercizi.

Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf

An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure, osservabili e relazione di indeterminazione. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Problemi unidimensionali. Parità. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Zanichelli

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

- Introduzione al calcolo parallelo e distribuito
- Concetti base: architetture hardware e gerarchie di memorie
- Il linguaggio C
- Modelli di programmazione parallela
- MPI: Message Passing Interface
- Calcolo parallelo con OpenMP: Open Multiprocessing
- Input/Output parallelo
- Introduzione alla programmazione general-purpose su Graphics Processing Unit (GPU)
- CUDA e OpenCL

Introduction to Parallel Computing: From Algorithms to Programming on State-of-the-Art Platforms, Trobec, Slivnik, Bulić, Robič, Springer

Programming on Parallel Machines, Norm Matloff

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Ottimizzazione di modelli. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting. Bagging.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Analisi delle componenti principali.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, e TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

Basic Linear Algebra:
Hilbert Spaces, Products and Tensor Products, Matrices, Complex Spaces and Inner Products, Matrices, Graphs, and Sums Over Paths.
Boolean Functions, Quantum Bits, and Feasibility:
Feasible Boolean Functions, Quantum Representation of Boolean Arguments Quantum Feasibility.
Special Matrices:
Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Reversible Computation and Permutation Matrices, Feasible Diagonal Matrices, Reflections. Tricks: Start Vectors, Controlling and Copying Base States, The Copy-Uncompute Trick, Superposition Tricks, Flipping a Switch, Measurement Tricks, Partial Transforms.
Algorithms:
Phil’s Algorithm: Phil Measures Up, Quantum Mazes versus Circuits versus Matrices.
Deutsch’s Algorithm: Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.
QuantumWalks:
Classical Random Walks, Random Walks and Matrices, Defining Quantum Walks, Interference and Diffusion.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press;

Moto Browniano: Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker.

Integrazione stocastica: Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale. Equazioni differenziali stocastiche. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Esercizi.

Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf

An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. L' anello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.
6. Completamwenti di anelli.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

M. Nielsen,
Neural Networks and Deep Learning (free online book)
http://neuralnetworksanddeeplearning.com

Various authors,
Distill, dedicated to clear explanations of machine learning
https://distill.pub

Dimostrazioni (Sequent Proofs)
***************************************
Deduzione Naturale (ND)

Il Calcolo dei Sequenti per la Logica Intuizionista (LJ) e Logica Classia (LK)

L'eliminazione dei Tagli per LJ ed LK

Il calcolo dei sequenti della Logica Lineare (LL)

Il teorema di Eliminazione dei Tagli per LL

Il Teorema di Focalizzazione delle dimostrazioni di LL

Reti dimostrative (Proof Nets)
*************************************
(stutture dimostrative, correttezza, normalizzazione, adeguatezza, sequenzializzazione, focalizzazione, complessità)

Reti puramente moltiplicative

Reti moltplicative-additive

Reti moltiplicative-esponenziali

Semantica Denotazionale

APPUNTI E SLIDES DISPONIBILI SULLA PAGINA WEB DEL CORSO
https://sites.google.com/view/lm510/

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Il teorema di Hahn-Banach; i teoremi dell'applicazione aperta, del grafico chiuso e di uniforme limitatezza. Toplogie deboli, teorema di Banach-Alaoglu e riflessività. Operatori lineari continui e il teorema spettrale per gli operatori compatti autoaggiunti. Spazi di Sobolev e problemi ellittici in una dimensione. Il teorema spettrale per gli operatori unitari.

H. Brezis, Analisi funzionale.

W. Rudin, Functional Analysis.

Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^n
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.

Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.

Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).

Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.

Richiami di teoria elementare dei gruppi. Prodotti semidiretti. Gruppi di pemutazioni. Gruppi semplici. Azione di un gruppo su un insieme. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati. Gruppi liberi. Gruppi nilpotenti e risolubili. Rappresentazioni lineari di gruppi.

'Gruppi' di A. Machì, Springer

Introduzione alla Teoria algebrica dei numeri:
Anelli degli interi in campi di numeri e fattorizzazione unica degli ideali.
Valori assoluti in un campo di numeri.

Altezza di Weil e Misura di Mahler:
Definizioni e proprietà.
Formula del prodotto.
Teorema di Northcott.
Teorema di Kroneker.

Equazioni di Thue:
Teorema di Thue sull’approssimazione diofantea.
Lemma di Siegel.
Le equazioni di Thue hanno un numero finito di soluzioni intere.

Dinamica aritmetica:
Punti (pre)periodici.
L’altezza canonica.
Funzioni razionali.

Equazioni diofantee in radici dell’unità:
Richiami sulle radici dell’unità e polinomi ciclotomici.
Il Teorema di Ihara-Serre-Tate.

Equidistribuzione:
Definizioni ed esempi.
Il Teorema di Bilu.
La congettura di Bogomolov.

Dispense fornite dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Non ci sono testi in italiano
D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F Cesarone (2020), Computational Finance. MATLAB oriented modeling, Routledge-Giappichelli Studies in Business and Management, ISBN 978-0-367-49303-5
https://www.giappichelli.it/computational-finance

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Non ci sono testi in italiano
D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

- Basi di biologia molecolare (acidi nucleici, struttura delle proteine, dogma centrale).
- Richiami di teoria della probabilità (distribuzioni di probabilità, regola di Bayes, random walk).
- Allineamento di sequenze: scoring matrices, allineamento globale e locale (metodi di programmazione dinamica, algoritmo BLAST).
- Alberi filogenetici: metodi basati sulle distanze (alberi ultrametrici e additivi), metodi probabilistici (massima verosimiglianza, metodi bayesiani).
- Genetica della popolazioni: legge di Hardy-Weinberg, deriva genetica, selezione naturale.
- Reti booleane: cenni sulla regolazione genica, reti booleane asincrone, attrattori e cicli attrattivi, cicli positivi e negativi.

- Clote P., Backofen, R., Computational Molecular Biology. An Introduction, Wiley Series in Mathematical and Computational Biology, 2000.
- Allman E. S., Rhodes J. A., Mathematical Models in Biology. An Introduction, Cambridge University Press, 2004.
- Citterich M. H., Ferr ́e F., Pavesi G., Romualdi C., Pesole G., Fon- damenti di bioinformatica, Biologia Zanichelli, 2018.
- Gillespie, J., Population Genetics: a Coincise Guide, Johns Hopkins University Press, 2004.
-R uet P., Local cycles and dynamical properties of Boolean networks, Mathematical Structures in Computer Science, Volume 26, Issue 4, May 2016, pp. 702 - 718.

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Varietà topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilità. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.

2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.

3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare è localmente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Moebius non è orientabile.

4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali è contenuta in un piano o in una sfera.

5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e interpretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.

6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). http://dx.doi.org/10.1007/b98853

[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).

[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).

[4] M. Abate, F. Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

I numeri complessi; le funzioni olomorfe e Cauchy_Riemann. Qualche esempio di mappa olomorfa; la sfera di Riemann e il punto all'infinito. Varie proprieta' delle trasformazioni lineari fratte. Integrale di una funzione olomorfa lungo una curva; indice di una curva rispetto a un punto. Teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; formula di Cauchy. Il teorema di Liouville. Principio della media, principio del massimo e principio d'identita' delle funzioni olomorfe. Il limite quasi-uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo. Il lemma di Schwarz e gli automorfismi del disco. La metrica di Poincare' sul disco e le sue geodetiche. Le serie di Laurent; la forma generale del teorema di Cauchy. Teorema della singolarita' rimuovibile; poli e singolarita' essenziali; Casorati-Weierstrass. La produttoria di Eulero per il seno. Le funzioni meromorfe. Indicatore logaritmico e teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; il limite quasi uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo; la formula d'inversione di Lagrange. Le funzioni armoniche; la proprieta' della media, il principio del massimo e il problema di Dirichlet; il nucleo di Poisson; le funzioni continue con la proprieta' della media sono armoniche. Il principio di riflessione di Schwarz. Il prolungamento analitico. La formula di Jensen per gli zeri di una funzione olomorfa. Famiglie normali e compattezza per la convergenza quasi-uniforme. Il teorema della mappa di Riemann. Quando due anelli sono conformemente equivalenti. Il piccolo teorema di Picard. Funzioni olomorfe e fluidodinamica.

W. Rudin, Real and complex Analysis, McGraw-Hill.

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

1. Teoria delle distribuzioni

Definizione e convergenza distribuzionale.
Derivata distribuzionale.
Spazi di distribuzioni.
Convoluzioni.
Spazio di Schwartz, distribuzioni temperate.
Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate.
Spazi di Sobolev e operatori pseudo-differenziali.

2. Applicazione a equazioni di Schrödinger

Equazione di Schrödinger lineare, effetti di smoothing locale e globale.
Equazione di Schrödinger nonlineare, teoria locale in L^2, H^1, H^2.
Risultati asintotici e formazione di singolarità per NLS.

Bony - Cours d'analyse, Théorie des distributions et analyse de Fourier
Ponce, Linares - Introduction to nonlinear dispersive equations

Classificazione dei rivestimenti topologici tramite il gruppo fondamentale.
Categorie.
Complessi simpliciali astratti e geometrici.
Omologia singolare e simpliciale.
Coomologia.
Teoremi di dualità .
Analisi dei dati.

Allen Hatcher: Algebraic topology Cambridge University press.
Vidit Nanda: Computational Algebraic Topology - Lecture notes
Lucia Caporaso : Lezioni di topologia

Definizione di superfici di Riemann come varieta' complesse di dimensione uno ed esempi. Proprieta' topologiche delle superfici di Riemann. Funzioni olomorfe e meromorfe. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: proprieta' locali, ramificazione e diramazione, grado, formula di Hurwitz.
Il campo delle funzioni meromorfe. Tori complessi: classificazione, funzioni theta, automorfismi. Le superfici di Riemann iperellittiche: definizione e funzioni meromorfe. 0-Forme (1-Forme, 2-Forme) differenziali su aperti di ℂ: (1,0)-forme, (0,1)-forme, forme olomorfe e forme meromorfe.
Operazioni sulle forme differenziali: restrizione, moltiplicazione per funzioni, prodotto wedge, differenziale di forme, pull-back lungo mappe olomorfe.
Integrazione di 1-forme lungo 1-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema fondamentale del calcolo, Funtorialita'. Integrazione di 2-forme lungo 2-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema di Stokes, Funtorialita'. Residuo e ordine di 1-forme meromorfe. Teorema dei residui su superfici di Riemann compatte. Il gruppo Div(X) dei divisori su X. Il divisore principale div(f) associato ad una funzione meromorfa f. La relazione di equivalenza lineare tra divisori e l'insieme delle classi di divisori Div(X)/PDiv(X). Il divisore canonico div(ω) associato ad una 1-forma meromorfa. Il grado di divisori su superfici di Riemann compatte: il grado dei divisori principali e' zero, il grado dei divisori canonici e' 2g-2. Esempi: divisori canonici sulla sfera di Riemann e sui tori complessi. Il pull-back di divisori lungo una mappa olomorfa F:X→Y. I divisori sulla retta proiettiva: due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado. I divisori sui tori complessi: la mappa di Abel-Jacobi; due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado e la stessa immagine tramite tramite la mappa di Abel-Jacobi. I divisori sulle curve proiettive piane: divisori di intersezione e loro proprieta' (formula di Bezout). Applicazione: la formula di Plucker per il genere delle curve proiettive piane. Spazi di funzioni associati a divisori: lo spazio L(D) e sue proprieta'. Proposizione: L(D) ha dimensione finita per superfici di Riemann compatte. Lo spazio lineare completo |D| associato ad un divisore e la mappa ℙ(L(D))→|D|. Spazi di 1-forme associati a divisori: lo spazio L^1(D) e sue proprieta'. Proposizione: l'isomorfismo L(D+K)≅L^1(D), per un divisore canonico K
Gli spazi L(D) sulla retta proiettiva e sui tori complessi. Mappe olomorfe verso spazi proiettivi e sistemi lineari senza punti base. Immersione in spazi proiettivi e sistemi lineari molto ampi. Curve proiettive lisce e loro proprieta'. Teorema di Riemann-Roch: dim(L(D))−dim(L(K−D))=deg(D)+1−g.
Le tre interpretazioni del genere: genere topologico, g=dim(Ω^1X) e g=deg(K)/2+1
Applicazioni: ogni divisore di grado almeno 2g (risp. 2g+1) e' senza punti base (risp. molto ampi); ogni superficie di Riemann compatta di genere 0 e' isomorfa alla retta proiettiva; ogni superficie di Riemann di genere uno e' isomorfa ad una cubica piana liscia.
Il sistema lineare canonico e' senza punti base se il genere e' positivo e molto ampio per superfici di Riemann non iperellittiche. La mappa canonica per X sup. di Riemann di genere almeno due: e' un'immersione olomorfa se X non e' iperellittica e un mappa di grado due su una curva razionale normale se X e' iperellittica. Forma geometrica del Teorema di Riemann-Roch per sup. di Riemann non iperellittiche. Conseguenze: la dimensione del sistema lineare completo associato ad un divisore effettivo.

R. Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

Basic Linear Algebra:
Hilbert Spaces, Products and Tensor Products, Matrices, Complex Spaces and Inner Products, Matrices, Graphs, and Sums Over Paths.
Boolean Functions, Quantum Bits, and Feasibility:
Feasible Boolean Functions, Quantum Representation of Boolean Arguments Quantum Feasibility.
Special Matrices:
Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Reversible Computation and Permutation Matrices, Feasible Diagonal Matrices, Reflections. Tricks: Start Vectors, Controlling and Copying Base States, The Copy-Uncompute Trick, Superposition Tricks, Flipping a Switch, Measurement Tricks, Partial Transforms.
Algorithms:
Phil’s Algorithm: Phil Measures Up, Quantum Mazes versus Circuits versus Matrices.
Deutsch’s Algorithm: Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.
QuantumWalks:
Classical Random Walks, Random Walks and Matrices, Defining Quantum Walks, Interference and Diffusion.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press;

Moto Browniano: Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker.

Integrazione stocastica: Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale. Equazioni differenziali stocastiche. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Esercizi.

Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf

An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure, osservabili e relazione di indeterminazione. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Problemi unidimensionali. Parità. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Zanichelli

- Introduzione al calcolo parallelo e distribuito
- Concetti base: architetture hardware e gerarchie di memorie
- Il linguaggio C
- Modelli di programmazione parallela
- MPI: Message Passing Interface
- Calcolo parallelo con OpenMP: Open Multiprocessing
- Input/Output parallelo
- Introduzione alla programmazione general-purpose su Graphics Processing Unit (GPU)
- CUDA e OpenCL

Introduction to Parallel Computing: From Algorithms to Programming on State-of-the-Art Platforms, Trobec, Slivnik, Bulić, Robič, Springer

Programming on Parallel Machines, Norm Matloff

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Ottimizzazione di modelli. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting. Bagging.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Analisi delle componenti principali.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, e TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

Basic Linear Algebra:
Hilbert Spaces, Products and Tensor Products, Matrices, Complex Spaces and Inner Products, Matrices, Graphs, and Sums Over Paths.
Boolean Functions, Quantum Bits, and Feasibility:
Feasible Boolean Functions, Quantum Representation of Boolean Arguments Quantum Feasibility.
Special Matrices:
Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Reversible Computation and Permutation Matrices, Feasible Diagonal Matrices, Reflections. Tricks: Start Vectors, Controlling and Copying Base States, The Copy-Uncompute Trick, Superposition Tricks, Flipping a Switch, Measurement Tricks, Partial Transforms.
Algorithms:
Phil’s Algorithm: Phil Measures Up, Quantum Mazes versus Circuits versus Matrices.
Deutsch’s Algorithm: Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.
QuantumWalks:
Classical Random Walks, Random Walks and Matrices, Defining Quantum Walks, Interference and Diffusion.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press;

Moto Browniano: Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker.

Integrazione stocastica: Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale. Equazioni differenziali stocastiche. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Esercizi.

Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf

An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. L' anello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.
6. Completamwenti di anelli.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

M. Nielsen,
Neural Networks and Deep Learning (free online book)
http://neuralnetworksanddeeplearning.com

Various authors,
Distill, dedicated to clear explanations of machine learning
https://distill.pub

Dimostrazioni (Sequent Proofs)
***************************************
Deduzione Naturale (ND)

Il Calcolo dei Sequenti per la Logica Intuizionista (LJ) e Logica Classia (LK)

L'eliminazione dei Tagli per LJ ed LK

Il calcolo dei sequenti della Logica Lineare (LL)

Il teorema di Eliminazione dei Tagli per LL

Il Teorema di Focalizzazione delle dimostrazioni di LL

Reti dimostrative (Proof Nets)
*************************************
(stutture dimostrative, correttezza, normalizzazione, adeguatezza, sequenzializzazione, focalizzazione, complessità)

Reti puramente moltiplicative

Reti moltplicative-additive

Reti moltiplicative-esponenziali

Semantica Denotazionale

APPUNTI E SLIDES DISPONIBILI SULLA PAGINA WEB DEL CORSO
https://sites.google.com/view/lm510/

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Il teorema di Hahn-Banach; i teoremi dell'applicazione aperta, del grafico chiuso e di uniforme limitatezza. Toplogie deboli, teorema di Banach-Alaoglu e riflessività. Operatori lineari continui e il teorema spettrale per gli operatori compatti autoaggiunti. Spazi di Sobolev e problemi ellittici in una dimensione. Il teorema spettrale per gli operatori unitari.

H. Brezis, Analisi funzionale.

W. Rudin, Functional Analysis.

Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^n
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.

Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.

Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).

Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.

Richiami di teoria elementare dei gruppi. Prodotti semidiretti. Gruppi di pemutazioni. Gruppi semplici. Azione di un gruppo su un insieme. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati. Gruppi liberi. Gruppi nilpotenti e risolubili. Rappresentazioni lineari di gruppi.

'Gruppi' di A. Machì, Springer

Introduzione alla Teoria algebrica dei numeri:
Anelli degli interi in campi di numeri e fattorizzazione unica degli ideali.
Valori assoluti in un campo di numeri.

Altezza di Weil e Misura di Mahler:
Definizioni e proprietà.
Formula del prodotto.
Teorema di Northcott.
Teorema di Kroneker.

Equazioni di Thue:
Teorema di Thue sull’approssimazione diofantea.
Lemma di Siegel.
Le equazioni di Thue hanno un numero finito di soluzioni intere.

Dinamica aritmetica:
Punti (pre)periodici.
L’altezza canonica.
Funzioni razionali.

Equazioni diofantee in radici dell’unità:
Richiami sulle radici dell’unità e polinomi ciclotomici.
Il Teorema di Ihara-Serre-Tate.

Equidistribuzione:
Definizioni ed esempi.
Il Teorema di Bilu.
La congettura di Bogomolov.

Dispense fornite dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Non ci sono testi in italiano
D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov. Successioni di variabili aleatorie.
Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto. Misura invariante, timereversal e reversibilit`a.

2. Esempi e modelli classici. Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita
e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis
e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi
interagenti.

3. Convergenza all’equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi
ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema
del ‘coupon collector’ e al mescolamento di un mazzo di carte.

4. Convergenza all’equilibrio II. Convergenza in norma L2. Gap spettrale e stime
dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger.

5. Catene di Markov a tempo continuo. Processo di Poisson. Q-matrici e probabilit`a di transizione a tempo continuo. Generatore infinitesimale di una catena di
Markov a tempo continuo. Costruzione esplicita e rappresentazione grafica.

6. Conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della ‘comparazione’. Gap spettrale per il processo di Bernoulli-Laplace
e per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all’equilibrio in
termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche.

7. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di
fase dinamica per il modello di ‘campo medio’ e per il modello su reticolo. Il fenomeno
del ‘cut-off’. Algoritmi per la ‘simulazione perfetta’

Markov Chains and Mixing Times, by D. Levine, Y. Peres and E. Wilmer, AMS 2009 - disponibile online pdf
An introduction to Markov processes, by D. Stroock, Springer 2013
Markov Chains, by J.R. Norris, Cambridge University Press 2006
Lectures on finite Markov chains, by L. Saloff-Coste, Lecture Notes in Math. 1665, pp.301-413 (1997).

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.