Università Roma Tre

Definizione di superfici di Riemann come varieta' complesse di dimensione uno ed esempi. Proprieta' topologiche delle superfici di Riemann. Funzioni olomorfe e meromorfe. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: proprieta' locali, ramificazione e diramazione, grado, formula di Hurwitz.
Il campo delle funzioni meromorfe. Tori complessi: classificazione, funzioni theta, automorfismi. Le superfici di Riemann iperellittiche: definizione e funzioni meromorfe. 0-Forme (1-Forme, 2-Forme) differenziali su aperti di ℂ: (1,0)-forme, (0,1)-forme, forme olomorfe e forme meromorfe.
Operazioni sulle forme differenziali: restrizione, moltiplicazione per funzioni, prodotto wedge, differenziale di forme, pull-back lungo mappe olomorfe.
Integrazione di 1-forme lungo 1-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema fondamentale del calcolo, Funtorialita'. Integrazione di 2-forme lungo 2-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema di Stokes, Funtorialita'. Residuo e ordine di 1-forme meromorfe. Teorema dei residui su superfici di Riemann compatte. Il gruppo Div(X) dei divisori su X. Il divisore principale div(f) associato ad una funzione meromorfa f. La relazione di equivalenza lineare tra divisori e l'insieme delle classi di divisori Div(X)/PDiv(X). Il divisore canonico div(ω) associato ad una 1-forma meromorfa. Il grado di divisori su superfici di Riemann compatte: il grado dei divisori principali e' zero, il grado dei divisori canonici e' 2g-2. Esempi: divisori canonici sulla sfera di Riemann e sui tori complessi. Il pull-back di divisori lungo una mappa olomorfa F:X→Y. I divisori sulla retta proiettiva: due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado. I divisori sui tori complessi: la mappa di Abel-Jacobi; due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado e la stessa immagine tramite tramite la mappa di Abel-Jacobi. I divisori sulle curve proiettive piane: divisori di intersezione e loro proprieta' (formula di Bezout). Applicazione: la formula di Plucker per il genere delle curve proiettive piane. Spazi di funzioni associati a divisori: lo spazio L(D) e sue proprieta'. Proposizione: L(D) ha dimensione finita per superfici di Riemann compatte. Lo spazio lineare completo |D| associato ad un divisore e la mappa ℙ(L(D))→|D|. Spazi di 1-forme associati a divisori: lo spazio L^1(D) e sue proprieta'. Proposizione: l'isomorfismo L(D+K)≅L^1(D), per un divisore canonico K
Gli spazi L(D) sulla retta proiettiva e sui tori complessi. Mappe olomorfe verso spazi proiettivi e sistemi lineari senza punti base. Immersione in spazi proiettivi e sistemi lineari molto ampi. Curve proiettive lisce e loro proprieta'. Teorema di Riemann-Roch: dim(L(D))−dim(L(K−D))=deg(D)+1−g.
Le tre interpretazioni del genere: genere topologico, g=dim(Ω^1X) e g=deg(K)/2+1
Applicazioni: ogni divisore di grado almeno 2g (risp. 2g+1) e' senza punti base (risp. molto ampi); ogni superficie di Riemann compatta di genere 0 e' isomorfa alla retta proiettiva; ogni superficie di Riemann di genere uno e' isomorfa ad una cubica piana liscia.
Il sistema lineare canonico e' senza punti base se il genere e' positivo e molto ampio per superfici di Riemann non iperellittiche. La mappa canonica per X sup. di Riemann di genere almeno due: e' un'immersione olomorfa se X non e' iperellittica e un mappa di grado due su una curva razionale normale se X e' iperellittica. Forma geometrica del Teorema di Riemann-Roch per sup. di Riemann non iperellittiche. Conseguenze: la dimensione del sistema lineare completo associato ad un divisore effettivo.

R. Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces.