Università Roma Tre

I numeri complessi; le funzioni olomorfe e Cauchy_Riemann. Qualche esempio di mappa olomorfa; la sfera di Riemann e il punto all'infinito. Varie proprieta' delle trasformazioni lineari fratte. Integrale di una funzione olomorfa lungo una curva; indice di una curva rispetto a un punto. Teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; formula di Cauchy. Il teorema di Liouville. Principio della media, principio del massimo e principio d'identita' delle funzioni olomorfe. Il limite quasi-uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo. Il lemma di Schwarz e gli automorfismi del disco. La metrica di Poincare' sul disco e le sue geodetiche. Le serie di Laurent; la forma generale del teorema di Cauchy. Teorema della singolarita' rimuovibile; poli e singolarita' essenziali; Casorati-Weierstrass. La produttoria di Eulero per il seno. Le funzioni meromorfe. Indicatore logaritmico e teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; il limite quasi uniforme di funzioni olomorfe e' olomorfo; la formula d'inversione di Lagrange. Le funzioni armoniche; la proprieta' della media, il principio del massimo e il problema di Dirichlet; il nucleo di Poisson; le funzioni continue con la proprieta' della media sono armoniche. Il principio di riflessione di Schwarz. Il prolungamento analitico. La formula di Jensen per gli zeri di una funzione olomorfa. Famiglie normali e compattezza per la convergenza quasi-uniforme. Il teorema della mappa di Riemann. Quando due anelli sono conformemente equivalenti. Il piccolo teorema di Picard. Funzioni olomorfe e fluidodinamica.

W. Rudin, Real and complex Analysis, McGraw-Hill.