Introduzione: Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado, anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi, estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi, il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici, campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois: Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppo di Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell'esistenza dell'elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois: Gruppi di Galois come sottogruppi di $S_n$, sottogruppi transitivi di $S_n$, caratterizzazione dell'irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in $A_n$, Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale
a $4$, esempi di polinomi con gruppo di Galois $S_p$.

Campi ciclotomici: Definizioni, gruppo di Galois, sottocampi reali massimali, sottocampi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti: Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti. Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con $p$ elementi.

Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti del piano costruibili, numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in form elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

Esempi tipici di equazioni alle derivate parziali
La forma debole dei problemi al contorno
Il metodo di Galerkin
Il Metodo degli Elementi Finiti (MEF)
Convergenza del MEF
Strutture dati e implementazione del MEF
Metodi per la soluzione dei sistemi algebrici

Mark S. Gockenbach,
Understanding and Implementing the Finite Elements Method,
SIAM 2006

MECCANICA LAGRANGIANA E MECCANICA HAMILTONIANA. PRINCIPI VARIAZIONALI. SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI. TEOREMA KAM.

[1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE:http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.
DISPONIBILE IN RETE:http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996)
[4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979)
[5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980)

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

Sotto il titolo generico del Corso si inquadreranno sia metodi asintotici
(metodi perturbativi) che metodi numerici, soprattutto per equazioni
differenziali ordinarie e alle derivate parziali, con applicazioni. Tra i primi
rientrano i cosiddetti problemi di ``perturbazione singolare''. Si
considerera anche il caso delle equazioni alle differenze. Le due categorie
di metodi, asintotici e numerici, sono in genere insegnati e utilizzati
separatamente. Qui si cerchera di ultilizzarli entrambi, anche
congiuntamente, in uno stesso problema. Si tratta infatti di due metodologie
fondamentali per la Matematica Applicata.

Metodi asintotici:

Introduzione all'analisi asintotica. Serie asintotiche. Perturbazioni
regolari e perturbazioni singolari di equazioni differenziali ordinarie e
sistemi.

Si parte dalla definizione di successione e serie asintotica (in particolare
di potenze) e delle loro propriet\`a tipiche. Si considera anche il caso di
perturbazioni di equazioni algebriche.

Si considerano poi le perturbazioni regolari di equazioni differenzaili
ordinarie, quindi le perturbazioni singolari delle medesime. Il caso di certe
equazioni alle derivate parziali e' trattato soprattutto in modo formale.

Si considera la cosiddetta approssimazione asintotica di WKB o di
Liouville-Green. Si presentano anche alcune estensioni al caso di equazioni
alle differenze.

Metodi numerici:

Risoluzione numerica, con vari metodi, di equazioni differenziali ordinarie
e sistemi, e di alcune equazioni alle derivate parziali. Questo sara' fatto
in gran parte nelle ore di Laboratorio di calcolo, utilizzando MATLAB e
Mathematica.

John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation
Theory, Lecture Notes, https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf,
2004.

R.E. O'Malley, Jr., Introduction to Singular
Perturbations, Academic Press, New York and London, 1974

D. R. Smith, Singular-Perturbation Theory. An introduction
with applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
ds and Applications, Volume 181

D. Trigiante and V. Lakshmikantham, Theory of Difference
Equations: Numerical Methods and Applications, Elsevier Science, Vol. 181,
1988.

Moto Browniano I

Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementi stazionari e indipendenti.
Definizione e propriet\`a di continuit\`a del Moto Browniano. Non-differenziabilit\`a delle traiettorie.
Propriet\`a di Markov. Propriet\`a di Markov forte e principio di riflessione.

Moto Browniano II

Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet.
Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari.
Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding.
Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni: leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.


Integrazione stocastica

Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di It\^o e applicazioni. Tempo locale e formula di Tanaka.
Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.


Equazioni differenziali stocastiche

Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione.
Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche.
Processo di diffusione nel limite di rumore nullo. Generatore infinitesimale di una diffusione e equazioni alle derivate parziali.
Formula di Feynman-Kac e applicazioni.

P. M\"orters and Y. Peres
Brownian Motion
Cambridge University Press
2010


L.C. Evans
An Introduction to Stochastic Differential Equations
AMS bookstore
2013

Introduzione: Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado, anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi, estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi, il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici, campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois: Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppo di Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell'esistenza dell'elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois: Gruppi di Galois come sottogruppi di $S_n$, sottogruppi transitivi di $S_n$, caratterizzazione dell'irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in $A_n$, Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale
a $4$, esempi di polinomi con gruppo di Galois $S_p$.

Campi ciclotomici: Definizioni, gruppo di Galois, sottocampi reali massimali, sottocampi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti: Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti. Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con $p$ elementi.

Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti del piano costruibili, numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, propriet`a di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Chuch-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.
- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] P. Dehornoy, Calculabilite et Decidabilite, (1993) Springer-Verlag (in francese);
[2] J.-L. Krivine, Lambda Calculus: Types and Models, (1993) Ellis Horwood editore.
[3] M. Sipser, An introduction to the theory of computation (2005), Course Technology.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in form elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

MECCANICA LAGRANGIANA E MECCANICA HAMILTONIANA. PRINCIPI VARIAZIONALI. SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI. TEOREMA KAM.

[1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996)
[4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979)
[5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980)

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.

Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.

Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.

5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.


6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.


Elenco Esercitazioni

Software COMSOL
C01_Heat_Equation.mph
C02_Heat_Equation_boundary_source.mph
C03_HeatEquation_conductive_interface.mph
C04_Heat_2D_Sphere.mph
C05_Heat_2D_Toro.mph
C06_Elastic_Solid.mph
C07_Convection_Diffusion_1D.mph
C08_Convection_Diffusion_2D.mph
C09_Navier_Stokes_L_Junction _2D.mph
C10_L2_norm.mph
C11_wave_1D.mph
C12_wave_2D.mph

Software Mathematica
M01_Test_Function.nb
M02_Convection_diffusion_nb

Testi adottati
1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006
Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP
Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2)
Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

4) Computational Science and Engineering
Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007
Cap 3.1, page 236~241;
Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567

MECCANICA QUANTISTICA: CRISI DELLA FISICA CLASSICA. ONDE E PARTICELLE. VETTORI DI STATO ED OPERATORI. MISURE ED OSSERVABILI. OPERATORE DI POSIZIONE. TRASLAZIONI E IMPULSO. EVOLUZIONE TEMPORALE ED EQUAZIONE DI SCHRODINGER. PARITA'. PROBLEMI UNIDIMENSIONALI. OSCILLATORE ARMONICO. SIMMETRIE E LEGGI DI CONSERVAZIONE. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO.

J.J. SAKURAI, J. NAPOLITANO. MECCANICA QUANTISTICA MODERNA. SECONDA EDIZIONE, ZANICHELLI, BOLOGNA, 2014

Struttura temporale dello scambio di importi, il capitale e l’interesse: scambio di importi, tempo, prezzo, prezzo del tempo, convenzione per misurare il tempo, contratti differiti e diritti, operazioni con scadenzario fisso, operazioni di investimento/indebitamento regolari, leggi finanziarie, la legge degli interessi semplici, la legge degli interessi composti, definizioni fondamentali basate sulla funzione valore, fattori tassi e intensità, intensità istantanea.
I contratti, lo scambio, i prezzi: prezzi sul mercato primario e secondario, alcuni tipi si contratti obbligazionari, titoli a cedola nulla (ZCB), titoli a cedola fissa (CB), rateo, corso tel quel, corso secco. I rischi: tempo,incertezza, rischio, il rischio di credito per mutui e obbligazioni,
La valutazione in condizioni di certezza:
la legge esponenziale: la funzione esponenziale come legge di equivalenza finanziaria, tassi e intensità equivalenti in legge esponenziale e lineare, valutazione di una operazione finanziaria in base alla legge esponenziale, equità, proprietà funzionali della legge esponenziale, scomposizione di operazioni finanziarie;
rendite e piani d’ammortamento: definizioni, valore attuale di rendite a rate constanti, rendita immediata posticipata di durata m, rendita perpetua posticipata, rendita immediata anticipata di durata m, rendita perpetua anticipata, rendite differite di n anni, rendita perpetua differita posticipata, rendita perpetua differita anticipata. Le operazioni di rendita nell’aspetto, rendita posticipata a rata costante, rendita anticipata a rata costante, rendita posticipata a quote capitale constanti, il piano d’ammortamento, ammortamento a rimborso unico;
tasso interno di rendimento: il caso di pagamenti periodici, teorema di Cartesio, caso di uno ZCB, caso di una operazione di investimento, caso di una operazione finanziaria composta da tre importi, caso di un CB quotato alla pari, il metodo di Newton, il TAEG;
teoria delle leggi di equivalenza finanziaria: la funzione valore in un contratto a pronti, la funzione valore in un contratto a termine, la proprietà di uniformità nel tempo, fattori di sconto e di capitalizzazione, ipotesi di coerenza tra contratti a pronti e contratti a termine, la proprietà di scindibilità, tassi e intensità di interesse, tassi equivalenti, l’intensità istantanea d’interesse, forma integrale del fattore di sconto, leggi uniformi, leggi scindibili, teorema di Cantelli, intensità di rendimento a scadenza (yield to maturity), capitalizzazione lineare e iperbolica, linearità del valore attuale.
Le operazioni finanziarie nel mercato:
funzione valore e prezzi di mercato: le ipotesi caratteristiche del mercato, mercato perfetto, il principio di non arbitraggio, la proprietà di assenza di arbitraggio, legge del prezzo unico, titocli a cedola nulla unitari, teorema di decrescenza rispetto alla scadenza, titoli a cedola nulla non unitari, teorema di indipendenza dall’importo, portafogli di ZCB con diversa scadenza, teorema di linearità del prezzo, contratti a termine (forward), teorema dei prezzi impliciti, tassi impliciti, considerazioni sugli effetti fiscali, caso dei Buoni Ordinati del Tesoro (BOT );
la struttura per scadenza dei tassi di interesse:le strutture per scadenza a pronti, le strutture per scadenza implicite, relazione di dominanza tra la struttura dei tassi impliciti e la struttura dei tassi a pronti, scadenzari discreti, scadenzari discreti con modello continuo, tasso di parità, strutture rischiose e credit spread;
indice temporali e indici di variabilità: indici temporali di flusso di pagamenti, scadenza e vita a scadenza, la duration, il caso di rendite a rate costanti, momenti del secondo ordine, duration e dispersione di portafogli, indici di variabilità di un flusso di pagamenti, analisi di sensitività del prezzo, semielasticità, elasticità, convexity, “regola del pollice”;
la misurazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse: metodi basati sul tasso interno di rendimento, metodi basati sull’algebra lineare, metodi basati sul tasso di parità, tasso swap come tasso di parità, metodi basati sulla stima di un modello, modello Masera, modello Nelson –Siegel-Svensson;
valutazione di arbitraggio di piani a tasso variabile: operazioni finanziarie aleatorie, coupon bond a tasso variabile, effetti dell’indicizzazione perfetta delle quote interesse, il titolo di reinvestimento, la valutazione dello ZCB stocastico, logica del portafoglio replicante, valutazione della singola cedola indicizzata, valutazione del flusso di cedole indicizzate, valutazione del coupon bond a tasso variabile all’emissione e in essere, equivalenza con una strategia roll-over;
contratti interest rate sensitive (cenni): la valutazione di contratti dipendenti dai tassi di interesse nominali, richiami sulla teoria della struttura per scadenza in condizioni di certezza, modelli della struttura per scadenza in condizioni di certezza, esempi di contratti IRS, modelli stocastici per contratti IRS, una classe di modelli uni variati nel tempo continuo, le ipotesi di base, la dinamica dei contratti IRS, l’argomentazione di hedging, misure di rischiosità, il modello di Vasicek.

Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Manuale di finanza. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni. Il Mulino, 2005
Allevi, E., Bosi, G., Riccardi, R., Zuanon, M., Matematica finanziaria e attuariale, Pearson, 2017
Luenberger, D., G., Introduzione alla matematica finanziaria, Apogeo, 2015
Cesari, R., Introduzione alla Finanza Matematica. Mercati azionari, rischi e portafogli, McGraw-Hill, 2012
Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Manuale di finanza. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni. Il Mulino, 2005
Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Modelli stocastici e contratti derivati. Il Mulino, 2005
Naccarato, A., Pierini, A., “BEKK element-by-element estimation of a volatility matrix, A portfolio simulation”, in Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance, (editors Perna, C., Sibillo, M.), Springer, 2014
Dispense degli esercizi (consegnate a lezione).

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, propriet`a di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Chuch-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.
- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] P. Dehornoy, Calculabilite et Decidabilite, (1993) Springer-Verlag (in francese);
[2] J.-L. Krivine, Lambda Calculus: Types and Models, (1993) Ellis Horwood editore.
[3] M. Sipser, An introduction to the theory of computation (2005), Course Technology.

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.

Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.

Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.

5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.


6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.


Elenco Esercitazioni

Software COMSOL
C01_Heat_Equation.mph
C02_Heat_Equation_boundary_source.mph
C03_HeatEquation_conductive_interface.mph
C04_Heat_2D_Sphere.mph
C05_Heat_2D_Toro.mph
C06_Elastic_Solid.mph
C07_Convection_Diffusion_1D.mph
C08_Convection_Diffusion_2D.mph
C09_Navier_Stokes_L_Junction _2D.mph
C10_L2_norm.mph
C11_wave_1D.mph
C12_wave_2D.mph

Software Mathematica
M01_Test_Function.nb
M02_Convection_diffusion_nb

Testi adottati
1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006
Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP
Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2)
Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

4) Computational Science and Engineering
Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007
Cap 3.1, page 236~241;
Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567

Il corso è articolato in lezioni e laboratorio ed inizia affrontando le conoscenze di base necessarie per comprendere la panoramica architetturale delle acquisizioni dati di esperimenti, con particolare riguardo a quelli di fisica nucleare e delle particelle elementari, analizzando le problematiche ed i componenti dei sistemi di acquisizione, di quelli di controllo e dei sistemi di monitoraggio. vengono quindi approfondite le tematiche generali sulle architetture interne di questi sistemi, le loro caratteristiche e le tecnologie connesse, nonché le scelte progettuali necessarie.
Durante il corso verranno anche approfonditi argomenti come: trigger, acquisizione dati, sistemi on-line, sistemi real-time, farming ed event building, reti e protocolli di rete, archiviazione dati su mass storage, gestione ed utilizzo di grandi basi dati.

Dispense del docente sulla base delle trasparenze mostrate a lezione.

1. Cenni di Teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi; cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.

2. Teoria degli algoritmi e dell'ottimizzazione: richiami sugli algoritmi e sulla programmazione strutturata; complessità computazionale di un algoritmo, classi di complessità per problemi, le classi P, NP, NP-completo, NP-hard; problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria.

Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio, algoritmi per la generazione dell'insieme delle parti di un insieme finito, calcolo delle permutazioni e delle combinazioni degli elementi di un insieme, calcolo del coefficiente binomiale; il problema dei "quadrati latini" e il gioco del Sudoku; un algoritmo ricorsivo per la soluzione del gioco.

3. Problemi di ottimizzazione su grafi e reti di flusso: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali di un grafo: connessione, connessione forte, presenza di cicli. Ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico.

Il problema della costruzione di un albero ricoprente di peso minimo (minimum spanning tree), algoritmo di Kruskal, algoritmo di Prim, formulazione del problema in termini di Programmazione Lineare Intera.

Ricerca di cammini minimi su un grafo pesato; cammino minimo con sorgente singola, algoritmo di Dijkstra, algoritmo di Bellman-Ford; cammino minimo tra tutte le coppie di vertici del grafo, algoritmi di programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo.

Reti di flusso e calcolo del flusso massimo su una rete, Teorema del flusso massimo e taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".

Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini, problemi per il partizionamento ottimo di alberi e cammini in p componenti connesse, funzioni obiettivo, tecniche algoritmiche per la soluzione di questa classe di problemi (programmazione dinamica, programmazione lineare, shifting).

Problema del matrimonio stabile (stable marriage problem), definizione del problema e del criterio di stabilità del matching, applicazioni, algoritmo di Gale e Shapley.

4. Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi mediante programmi in linguaggio C in ambiente GNU/Linux e con il software Mathematica.

Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Introduzione agli algoritmi e strutture dati", terza edizione, McGraw-Hill, 2010

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alle architetture parallele. Principi di progetto di algoritmi paralleli. Tecniche di programmazione parallela e distribuita con Julia. Primitive di comunicazione e sincronizzazione: paradigma MPI. Linguaggi basati su direttive: OpenMP. Metriche di prestazione dei programmi paralleli. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. Cenni a CombBLAS, GraphBLAS.

1. [Lecture slides and diary](https://github.com/cvdlab-courses/pdc/blob/master/schedule.md)

2. [Learning Julia](https://www.manning.com/books/julia-in-action)

3. Blaise N. Barney, [HPC Training Materials](https://computing.llnl.gov/tutorials/parallel_comp/), per gentile concessione del Lawrence Livermore National Laboratory's Computational Training Center

4. J. Dongarra, J. Kurzak, J. Demmel, M. Heroux, [Linear Algebra Libraries for High- Performance Computing: Scientific Computing with Multicore and Accelerators](http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/SLIDES/sc2011-tutorial.pdf), SuperComputing 2011 (SC11)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in form elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

MECCANICA LAGRANGIANA E MECCANICA HAMILTONIANA. PRINCIPI VARIAZIONALI. SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI. TEOREMA KAM.

[1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996)
[4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979)
[5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980)

Outline del corso; Introduzione e generalita'; Bioinformatica e algoritmi; La biologia computazionale nella clinica e nell'industria farmaceutica; Farmacocinetica e farmacodinamica;

Introduzione alla Systems Biology: cosa e' la biologia computazionale; I ruoli della modellistica matematica e della bioinformatica; a cosa mira; quali sono i problemi; Strumenti teorici utilizzati della bio-matematica e della bioinformatica.

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare (prima parte): conoscenza di base di genetica, proteomica e processi cellulari; Ecologia ed evoluzione; le molecola base; i legami molecolari; i cromosomi; ll DNA e la sua replicazione;

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare (seconda parte); genomica; Il dogma centrale della biologia; Il progetto genoma; la struttura del genoma umanol Analisi dei geni; la trascrizione del DNA; i virus;

Laboratorio: generazione di numeri casuali; le funzioni srand48 e drand48; generazione casuale di stringhe nucleotidiche di lunghezza arbitraria (program1.c); generazione casuale di stringhe aminoacidiche di lunghezza arbitraria (program2.c);

Introduzione alle teoria dell'informazione; Shannon Entropy; Conditional Entropy; Mutual Information; Indici di diversita' biologica; Indice di Shannon; True diversity; Reny index;

Laboratorio: il codice genetico; Programma in C di trascrizione sequenza DNA e traduzione in proteine;

Introduzione ai processi stocastici; definizione base; esempi; modello di code; processo di Bernoulli e di Poisson; Processi Markoviani; i processi stocastici in bioinformatica e bio-matematica; l'autocorrelazione; Cenni ai Random Walks e all'algoritmo BLAST di sequence alignment come processo stocastico e principale algoritmo per la consultazione di database di sequenze biologiche;

Laboratorio: sviluppo di un algoritmo in C per il calcolo della Shannon Entropy di un testo in inglese (o in italiano) qualsiasi (e.g., http://www.textfiles.com/etext/)

Cammini casuali. L'algoritmo BLAST per l'allineamento di sequenze come cammino casuale; Laboratorio: implementazione in C di diversi algoritmi per la generazione di un random walk in 1D e 2D su reticolo e in R o R^2 segnale e calcolo del mean square displacement;

Confrontare sequenze: similarita' e omologia; pairwise alignment; distanza di editing; scoring matrices PAM e BLOSUM; Algoritmo di Needleman-Wunsch; allineamento locale; Algoritmo di Smith-Waterman; algoritmo BLAST;

Laboratorio: implementazione in C di un algoritmo per la generazione di un segnale con rumore e calcolo del correlogramma in presenza o assenza di un vero segnale;

Multiple Sequence Alignment; sequenza di consenso; algoritmi star alignment; ClustalW; entropy e circular sum scoring functions;

Banche dati biologiche; motivazioni; formato dati; tassonomia; DB primari; DB secondari; NCBI, EMBL, DDBJ; NCBI EBI-Entrez; Exact matching/string searching: generalita'; l'agoritmo di Knuth-Morris-Pratt;

Exact matching/string searching: l'agoritmo di Boyer-Moore;

Esercitazione su una implementazione dell'algoritmo di exact matching Knuth-Morris-Pratt. Esercitazione su banche dati biologiche; database primari; database secondari; NCBI, EMBL, DDBJ; NCBI EBI-Entrez; Uso dell'algoritmo BLAST

Phylogenetic Analysis; alberi filogenetici; dimensione dello spazio di ricerca di algoritmi filogenetici; Metodi di costruzione di alberi filogenetici; Dati usati per l'analisi filogenetica; L'algoritmo Unweighted Pair Group Method with Arithmetic mean (UPGMA); l'algoritmo Neighbor Joining Method; Hidden Markov Models; Decoding; the Viterbi Algorithm; Evaluation;

Laboratorio: completamento dell'esercizio su mutazione, selezione ed evoluzione di stringhe nucleotidiche (genotipo) tradotte in stringhe aminoacidiche (fenotipo); La selezione viene fatta in base alla presenza di determinate sottostringhe nel fenotipo che ne determina il valore di fitness; Dettagli implementatitvi, visualizzazione del criterio di convergenza e dei risultati, discussione, etc.;

Machine Learning; generalita'; supervised e unsupervised learning; model selection; undefitting; overfitting; Polynomial curve fitting; machine learning come stima dei parametri ed il problema dell'overfitting; suddivisione del training set in testing e testing; concetto di bias e variance trade-off; Artificial Neural Networks; definizone; il percettrone di Rosenblatt; l'algoritmo di apprendimento del percettrone; il multi-layer perceptron;

Laboratorio: completamento dell'implementazione in ANSI C dell'algoritmo evolutivo di stringhe nucleotidiche (genotipo) tradotte, mediante l'utilizzo del codice genetico, in stringhe aminoacidiche (fenotipo);

Hidden Markov Models; The Forward Algorithm; The Backward Algorithm; Posterior Decoding; Learning; Baum-Welch Algorithm; Uso di Hidden Markov Models per l'analisi di bio-sequenze; gene finding;

Artificial Neural Networks; l'algoritmo di error-back propagation per l'apprendimento del MLP; tipi di neural networks; convolution networks; reinforcement networks; unsupervised learning e self-organising maps; Cenni introduttivi alla teoria dei grafi; rappresentazione, terminologia, concetti; cammini; cicli; connettivita'; distanza; componenti connesse; distanza;

Cenni introduttivi alla teoria dei grafi; visita breadth-first search; depth-first search; algoritmo di Dijkstra; six-degree of separation; small world networks; misure di centralita'; degree centrality; eigenvector centrality; betweennes centrality; closeness centrality; La network biology; generalita'; concetti; tipi di dati biologici usati per costruire le reti; network biology e network medicine; problemi e algoritmi usati; misure di centralita'; random networks; scale-free networks; preferential attachment; scale-free network in biologia;

Laboratorio: completamento dell'esercizio sull'algoritmo evolutivo; Dettagli implementatitvi, visualizzazione del criterio di convergenza e dei risultati, discussione, etc.;

Modelli bio-matematici; predizione mediante modelli teorici; il paradigma itertativo della modellistica matematica; data-driven models; modelli di crescita di popolazione limitata e non; derivazione analitica ed esempi; crescita logistica; modelli ecologici limitati dalla densita'; Il modello di Lotka-Volterra; l'esperimento di Huffaker e Kenneth; il modello epidemico SIR e alcune sue varianti; Il modello di Perelson per la HAART; l'applicazione Java Populus per la soluzione di modelli continui di dinamica delle popolazione; cenni ai metodi di risoluzione numerica dei sistemi di equazioni differentiali;

Modelli discreti; modelli di spin (Ising models); Automi cellulari; Boolean networks; Agent-based models; data fitting e stima dei parametri; strumenti software disponibili; Automi cellulari; introduzione e storia; definizione; l'automa 1-dimensionale; classificazione di Wolfram; l'automa 2-dimensionale; il Game of Life di Conway; Software disponibile per la simulazione di CA; hardware dedicato (CA-Machine); il modello preda-predatore come automa cellulare bidimensionale; relazione con il sistema di equazioni alle derivare ordinarie; modelli stocastici; CA stocastici come sistemi dinamici discreti stochastici e processi stocastici; esempio di CA: Belousov-Zabotonsky reactions;

[-] E.S. Allman, J.A. Rhodes. Mathematical Models in Biology: An Introduction (2004) Cambridge University Press.
[-] W.J. Ewens, G.R. Grant. Statistical Methods in Bioinformatics, An Introduction (2005) Springer Verlag.
[-] R. Durbin, S. Eddy, A. Krogh, G. Mitchison. Biological sequence analysis - Probabilistic models of proteins and nucleic acids (1998) Cambridge University Press.

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Moto Browniano I

Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementi stazionari e indipendenti.
Definizione e propriet\`a di continuit\`a del Moto Browniano. Non-differenziabilit\`a delle traiettorie.
Propriet\`a di Markov. Propriet\`a di Markov forte e principio di riflessione.

Moto Browniano II

Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet.
Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari.
Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding.
Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni: leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.


Integrazione stocastica

Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di It\^o e applicazioni. Tempo locale e formula di Tanaka.
Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.


Equazioni differenziali stocastiche

Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione.
Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche.
Processo di diffusione nel limite di rumore nullo. Generatore infinitesimale di una diffusione e equazioni alle derivate parziali.
Formula di Feynman-Kac e applicazioni.

P. M\"orters and Y. Peres
Brownian Motion
Cambridge University Press
2010


L.C. Evans
An Introduction to Stochastic Differential Equations
AMS bookstore
2013

Sotto il titolo generico del Corso si inquadreranno sia metodi asintotici
(metodi perturbativi) che metodi numerici, soprattutto per equazioni
differenziali ordinarie e alle derivate parziali, con applicazioni. Tra i primi
rientrano i cosiddetti problemi di ``perturbazione singolare''. Si
considerera anche il caso delle equazioni alle differenze. Le due categorie
di metodi, asintotici e numerici, sono in genere insegnati e utilizzati
separatamente. Qui si cerchera di ultilizzarli entrambi, anche
congiuntamente, in uno stesso problema. Si tratta infatti di due metodologie
fondamentali per la Matematica Applicata.

Metodi asintotici:

Introduzione all'analisi asintotica. Serie asintotiche. Perturbazioni
regolari e perturbazioni singolari di equazioni differenziali ordinarie e
sistemi.

Si parte dalla definizione di successione e serie asintotica (in particolare
di potenze) e delle loro propriet\`a tipiche. Si considera anche il caso di
perturbazioni di equazioni algebriche.

Si considerano poi le perturbazioni regolari di equazioni differenzaili
ordinarie, quindi le perturbazioni singolari delle medesime. Il caso di certe
equazioni alle derivate parziali e' trattato soprattutto in modo formale.

Si considera la cosiddetta approssimazione asintotica di WKB o di
Liouville-Green. Si presentano anche alcune estensioni al caso di equazioni
alle differenze.

Metodi numerici:

Risoluzione numerica, con vari metodi, di equazioni differenziali ordinarie
e sistemi, e di alcune equazioni alle derivate parziali. Questo sara' fatto
in gran parte nelle ore di Laboratorio di calcolo, utilizzando MATLAB e
Mathematica.

John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation
Theory, Lecture Notes, https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf,
2004.

R.E. O'Malley, Jr., Introduction to Singular
Perturbations, Academic Press, New York and London, 1974

D. R. Smith, Singular-Perturbation Theory. An introduction
with applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
ds and Applications, Volume 181

D. Trigiante and V. Lakshmikantham, Theory of Difference
Equations: Numerical Methods and Applications, Elsevier Science, Vol. 181,
1988.

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

CONGRUENZE E POLINOMI. EQUAZIONI DIOFANTEE LINEARI IN DUE (O PIÙ) INDETERMINATE. RISOLUZIONE DI SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI. CONGRUENZE POLINOMIALI. CONGRUENZE POLINOMIALI MOD P: TEOREMA DI LAGRANGE. APPROSSIMAZIONE P-ADICA. ESISTENZA DI RADICI PRIMITIVE MOD P. INDICE RELATIVAMENTE AD UNA RADICE PRIMITIVA. CONGRUENZE QUADRATICHE. RESIDUI QUADRATICI. SIMBOLO DI LEGENDRE. LEMMA DI GAUSS E LEGGE DI RECIPROCITÀ QUADRATICA. SIMBOLO DI JACOBI. INTERI SOMMA DI DUE QUADRATI. LEMMA DI THUE. INTERI RAPPRESENTABILI COME SOMMA DI DUE, TRE, QUATTRO QUADRATI. FUNZIONI MOLTIPLICATIVE. LA FORMULA DI INVERSIONE DI MÖBIUS. STUDIO DI ALCUNE EQUAZIONI DIOFANTEE. FRAZIONI CONTINUE.

M. FONTANA, APPUNTIDEL CORSO TN1 (ARGOMENTI DELLA TEORIA CLASSICA DEI NUMERI), HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/FONTANA/DIDATTICA/FONTANA_DIDATTICA.HTML DISPENSE.
D.M. BURTON: ELEMENTARY NUMBER THEORY, MCGRAW-HILLINTERNATIONAL EDITION, 6TH EDITION (2007), 434 PP.
G.A. JONES AND J.M. JONES, ELEMENTARY NUMBER THEORY, SPRINGER, 1ST EDITION (1998), 200 PP.
H. DAVENPORT, ARITMETICA SUPERIORE.UN?INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI NUMERI, ZANICHELLI, (1994), 199 PP.
G.H. HARDY AND E.M. WRIGHT, AN INTRODUCTION TO THE THEORY OH NUMBERS, THE CLARENDON PRESS, OXFORD UNIVERSITY, 5TH EDITION (1979), XVI+426 PP.
W.J. LEVEQUE, FUNDAMENTALS OF NUMBER THEORY, DOVER PUBLICATIONS, (1996)
K.H. ROSEN. ELEMENTARY NUMBER THEORY AND ITS APPLICATIONS, ADDISON-WESLEY, 6TH EDITION (2011), XV+752 PP.

Appunti in rete del docente.

Introduzione alla topologia algebrica. I simplessi e le loro proprieta'. Il complesso delle catene singolari associate ad uno spazio topologico. I gruppi di omologia singolare. Proprieta' elementari: i gruppi di omologia rispettano la decomposizione di uno spazio in componenti connesse per archi; calcolo del gruppo di omologia H_0. L'omologia di un punto. Omologia ridotta: definizione e confronto con l'omologia usuale. Categorie e funtori: definizioni ed esempi. L'omologia come functore dagli spazi topologichi ai gruppi abeliani, passando per la categoria dei complessi. Invarianza omotopica dell'omologia: funzioni continue omotope inducono mappe di complessi omotope; mappe di complessi omotope inducono la stessa mappa in omologia. Il complesso delle catene di una coppia e l'omologia di una coppia: proprieta' funtoriali e invarianza omotopica. La successione esatta lunga in coomologia associata ad una tripla (o ad una coppia). Corollario: l'omologia ridotta come omologia relativa ad un punto.
Il Teorema di escissione. L'omologia relativa ad un ricoprimento.
Coppie buone. Esempi e controesempi. L'omologia di una coppia buona e' isomorfa all'omologia ridotta del quoziente.
Successione di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia della sfera e di un disco relativo al bordo, con generatori espliciti. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower, il teorema dell'invarianza della dimensione (tramite l'omologia locale di R^n).
Grado di applicazioni dalla sfera n-dimensionale in se'. Proprieta' elementari: moltiplicativita' e invarianza omotopica. Esempi: riflessioni, mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Applicazione: la pettinabilita' della sfera n-dimensionale. Formula locale per il grado. Il caso di dimensione 1: la mappa grado definisce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale della sfera 1-dimensionale e il gruppo degli interi.
La sospensione di spazi topologici. Il grado della sospensione di una mappa da S^n a S^n e' ugale al grado della mappa originaria. Naturalita' delle successioni esatte lunghe. Delta-complessi. Esempi in dimensione uno e due. Equivalenza tra Delta-complessi e Delta-insiemi.
Complessi simpliciali e loro equivalenza con i complessi simpliciali astratti. L'omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi. L'isomorfismo tra l'omologia simpliciale e l'omologia singolare.
Complessi cellulari (o CW): definizione induttiva. Esempi. I Delta-complessi come complessi cellulari. Ogni complesso cellulare e' omotopo ad un Delta-complesso.
Proprieta' topologiche dei complessi cellulari: normalita', locale contraibilita', paracompattezza (senza dimostrazione), compattezza e locale compattezza. Le coppie cellulari sono coppie buone. Strutture cellulari e simpliciali su varieta' topologiche e differenziabili: una panoramica dei risultati. Esempi di complessi cellulari: la sfera, lo spazio proiettivo reale.
Lemma di compattezza per complessi cellulari. La caratterizzazione dei complessi cellulari tramite le mappe caratteristiche. Non esempi di complessi cellulari che violano la proprieta' della topologia debole o quella della finitezza della chiusura. Esempi di complessi cellulari: lo spazio proiettivo complesso, le superfici topologiche compatte orientate e non orientate.
Somma wedge di spazi topologici puntati e loro gruppi di omologia. Il complesso delle catene cellulari di un complesso cellulare e l'omologia cellulare. L'omologia cellulare coincide con l'omologia singolare. La formula per il differenziale cellulare. Esercizi: omologia cellulare di sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici topologiche compatte orientate e non, i tori n-dimensionali.
Omologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: prodotto tensoriale e bifuntori Tor.
Il teorema dei coefficienti universali per l'omologia. Spazi di Moore. Lo spezzamento della successione esatta nel teorema dei coefficienti universali non e' naturale: un controesempio.
Una coppia cellulare soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica. Se una coppia soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica e il sottospazio e' contraibile, allora il quoziente per il sottospazio e' un'equivalenza omotopica. Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (inizio della dimostrazione).
Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (fine della dimostrazione). La caratteristica di Eulero. Formula della caratteristica di Eulero per un complesso cellulare finito. Esercizi.
Coomologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: il bifuntore Hom e il bifuntore Ext. Il teorema dei coefficienti universali per la coomologia.
Proprieta' della Coomologia: funtorialita', invarianza omotopica, successione esatta lunga di una tripla e relazione tra i morfismi di connessione in omologia e coomologia, coomologia ridotta, escissione, coomologia di una coppia buona, successione di Mayer-Vietoris.
Il prodotto cup e l'anello di coomologia.
+La coomologia simpliciale di un Delta-complesso. La coomologia cellulare di un complesso cellulare. Esempio: l'anello di coomologia delle superfici topologiche compatte orientate e non.
L'approccio assiomatico alla (co)omologia assoluta di una coppia e relativa (senza dimostrazione). Il prodotto cross in omologia e coomologia singolare e cellulare. Relazione tra il prodotto cup e il prodotto cross in coomologia. La formula di Kunneth in omologia e coomologia (senza dimostrazione). Esempio: l'anello di coomologia di un toro n-dimensionale e' l'algebra esterna di dimensione n.
Varieta' (topologiche). Orientabilita' di varieta'. Il rivestimento doppio delle orientazioni locali. R-orientabilita'. Il rivestimento delle R-classi locali. L'omologia n-esima di una n-varieta' compatta e connessa, R-orientabile e non. La R-classe fondamentale di una varieta' compatta R-orientabile.
Il prodotto cap e la sua relazione col prodotto cup. La formulazione della dualita' di Poincare' per varieta' compatte R-orientate: versione I (col prodotto cap) e versione II (col prodotto cup).
Coomologia a supporto compatto. Digressione sui limiti diretti di gruppi. L'operatore di dualita' per varieta' topologiche R-orientate non compatte. Il teorema di dualita' di Poincare' per varieta' topologiche R-orientate compatte e non: dimostrazione. Esempio: l'anello di coomologia degli spazi proeittivi reali, complessi e quaternionici.

A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

1. Macchine astratte, compilatori e interpreti

- Macchine astratte: concetto di astrazione, linguaggio formale, linguaggio mac- china. Macchina astratta e macchina hardware. Formalizzazione dei concetti di interprete e compilatore. Modalit`a di implementazione: hardware, firmware, software. Macchina RAM.

- Implementazioni di un linguaggio formale: schema interpretativo puro e schema compilativo puro. Macchina intermedia. Implementazione di tipo interpretativo e di tipo compilativo della macchina intermedia. Gerarchie di macchine astratte.

2. Linguaggi di programmazione

- Linguaggi procedurali o imperativi, linguaggi funzionali, linguaggi dichiarativi o logici, linguaggi strutturati, cenni ad altri tipi di linguaggi.

- Definizione di linguaggio formale. Grammatiche libere da contesto (Chom- sky), derivazione di stringhe. Definizione di linguaggio generato. Alberi di derivazione. Grammatiche ambigue. Gestione delle ambiguit`a, metodi di disambiguazione. Vincoli sintattici contestuali. Descrizione delle fasi di compilazione: analisi lessicale, sintattica, semantica. Grammatiche regolari. Esem- pio di compilazione.

- Ambiente, associazione di un oggetto a un nome, blocchi di codice: visibilit`a, operazioni sull’ambiente, operazioni sugli oggetti denotabili. Tempo di vita di associazioni e oggetti. Regole di visibilit`a: definizione di scope statico. Scope statico dei nomi: propriet`a di indipendenza dalla posizione e indipendenza dai nomi locali. Definizione di scope dinamico. Confronto fra scope statico e scope dinamico.

3. Programmazione ad oggetti

- Principi fondamentali, concetto di classe e di oggetto. Richiami e definizioni formali di tipo di dato, sistema di tipi di un linguaggio di programmazione, sicurezza di un sistema di tipi.

- Controllo statico e dinamico dei tipi. Astrazione sui dati: interfaccia, imple- mentazione, occultamento dell’informazione, controllo dell’accessibilit`a.

- Introduzione al paradigma orientato agli oggetti: caratteri essenziali (incap- sulamento, occultamento dell’informazione, ereditariet`a, sottotipi, selezione dinamica delle operazioni). Classi e oggetti, principi di organizzazione, es- tendibilit`a, riuso del codice. Terminologia. Definizione di classe, costruttori, membri di classe e d’istanza. Riferimento implicito ”this” e allocazione.

- Overloading. Polimorfismo universale parametrico implicito ed esplicito. Poli- morfismo di sottotipo e relazione con i generici. Utilizzo di un linguaggio di diagrammazione di classe: cenni ad UML.

- Fragilit`a nella gerarchia delle classi. Implementazione dell’ereditariet`a mul- tipla mediante vtable. Modelli di implementazione dell’ereditariet`a multipla: implementazione mediante vtable con replicazione e con condivisione. Polimor- fismo di sottotipi. Equivalenza per nome ed equivalenza strutturale di tipi.

- Ridefinizione di metodi (overriding) e mascheramento di campi (shadowing) nelle sottoclassi, astrazione ed ereditariet`a. Relazione con i sottotipi, supertipo immediato, erditariet`a singola e multipla. Problemi legati all’ereditariet`a di classi: ereditariet`a a diamante, conflitto di nomi (name clash), rimedi imple- mentativi, implicazioni sulla gerarchia di sottotipi. Ereditariet`a e astrazione: clausola ”abstract” e derivazione di classi astratte, clausola ”implements”, im- plementazione ed estensione di interfacce.

- Selezione dinamica dei metodi: differenza fra tipo del riferimento e tipo dell’og- getto. Late binding. Implementazione dell’ereditariet`a singola con tipi statici usando i record e della copia dei riferimenti agli oggetti.

- Gestione del controllo mediante eccezioni. Definizione di eccezione. Propaga- zione delle eccezioni e catena dinamica. Cenno al record di attivazione per le procedure. Cenno all’implementazione delle eccezioni.

4. OOP in Java

- Variabili di classe, d’istanza, locali e loro allocazione in memoria. I costrut- tori. Incapsulamento e modificatori di accessibilit`a. Relazione di sottotipo e supertipo, clausola ”extends”, derivazione di classi, concetto di ereditariet`a, gerarchia di tipi, compatibilit`a e polimorfismo. Compatibilit`a verso il basso (down-casting).

- Convenzioni sull’uso dei nomi. Tecniche di occultamento dell’informazione. Il metodo speciale ”main” e punti d’ingesso della JVM. Caricamento di package e appartenenza di una classe ad un package. Modificatori di accesso. Sintassi ed esempi di implementazione delle eccezioni in Java. Metodi anonimi: le lambda-espressioni in Java.

- Documentazione del codice in Java: caratteristiche di javadoc, tag, generazione della documentazione.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi 2/ed, McGraw-Hill (2011)
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, O'Reilly Media; 2 edizione (2014)
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming, Springer-Verlag, (2012)

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze Note

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale

Shower di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Stefan Weinzierl - Introduction to Monte Carlo methods - arXiv:hep-ph/0006269

Ulteriori indicazioni bibliografiche verranno presentate a lezione, a seconda degli interessi degli studenti

Principi di Progettazione Object Oriented
Astrazione, Polimorfismo, Ereditrarieta, Aggregazione
Modelli di Progettazione Object Oriented ed UML
Diagrammi UML Use Case, Sequence, Class e Object, Deployment
Analisi e Sviluppo Software per Java Virtual Machine: I/O, Stream, Networking, Gestione Eccezioni
Calcolo (Scientifico, Real-time,...) Efficiente Distribuito e Multithreading e Concorrenza in ambito Cloud e Mobile

Manuale di Java 9 De Sio Cesari Claudio Hoepli Informatica

Moto Browniano I

Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementi stazionari e indipendenti.
Definizione e propriet\`a di continuit\`a del Moto Browniano. Non-differenziabilit\`a delle traiettorie.
Propriet\`a di Markov. Propriet\`a di Markov forte e principio di riflessione.

Moto Browniano II

Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet.
Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari.
Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding.
Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni: leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.


Integrazione stocastica

Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di It\^o e applicazioni. Tempo locale e formula di Tanaka.
Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.


Equazioni differenziali stocastiche

Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione.
Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche.
Processo di diffusione nel limite di rumore nullo. Generatore infinitesimale di una diffusione e equazioni alle derivate parziali.
Formula di Feynman-Kac e applicazioni.

P. M\"orters and Y. Peres
Brownian Motion
Cambridge University Press
2010


L.C. Evans
An Introduction to Stochastic Differential Equations
AMS bookstore
2013

Sotto il titolo generico del Corso si inquadreranno sia metodi asintotici
(metodi perturbativi) che metodi numerici, soprattutto per equazioni
differenziali ordinarie e alle derivate parziali, con applicazioni. Tra i primi
rientrano i cosiddetti problemi di ``perturbazione singolare''. Si
considerera anche il caso delle equazioni alle differenze. Le due categorie
di metodi, asintotici e numerici, sono in genere insegnati e utilizzati
separatamente. Qui si cerchera di ultilizzarli entrambi, anche
congiuntamente, in uno stesso problema. Si tratta infatti di due metodologie
fondamentali per la Matematica Applicata.

Metodi asintotici:

Introduzione all'analisi asintotica. Serie asintotiche. Perturbazioni
regolari e perturbazioni singolari di equazioni differenziali ordinarie e
sistemi.

Si parte dalla definizione di successione e serie asintotica (in particolare
di potenze) e delle loro propriet\`a tipiche. Si considera anche il caso di
perturbazioni di equazioni algebriche.

Si considerano poi le perturbazioni regolari di equazioni differenzaili
ordinarie, quindi le perturbazioni singolari delle medesime. Il caso di certe
equazioni alle derivate parziali e' trattato soprattutto in modo formale.

Si considera la cosiddetta approssimazione asintotica di WKB o di
Liouville-Green. Si presentano anche alcune estensioni al caso di equazioni
alle differenze.

Metodi numerici:

Risoluzione numerica, con vari metodi, di equazioni differenziali ordinarie
e sistemi, e di alcune equazioni alle derivate parziali. Questo sara' fatto
in gran parte nelle ore di Laboratorio di calcolo, utilizzando MATLAB e
Mathematica.

John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation
Theory, Lecture Notes, https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf,
2004.

R.E. O'Malley, Jr., Introduction to Singular
Perturbations, Academic Press, New York and London, 1974

D. R. Smith, Singular-Perturbation Theory. An introduction
with applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
ds and Applications, Volume 181

D. Trigiante and V. Lakshmikantham, Theory of Difference
Equations: Numerical Methods and Applications, Elsevier Science, Vol. 181,
1988.

A) LA TRASFORMAZIONE DELLE REGOLE STRUTTURALI IN REGOLE LOGICHE: IL CALCOLO DEI SEQUENTI E LA DERIVABILITA' IN LOGICA LINEARE
B) IL POSITIVO E IL NEGATIVO: IL CALCOLO DEI SEQUENTI FOCALIZZATO PER LA LOGICA LINEARE, LA LUDICA
C) LA COMPLESSITA' IMPLICITA E LA LOGICA LINEARE
D) GEOMETRIA DELLE DIMOSTRAZIONI: LE RETI DIMOSTRATIVE IN LOGICA LINEARE
E) GLI INVARIANTI E LO SVILUPPO DELL’INTERAZIONE TRA DIMOSTRAZIONI: GLI SPAZI COERENTI, LA GEOMETRIA DELL'INTERAZIONE

V. MICHELE ABRUSCI, LEZIONI DI LOGICA LINEARE, 2018 (IN PREPARAZIONE)

• Geometria Euclidea: punti notevoli nei triangoli e teoremi relativi inversione nel cerchio.
• Geometria ordinata e il problema di Sylvester.
• Geometria proiettiva: assiomi, teorema di Desargues, collineazioni e
correlazioni.
• Solidi Platonici e formula di Eulero. Politopi, politopi regolari nello
spazio 4-dimensionale. Scomposizione di poliedri.
• Topologia delle superfici e grafi: il problema dei quattro colori e il teorema dei
sei colori, teorema di Heawood per una superficie compatta.
• Triangolarizzazioni di Delaunay.
• Poligoni di Newton associati a curve piane.
• introduzione alla geometria tropicale.

1) H.S.M Coxeter Introduction to geometry, Wiley 1970; + appunti.
inoltre, parti estratte da
2) D. Hilbert, S. Cohn Vossen, Geometria intuitiva, cap. 3 , 1932, ed. varie;
3) M. Aigner, Martin, G. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer, 1998;
4) J. Stillwell The Four Pillars of Geometry, Springer 2005;
5) H.D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, et al. Numbers, GTM 123,
Springer 1990;
6) Stefano Rebay, Tecniche di Generazione di Griglia per il Calcolo
Scientico-Triangolazione di Delaunay, slides Univ. Studi di Brescia;
7) G. Fisher Plane algebraic curves, AMS Students Mathematical Library V.
15, AMS 2001.

Introduzione: Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado, anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi, estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi, il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici, campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois: Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppo di Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell'esistenza dell'elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois: Gruppi di Galois come sottogruppi di $S_n$, sottogruppi transitivi di $S_n$, caratterizzazione dell'irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in $A_n$, Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale
a $4$, esempi di polinomi con gruppo di Galois $S_p$.

Campi ciclotomici: Definizioni, gruppo di Galois, sottocampi reali massimali, sottocampi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti: Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti. Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con $p$ elementi.

Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti del piano costruibili, numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Preliminari
Definizione di iper-superficie. Integrazione su iper-superfici. Il teorema della divergenza.

2. Equazione di Laplace
Disuguaglianze di valor medio. Principio del minimo e del massimo. La disuguaglianza di Harnack. La rappresentazione tramite funzione di Green. L’integrale di Poisson. Teoremi di convergenza. Stime interne sulle derivate. Il problema di Dirichlet: il metodo delle funzioni sub-armoniche.

3. Il principio classico del massimo
Il principio debole del massimo. Il principio forte del massimo. Il lemma di Hopf.

4. L’equazione di Poisson e il potenziale Newtoniano
Hölder-continuità. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson. Stime hölderiane per le derivate seconde. Stime al bordo. Stime hölderiane per le derivate prime.

5. Richiami su spazi di Banach e di Hilbert
Il principio delle contrazioni. Il metodo di continuità.

6. Soluzioni classiche: l’approccio di Schauder
Stime interne di Schauder. Stime al bordo e globali. Il problema di Dirichlet. Regolarità interna e al bordo.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, propriet`a di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Chuch-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.
- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] P. Dehornoy, Calculabilite et Decidabilite, (1993) Springer-Verlag (in francese);
[2] J.-L. Krivine, Lambda Calculus: Types and Models, (1993) Ellis Horwood editore.
[3] M. Sipser, An introduction to the theory of computation (2005), Course Technology.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in form elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

MECCANICA LAGRANGIANA E MECCANICA HAMILTONIANA. PRINCIPI VARIAZIONALI. SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI. TEOREMA KAM.

[1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996)
[4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979)
[5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980)

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.

Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.

Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.

5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.


6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.


Elenco Esercitazioni

Software COMSOL
C01_Heat_Equation.mph
C02_Heat_Equation_boundary_source.mph
C03_HeatEquation_conductive_interface.mph
C04_Heat_2D_Sphere.mph
C05_Heat_2D_Toro.mph
C06_Elastic_Solid.mph
C07_Convection_Diffusion_1D.mph
C08_Convection_Diffusion_2D.mph
C09_Navier_Stokes_L_Junction _2D.mph
C10_L2_norm.mph
C11_wave_1D.mph
C12_wave_2D.mph

Software Mathematica
M01_Test_Function.nb
M02_Convection_diffusion_nb

Testi adottati
1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006
Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP
Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2)
Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

4) Computational Science and Engineering
Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007
Cap 3.1, page 236~241;
Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567

MECCANICA QUANTISTICA: CRISI DELLA FISICA CLASSICA. ONDE E PARTICELLE. VETTORI DI STATO ED OPERATORI. MISURE ED OSSERVABILI. OPERATORE DI POSIZIONE. TRASLAZIONI E IMPULSO. EVOLUZIONE TEMPORALE ED EQUAZIONE DI SCHRODINGER. PARITA'. PROBLEMI UNIDIMENSIONALI. OSCILLATORE ARMONICO. SIMMETRIE E LEGGI DI CONSERVAZIONE. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO.

J.J. SAKURAI, J. NAPOLITANO. MECCANICA QUANTISTICA MODERNA. SECONDA EDIZIONE, ZANICHELLI, BOLOGNA, 2014

Struttura temporale dello scambio di importi, il capitale e l’interesse: scambio di importi, tempo, prezzo, prezzo del tempo, convenzione per misurare il tempo, contratti differiti e diritti, operazioni con scadenzario fisso, operazioni di investimento/indebitamento regolari, leggi finanziarie, la legge degli interessi semplici, la legge degli interessi composti, definizioni fondamentali basate sulla funzione valore, fattori tassi e intensità, intensità istantanea.
I contratti, lo scambio, i prezzi: prezzi sul mercato primario e secondario, alcuni tipi si contratti obbligazionari, titoli a cedola nulla (ZCB), titoli a cedola fissa (CB), rateo, corso tel quel, corso secco. I rischi: tempo,incertezza, rischio, il rischio di credito per mutui e obbligazioni,
La valutazione in condizioni di certezza:
la legge esponenziale: la funzione esponenziale come legge di equivalenza finanziaria, tassi e intensità equivalenti in legge esponenziale e lineare, valutazione di una operazione finanziaria in base alla legge esponenziale, equità, proprietà funzionali della legge esponenziale, scomposizione di operazioni finanziarie;
rendite e piani d’ammortamento: definizioni, valore attuale di rendite a rate constanti, rendita immediata posticipata di durata m, rendita perpetua posticipata, rendita immediata anticipata di durata m, rendita perpetua anticipata, rendite differite di n anni, rendita perpetua differita posticipata, rendita perpetua differita anticipata. Le operazioni di rendita nell’aspetto, rendita posticipata a rata costante, rendita anticipata a rata costante, rendita posticipata a quote capitale constanti, il piano d’ammortamento, ammortamento a rimborso unico;
tasso interno di rendimento: il caso di pagamenti periodici, teorema di Cartesio, caso di uno ZCB, caso di una operazione di investimento, caso di una operazione finanziaria composta da tre importi, caso di un CB quotato alla pari, il metodo di Newton, il TAEG;
teoria delle leggi di equivalenza finanziaria: la funzione valore in un contratto a pronti, la funzione valore in un contratto a termine, la proprietà di uniformità nel tempo, fattori di sconto e di capitalizzazione, ipotesi di coerenza tra contratti a pronti e contratti a termine, la proprietà di scindibilità, tassi e intensità di interesse, tassi equivalenti, l’intensità istantanea d’interesse, forma integrale del fattore di sconto, leggi uniformi, leggi scindibili, teorema di Cantelli, intensità di rendimento a scadenza (yield to maturity), capitalizzazione lineare e iperbolica, linearità del valore attuale.
Le operazioni finanziarie nel mercato:
funzione valore e prezzi di mercato: le ipotesi caratteristiche del mercato, mercato perfetto, il principio di non arbitraggio, la proprietà di assenza di arbitraggio, legge del prezzo unico, titocli a cedola nulla unitari, teorema di decrescenza rispetto alla scadenza, titoli a cedola nulla non unitari, teorema di indipendenza dall’importo, portafogli di ZCB con diversa scadenza, teorema di linearità del prezzo, contratti a termine (forward), teorema dei prezzi impliciti, tassi impliciti, considerazioni sugli effetti fiscali, caso dei Buoni Ordinati del Tesoro (BOT );
la struttura per scadenza dei tassi di interesse:le strutture per scadenza a pronti, le strutture per scadenza implicite, relazione di dominanza tra la struttura dei tassi impliciti e la struttura dei tassi a pronti, scadenzari discreti, scadenzari discreti con modello continuo, tasso di parità, strutture rischiose e credit spread;
indice temporali e indici di variabilità: indici temporali di flusso di pagamenti, scadenza e vita a scadenza, la duration, il caso di rendite a rate costanti, momenti del secondo ordine, duration e dispersione di portafogli, indici di variabilità di un flusso di pagamenti, analisi di sensitività del prezzo, semielasticità, elasticità, convexity, “regola del pollice”;
la misurazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse: metodi basati sul tasso interno di rendimento, metodi basati sull’algebra lineare, metodi basati sul tasso di parità, tasso swap come tasso di parità, metodi basati sulla stima di un modello, modello Masera, modello Nelson –Siegel-Svensson;
valutazione di arbitraggio di piani a tasso variabile: operazioni finanziarie aleatorie, coupon bond a tasso variabile, effetti dell’indicizzazione perfetta delle quote interesse, il titolo di reinvestimento, la valutazione dello ZCB stocastico, logica del portafoglio replicante, valutazione della singola cedola indicizzata, valutazione del flusso di cedole indicizzate, valutazione del coupon bond a tasso variabile all’emissione e in essere, equivalenza con una strategia roll-over;
contratti interest rate sensitive (cenni): la valutazione di contratti dipendenti dai tassi di interesse nominali, richiami sulla teoria della struttura per scadenza in condizioni di certezza, modelli della struttura per scadenza in condizioni di certezza, esempi di contratti IRS, modelli stocastici per contratti IRS, una classe di modelli uni variati nel tempo continuo, le ipotesi di base, la dinamica dei contratti IRS, l’argomentazione di hedging, misure di rischiosità, il modello di Vasicek.

Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Manuale di finanza. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni. Il Mulino, 2005
Allevi, E., Bosi, G., Riccardi, R., Zuanon, M., Matematica finanziaria e attuariale, Pearson, 2017
Luenberger, D., G., Introduzione alla matematica finanziaria, Apogeo, 2015
Cesari, R., Introduzione alla Finanza Matematica. Mercati azionari, rischi e portafogli, McGraw-Hill, 2012
Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Manuale di finanza. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni. Il Mulino, 2005
Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Modelli stocastici e contratti derivati. Il Mulino, 2005
Naccarato, A., Pierini, A., “BEKK element-by-element estimation of a volatility matrix, A portfolio simulation”, in Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance, (editors Perna, C., Sibillo, M.), Springer, 2014
Dispense degli esercizi (consegnate a lezione).

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, propriet`a di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Chuch-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.
- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] P. Dehornoy, Calculabilite et Decidabilite, (1993) Springer-Verlag (in francese);
[2] J.-L. Krivine, Lambda Calculus: Types and Models, (1993) Ellis Horwood editore.
[3] M. Sipser, An introduction to the theory of computation (2005), Course Technology.

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.

Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.

Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.

5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.


6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.


Elenco Esercitazioni

Software COMSOL
C01_Heat_Equation.mph
C02_Heat_Equation_boundary_source.mph
C03_HeatEquation_conductive_interface.mph
C04_Heat_2D_Sphere.mph
C05_Heat_2D_Toro.mph
C06_Elastic_Solid.mph
C07_Convection_Diffusion_1D.mph
C08_Convection_Diffusion_2D.mph
C09_Navier_Stokes_L_Junction _2D.mph
C10_L2_norm.mph
C11_wave_1D.mph
C12_wave_2D.mph

Software Mathematica
M01_Test_Function.nb
M02_Convection_diffusion_nb

Testi adottati
1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006
Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP
Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2)
Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

4) Computational Science and Engineering
Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007
Cap 3.1, page 236~241;
Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567

Il corso è articolato in lezioni e laboratorio ed inizia affrontando le conoscenze di base necessarie per comprendere la panoramica architetturale delle acquisizioni dati di esperimenti, con particolare riguardo a quelli di fisica nucleare e delle particelle elementari, analizzando le problematiche ed i componenti dei sistemi di acquisizione, di quelli di controllo e dei sistemi di monitoraggio. vengono quindi approfondite le tematiche generali sulle architetture interne di questi sistemi, le loro caratteristiche e le tecnologie connesse, nonché le scelte progettuali necessarie.
Durante il corso verranno anche approfonditi argomenti come: trigger, acquisizione dati, sistemi on-line, sistemi real-time, farming ed event building, reti e protocolli di rete, archiviazione dati su mass storage, gestione ed utilizzo di grandi basi dati.

Dispense del docente sulla base delle trasparenze mostrate a lezione.

1. Cenni di Teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi; cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.

2. Teoria degli algoritmi e dell'ottimizzazione: richiami sugli algoritmi e sulla programmazione strutturata; complessità computazionale di un algoritmo, classi di complessità per problemi, le classi P, NP, NP-completo, NP-hard; problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria.

Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio, algoritmi per la generazione dell'insieme delle parti di un insieme finito, calcolo delle permutazioni e delle combinazioni degli elementi di un insieme, calcolo del coefficiente binomiale; il problema dei "quadrati latini" e il gioco del Sudoku; un algoritmo ricorsivo per la soluzione del gioco.

3. Problemi di ottimizzazione su grafi e reti di flusso: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali di un grafo: connessione, connessione forte, presenza di cicli. Ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico.

Il problema della costruzione di un albero ricoprente di peso minimo (minimum spanning tree), algoritmo di Kruskal, algoritmo di Prim, formulazione del problema in termini di Programmazione Lineare Intera.

Ricerca di cammini minimi su un grafo pesato; cammino minimo con sorgente singola, algoritmo di Dijkstra, algoritmo di Bellman-Ford; cammino minimo tra tutte le coppie di vertici del grafo, algoritmi di programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo.

Reti di flusso e calcolo del flusso massimo su una rete, Teorema del flusso massimo e taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".

Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini, problemi per il partizionamento ottimo di alberi e cammini in p componenti connesse, funzioni obiettivo, tecniche algoritmiche per la soluzione di questa classe di problemi (programmazione dinamica, programmazione lineare, shifting).

Problema del matrimonio stabile (stable marriage problem), definizione del problema e del criterio di stabilità del matching, applicazioni, algoritmo di Gale e Shapley.

4. Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi mediante programmi in linguaggio C in ambiente GNU/Linux e con il software Mathematica.

Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Introduzione agli algoritmi e strutture dati", terza edizione, McGraw-Hill, 2010

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alle architetture parallele. Principi di progetto di algoritmi paralleli. Tecniche di programmazione parallela e distribuita con Julia. Primitive di comunicazione e sincronizzazione: paradigma MPI. Linguaggi basati su direttive: OpenMP. Metriche di prestazione dei programmi paralleli. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. Cenni a CombBLAS, GraphBLAS.

1. [Lecture slides and diary](https://github.com/cvdlab-courses/pdc/blob/master/schedule.md)

2. [Learning Julia](https://www.manning.com/books/julia-in-action)

3. Blaise N. Barney, [HPC Training Materials](https://computing.llnl.gov/tutorials/parallel_comp/), per gentile concessione del Lawrence Livermore National Laboratory's Computational Training Center

4. J. Dongarra, J. Kurzak, J. Demmel, M. Heroux, [Linear Algebra Libraries for High- Performance Computing: Scientific Computing with Multicore and Accelerators](http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/SLIDES/sc2011-tutorial.pdf), SuperComputing 2011 (SC11)

1. Preliminari
Definizione di iper-superficie. Integrazione su iper-superfici. Il teorema della divergenza.

2. Equazione di Laplace
Disuguaglianze di valor medio. Principio del minimo e del massimo. La disuguaglianza di Harnack. La rappresentazione tramite funzione di Green. L’integrale di Poisson. Teoremi di convergenza. Stime interne sulle derivate. Il problema di Dirichlet: il metodo delle funzioni sub-armoniche.

3. Il principio classico del massimo
Il principio debole del massimo. Il principio forte del massimo. Il lemma di Hopf.

4. L’equazione di Poisson e il potenziale Newtoniano
Hölder-continuità. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson. Stime hölderiane per le derivate seconde. Stime al bordo. Stime hölderiane per le derivate prime.

5. Richiami su spazi di Banach e di Hilbert
Il principio delle contrazioni. Il metodo di continuità.

6. Soluzioni classiche: l’approccio di Schauder
Stime interne di Schauder. Stime al bordo e globali. Il problema di Dirichlet. Regolarità interna e al bordo.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in form elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

MECCANICA LAGRANGIANA E MECCANICA HAMILTONIANA. PRINCIPI VARIAZIONALI. SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI. TEOREMA KAM.

[1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996)
[4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979)
[5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980)

Outline del corso; Introduzione e generalita'; Bioinformatica e algoritmi; La biologia computazionale nella clinica e nell'industria farmaceutica; Farmacocinetica e farmacodinamica;

Introduzione alla Systems Biology: cosa e' la biologia computazionale; I ruoli della modellistica matematica e della bioinformatica; a cosa mira; quali sono i problemi; Strumenti teorici utilizzati della bio-matematica e della bioinformatica.

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare (prima parte): conoscenza di base di genetica, proteomica e processi cellulari; Ecologia ed evoluzione; le molecola base; i legami molecolari; i cromosomi; ll DNA e la sua replicazione;

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare (seconda parte); genomica; Il dogma centrale della biologia; Il progetto genoma; la struttura del genoma umanol Analisi dei geni; la trascrizione del DNA; i virus;

Laboratorio: generazione di numeri casuali; le funzioni srand48 e drand48; generazione casuale di stringhe nucleotidiche di lunghezza arbitraria (program1.c); generazione casuale di stringhe aminoacidiche di lunghezza arbitraria (program2.c);

Introduzione alle teoria dell'informazione; Shannon Entropy; Conditional Entropy; Mutual Information; Indici di diversita' biologica; Indice di Shannon; True diversity; Reny index;

Laboratorio: il codice genetico; Programma in C di trascrizione sequenza DNA e traduzione in proteine;

Introduzione ai processi stocastici; definizione base; esempi; modello di code; processo di Bernoulli e di Poisson; Processi Markoviani; i processi stocastici in bioinformatica e bio-matematica; l'autocorrelazione; Cenni ai Random Walks e all'algoritmo BLAST di sequence alignment come processo stocastico e principale algoritmo per la consultazione di database di sequenze biologiche;

Laboratorio: sviluppo di un algoritmo in C per il calcolo della Shannon Entropy di un testo in inglese (o in italiano) qualsiasi (e.g., http://www.textfiles.com/etext/)

Cammini casuali. L'algoritmo BLAST per l'allineamento di sequenze come cammino casuale; Laboratorio: implementazione in C di diversi algoritmi per la generazione di un random walk in 1D e 2D su reticolo e in R o R^2 segnale e calcolo del mean square displacement;

Confrontare sequenze: similarita' e omologia; pairwise alignment; distanza di editing; scoring matrices PAM e BLOSUM; Algoritmo di Needleman-Wunsch; allineamento locale; Algoritmo di Smith-Waterman; algoritmo BLAST;

Laboratorio: implementazione in C di un algoritmo per la generazione di un segnale con rumore e calcolo del correlogramma in presenza o assenza di un vero segnale;

Multiple Sequence Alignment; sequenza di consenso; algoritmi star alignment; ClustalW; entropy e circular sum scoring functions;

Banche dati biologiche; motivazioni; formato dati; tassonomia; DB primari; DB secondari; NCBI, EMBL, DDBJ; NCBI EBI-Entrez; Exact matching/string searching: generalita'; l'agoritmo di Knuth-Morris-Pratt;

Exact matching/string searching: l'agoritmo di Boyer-Moore;

Esercitazione su una implementazione dell'algoritmo di exact matching Knuth-Morris-Pratt. Esercitazione su banche dati biologiche; database primari; database secondari; NCBI, EMBL, DDBJ; NCBI EBI-Entrez; Uso dell'algoritmo BLAST

Phylogenetic Analysis; alberi filogenetici; dimensione dello spazio di ricerca di algoritmi filogenetici; Metodi di costruzione di alberi filogenetici; Dati usati per l'analisi filogenetica; L'algoritmo Unweighted Pair Group Method with Arithmetic mean (UPGMA); l'algoritmo Neighbor Joining Method; Hidden Markov Models; Decoding; the Viterbi Algorithm; Evaluation;

Laboratorio: completamento dell'esercizio su mutazione, selezione ed evoluzione di stringhe nucleotidiche (genotipo) tradotte in stringhe aminoacidiche (fenotipo); La selezione viene fatta in base alla presenza di determinate sottostringhe nel fenotipo che ne determina il valore di fitness; Dettagli implementatitvi, visualizzazione del criterio di convergenza e dei risultati, discussione, etc.;

Machine Learning; generalita'; supervised e unsupervised learning; model selection; undefitting; overfitting; Polynomial curve fitting; machine learning come stima dei parametri ed il problema dell'overfitting; suddivisione del training set in testing e testing; concetto di bias e variance trade-off; Artificial Neural Networks; definizone; il percettrone di Rosenblatt; l'algoritmo di apprendimento del percettrone; il multi-layer perceptron;

Laboratorio: completamento dell'implementazione in ANSI C dell'algoritmo evolutivo di stringhe nucleotidiche (genotipo) tradotte, mediante l'utilizzo del codice genetico, in stringhe aminoacidiche (fenotipo);

Hidden Markov Models; The Forward Algorithm; The Backward Algorithm; Posterior Decoding; Learning; Baum-Welch Algorithm; Uso di Hidden Markov Models per l'analisi di bio-sequenze; gene finding;

Artificial Neural Networks; l'algoritmo di error-back propagation per l'apprendimento del MLP; tipi di neural networks; convolution networks; reinforcement networks; unsupervised learning e self-organising maps; Cenni introduttivi alla teoria dei grafi; rappresentazione, terminologia, concetti; cammini; cicli; connettivita'; distanza; componenti connesse; distanza;

Cenni introduttivi alla teoria dei grafi; visita breadth-first search; depth-first search; algoritmo di Dijkstra; six-degree of separation; small world networks; misure di centralita'; degree centrality; eigenvector centrality; betweennes centrality; closeness centrality; La network biology; generalita'; concetti; tipi di dati biologici usati per costruire le reti; network biology e network medicine; problemi e algoritmi usati; misure di centralita'; random networks; scale-free networks; preferential attachment; scale-free network in biologia;

Laboratorio: completamento dell'esercizio sull'algoritmo evolutivo; Dettagli implementatitvi, visualizzazione del criterio di convergenza e dei risultati, discussione, etc.;

Modelli bio-matematici; predizione mediante modelli teorici; il paradigma itertativo della modellistica matematica; data-driven models; modelli di crescita di popolazione limitata e non; derivazione analitica ed esempi; crescita logistica; modelli ecologici limitati dalla densita'; Il modello di Lotka-Volterra; l'esperimento di Huffaker e Kenneth; il modello epidemico SIR e alcune sue varianti; Il modello di Perelson per la HAART; l'applicazione Java Populus per la soluzione di modelli continui di dinamica delle popolazione; cenni ai metodi di risoluzione numerica dei sistemi di equazioni differentiali;

Modelli discreti; modelli di spin (Ising models); Automi cellulari; Boolean networks; Agent-based models; data fitting e stima dei parametri; strumenti software disponibili; Automi cellulari; introduzione e storia; definizione; l'automa 1-dimensionale; classificazione di Wolfram; l'automa 2-dimensionale; il Game of Life di Conway; Software disponibile per la simulazione di CA; hardware dedicato (CA-Machine); il modello preda-predatore come automa cellulare bidimensionale; relazione con il sistema di equazioni alle derivare ordinarie; modelli stocastici; CA stocastici come sistemi dinamici discreti stochastici e processi stocastici; esempio di CA: Belousov-Zabotonsky reactions;

[-] E.S. Allman, J.A. Rhodes. Mathematical Models in Biology: An Introduction (2004) Cambridge University Press.
[-] W.J. Ewens, G.R. Grant. Statistical Methods in Bioinformatics, An Introduction (2005) Springer Verlag.
[-] R. Durbin, S. Eddy, A. Krogh, G. Mitchison. Biological sequence analysis - Probabilistic models of proteins and nucleic acids (1998) Cambridge University Press.

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Introduzione alla topologia algebrica. I simplessi e le loro proprieta'. Il complesso delle catene singolari associate ad uno spazio topologico. I gruppi di omologia singolare. Proprieta' elementari: i gruppi di omologia rispettano la decomposizione di uno spazio in componenti connesse per archi; calcolo del gruppo di omologia H_0. L'omologia di un punto. Omologia ridotta: definizione e confronto con l'omologia usuale. Categorie e funtori: definizioni ed esempi. L'omologia come functore dagli spazi topologichi ai gruppi abeliani, passando per la categoria dei complessi. Invarianza omotopica dell'omologia: funzioni continue omotope inducono mappe di complessi omotope; mappe di complessi omotope inducono la stessa mappa in omologia. Il complesso delle catene di una coppia e l'omologia di una coppia: proprieta' funtoriali e invarianza omotopica. La successione esatta lunga in coomologia associata ad una tripla (o ad una coppia). Corollario: l'omologia ridotta come omologia relativa ad un punto.
Il Teorema di escissione. L'omologia relativa ad un ricoprimento.
Coppie buone. Esempi e controesempi. L'omologia di una coppia buona e' isomorfa all'omologia ridotta del quoziente.
Successione di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia della sfera e di un disco relativo al bordo, con generatori espliciti. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower, il teorema dell'invarianza della dimensione (tramite l'omologia locale di R^n).
Grado di applicazioni dalla sfera n-dimensionale in se'. Proprieta' elementari: moltiplicativita' e invarianza omotopica. Esempi: riflessioni, mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Applicazione: la pettinabilita' della sfera n-dimensionale. Formula locale per il grado. Il caso di dimensione 1: la mappa grado definisce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale della sfera 1-dimensionale e il gruppo degli interi.
La sospensione di spazi topologici. Il grado della sospensione di una mappa da S^n a S^n e' ugale al grado della mappa originaria. Naturalita' delle successioni esatte lunghe. Delta-complessi. Esempi in dimensione uno e due. Equivalenza tra Delta-complessi e Delta-insiemi.
Complessi simpliciali e loro equivalenza con i complessi simpliciali astratti. L'omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi. L'isomorfismo tra l'omologia simpliciale e l'omologia singolare.
Complessi cellulari (o CW): definizione induttiva. Esempi. I Delta-complessi come complessi cellulari. Ogni complesso cellulare e' omotopo ad un Delta-complesso.
Proprieta' topologiche dei complessi cellulari: normalita', locale contraibilita', paracompattezza (senza dimostrazione), compattezza e locale compattezza. Le coppie cellulari sono coppie buone. Strutture cellulari e simpliciali su varieta' topologiche e differenziabili: una panoramica dei risultati. Esempi di complessi cellulari: la sfera, lo spazio proiettivo reale.
Lemma di compattezza per complessi cellulari. La caratterizzazione dei complessi cellulari tramite le mappe caratteristiche. Non esempi di complessi cellulari che violano la proprieta' della topologia debole o quella della finitezza della chiusura. Esempi di complessi cellulari: lo spazio proiettivo complesso, le superfici topologiche compatte orientate e non orientate.
Somma wedge di spazi topologici puntati e loro gruppi di omologia. Il complesso delle catene cellulari di un complesso cellulare e l'omologia cellulare. L'omologia cellulare coincide con l'omologia singolare. La formula per il differenziale cellulare. Esercizi: omologia cellulare di sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici topologiche compatte orientate e non, i tori n-dimensionali.
Omologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: prodotto tensoriale e bifuntori Tor.
Il teorema dei coefficienti universali per l'omologia. Spazi di Moore. Lo spezzamento della successione esatta nel teorema dei coefficienti universali non e' naturale: un controesempio.
Una coppia cellulare soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica. Se una coppia soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica e il sottospazio e' contraibile, allora il quoziente per il sottospazio e' un'equivalenza omotopica. Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (inizio della dimostrazione).
Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (fine della dimostrazione). La caratteristica di Eulero. Formula della caratteristica di Eulero per un complesso cellulare finito. Esercizi.
Coomologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: il bifuntore Hom e il bifuntore Ext. Il teorema dei coefficienti universali per la coomologia.
Proprieta' della Coomologia: funtorialita', invarianza omotopica, successione esatta lunga di una tripla e relazione tra i morfismi di connessione in omologia e coomologia, coomologia ridotta, escissione, coomologia di una coppia buona, successione di Mayer-Vietoris.
Il prodotto cup e l'anello di coomologia.
+La coomologia simpliciale di un Delta-complesso. La coomologia cellulare di un complesso cellulare. Esempio: l'anello di coomologia delle superfici topologiche compatte orientate e non.
L'approccio assiomatico alla (co)omologia assoluta di una coppia e relativa (senza dimostrazione). Il prodotto cross in omologia e coomologia singolare e cellulare. Relazione tra il prodotto cup e il prodotto cross in coomologia. La formula di Kunneth in omologia e coomologia (senza dimostrazione). Esempio: l'anello di coomologia di un toro n-dimensionale e' l'algebra esterna di dimensione n.
Varieta' (topologiche). Orientabilita' di varieta'. Il rivestimento doppio delle orientazioni locali. R-orientabilita'. Il rivestimento delle R-classi locali. L'omologia n-esima di una n-varieta' compatta e connessa, R-orientabile e non. La R-classe fondamentale di una varieta' compatta R-orientabile.
Il prodotto cap e la sua relazione col prodotto cup. La formulazione della dualita' di Poincare' per varieta' compatte R-orientate: versione I (col prodotto cap) e versione II (col prodotto cup).
Coomologia a supporto compatto. Digressione sui limiti diretti di gruppi. L'operatore di dualita' per varieta' topologiche R-orientate non compatte. Il teorema di dualita' di Poincare' per varieta' topologiche R-orientate compatte e non: dimostrazione. Esempio: l'anello di coomologia degli spazi proeittivi reali, complessi e quaternionici.

A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.

Moto Browniano I

Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementi stazionari e indipendenti.
Definizione e propriet\`a di continuit\`a del Moto Browniano. Non-differenziabilit\`a delle traiettorie.
Propriet\`a di Markov. Propriet\`a di Markov forte e principio di riflessione.

Moto Browniano II

Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet.
Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari.
Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding.
Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni: leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.


Integrazione stocastica

Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di It\^o e applicazioni. Tempo locale e formula di Tanaka.
Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.


Equazioni differenziali stocastiche

Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione.
Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche.
Processo di diffusione nel limite di rumore nullo. Generatore infinitesimale di una diffusione e equazioni alle derivate parziali.
Formula di Feynman-Kac e applicazioni.

P. M\"orters and Y. Peres
Brownian Motion
Cambridge University Press
2010


L.C. Evans
An Introduction to Stochastic Differential Equations
AMS bookstore
2013

Sotto il titolo generico del Corso si inquadreranno sia metodi asintotici
(metodi perturbativi) che metodi numerici, soprattutto per equazioni
differenziali ordinarie e alle derivate parziali, con applicazioni. Tra i primi
rientrano i cosiddetti problemi di ``perturbazione singolare''. Si
considerera anche il caso delle equazioni alle differenze. Le due categorie
di metodi, asintotici e numerici, sono in genere insegnati e utilizzati
separatamente. Qui si cerchera di ultilizzarli entrambi, anche
congiuntamente, in uno stesso problema. Si tratta infatti di due metodologie
fondamentali per la Matematica Applicata.

Metodi asintotici:

Introduzione all'analisi asintotica. Serie asintotiche. Perturbazioni
regolari e perturbazioni singolari di equazioni differenziali ordinarie e
sistemi.

Si parte dalla definizione di successione e serie asintotica (in particolare
di potenze) e delle loro propriet\`a tipiche. Si considera anche il caso di
perturbazioni di equazioni algebriche.

Si considerano poi le perturbazioni regolari di equazioni differenzaili
ordinarie, quindi le perturbazioni singolari delle medesime. Il caso di certe
equazioni alle derivate parziali e' trattato soprattutto in modo formale.

Si considera la cosiddetta approssimazione asintotica di WKB o di
Liouville-Green. Si presentano anche alcune estensioni al caso di equazioni
alle differenze.

Metodi numerici:

Risoluzione numerica, con vari metodi, di equazioni differenziali ordinarie
e sistemi, e di alcune equazioni alle derivate parziali. Questo sara' fatto
in gran parte nelle ore di Laboratorio di calcolo, utilizzando MATLAB e
Mathematica.

John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation
Theory, Lecture Notes, https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf,
2004.

R.E. O'Malley, Jr., Introduction to Singular
Perturbations, Academic Press, New York and London, 1974

D. R. Smith, Singular-Perturbation Theory. An introduction
with applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
ds and Applications, Volume 181

D. Trigiante and V. Lakshmikantham, Theory of Difference
Equations: Numerical Methods and Applications, Elsevier Science, Vol. 181,
1988.

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

CONGRUENZE E POLINOMI. EQUAZIONI DIOFANTEE LINEARI IN DUE (O PIÙ) INDETERMINATE. RISOLUZIONE DI SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI. CONGRUENZE POLINOMIALI. CONGRUENZE POLINOMIALI MOD P: TEOREMA DI LAGRANGE. APPROSSIMAZIONE P-ADICA. ESISTENZA DI RADICI PRIMITIVE MOD P. INDICE RELATIVAMENTE AD UNA RADICE PRIMITIVA. CONGRUENZE QUADRATICHE. RESIDUI QUADRATICI. SIMBOLO DI LEGENDRE. LEMMA DI GAUSS E LEGGE DI RECIPROCITÀ QUADRATICA. SIMBOLO DI JACOBI. INTERI SOMMA DI DUE QUADRATI. LEMMA DI THUE. INTERI RAPPRESENTABILI COME SOMMA DI DUE, TRE, QUATTRO QUADRATI. FUNZIONI MOLTIPLICATIVE. LA FORMULA DI INVERSIONE DI MÖBIUS. STUDIO DI ALCUNE EQUAZIONI DIOFANTEE. FRAZIONI CONTINUE.

M. FONTANA, APPUNTIDEL CORSO TN1 (ARGOMENTI DELLA TEORIA CLASSICA DEI NUMERI), HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/FONTANA/DIDATTICA/FONTANA_DIDATTICA.HTML DISPENSE.
D.M. BURTON: ELEMENTARY NUMBER THEORY, MCGRAW-HILLINTERNATIONAL EDITION, 6TH EDITION (2007), 434 PP.
G.A. JONES AND J.M. JONES, ELEMENTARY NUMBER THEORY, SPRINGER, 1ST EDITION (1998), 200 PP.
H. DAVENPORT, ARITMETICA SUPERIORE.UN?INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI NUMERI, ZANICHELLI, (1994), 199 PP.
G.H. HARDY AND E.M. WRIGHT, AN INTRODUCTION TO THE THEORY OH NUMBERS, THE CLARENDON PRESS, OXFORD UNIVERSITY, 5TH EDITION (1979), XVI+426 PP.
W.J. LEVEQUE, FUNDAMENTALS OF NUMBER THEORY, DOVER PUBLICATIONS, (1996)
K.H. ROSEN. ELEMENTARY NUMBER THEORY AND ITS APPLICATIONS, ADDISON-WESLEY, 6TH EDITION (2011), XV+752 PP.

Appunti in rete del docente.

Introduzione alla topologia algebrica. I simplessi e le loro proprieta'. Il complesso delle catene singolari associate ad uno spazio topologico. I gruppi di omologia singolare. Proprieta' elementari: i gruppi di omologia rispettano la decomposizione di uno spazio in componenti connesse per archi; calcolo del gruppo di omologia H_0. L'omologia di un punto. Omologia ridotta: definizione e confronto con l'omologia usuale. Categorie e funtori: definizioni ed esempi. L'omologia come functore dagli spazi topologichi ai gruppi abeliani, passando per la categoria dei complessi. Invarianza omotopica dell'omologia: funzioni continue omotope inducono mappe di complessi omotope; mappe di complessi omotope inducono la stessa mappa in omologia. Il complesso delle catene di una coppia e l'omologia di una coppia: proprieta' funtoriali e invarianza omotopica. La successione esatta lunga in coomologia associata ad una tripla (o ad una coppia). Corollario: l'omologia ridotta come omologia relativa ad un punto.
Il Teorema di escissione. L'omologia relativa ad un ricoprimento.
Coppie buone. Esempi e controesempi. L'omologia di una coppia buona e' isomorfa all'omologia ridotta del quoziente.
Successione di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia della sfera e di un disco relativo al bordo, con generatori espliciti. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower, il teorema dell'invarianza della dimensione (tramite l'omologia locale di R^n).
Grado di applicazioni dalla sfera n-dimensionale in se'. Proprieta' elementari: moltiplicativita' e invarianza omotopica. Esempi: riflessioni, mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Applicazione: la pettinabilita' della sfera n-dimensionale. Formula locale per il grado. Il caso di dimensione 1: la mappa grado definisce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale della sfera 1-dimensionale e il gruppo degli interi.
La sospensione di spazi topologici. Il grado della sospensione di una mappa da S^n a S^n e' ugale al grado della mappa originaria. Naturalita' delle successioni esatte lunghe. Delta-complessi. Esempi in dimensione uno e due. Equivalenza tra Delta-complessi e Delta-insiemi.
Complessi simpliciali e loro equivalenza con i complessi simpliciali astratti. L'omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi. L'isomorfismo tra l'omologia simpliciale e l'omologia singolare.
Complessi cellulari (o CW): definizione induttiva. Esempi. I Delta-complessi come complessi cellulari. Ogni complesso cellulare e' omotopo ad un Delta-complesso.
Proprieta' topologiche dei complessi cellulari: normalita', locale contraibilita', paracompattezza (senza dimostrazione), compattezza e locale compattezza. Le coppie cellulari sono coppie buone. Strutture cellulari e simpliciali su varieta' topologiche e differenziabili: una panoramica dei risultati. Esempi di complessi cellulari: la sfera, lo spazio proiettivo reale.
Lemma di compattezza per complessi cellulari. La caratterizzazione dei complessi cellulari tramite le mappe caratteristiche. Non esempi di complessi cellulari che violano la proprieta' della topologia debole o quella della finitezza della chiusura. Esempi di complessi cellulari: lo spazio proiettivo complesso, le superfici topologiche compatte orientate e non orientate.
Somma wedge di spazi topologici puntati e loro gruppi di omologia. Il complesso delle catene cellulari di un complesso cellulare e l'omologia cellulare. L'omologia cellulare coincide con l'omologia singolare. La formula per il differenziale cellulare. Esercizi: omologia cellulare di sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici topologiche compatte orientate e non, i tori n-dimensionali.
Omologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: prodotto tensoriale e bifuntori Tor.
Il teorema dei coefficienti universali per l'omologia. Spazi di Moore. Lo spezzamento della successione esatta nel teorema dei coefficienti universali non e' naturale: un controesempio.
Una coppia cellulare soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica. Se una coppia soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica e il sottospazio e' contraibile, allora il quoziente per il sottospazio e' un'equivalenza omotopica. Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (inizio della dimostrazione).
Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (fine della dimostrazione). La caratteristica di Eulero. Formula della caratteristica di Eulero per un complesso cellulare finito. Esercizi.
Coomologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: il bifuntore Hom e il bifuntore Ext. Il teorema dei coefficienti universali per la coomologia.
Proprieta' della Coomologia: funtorialita', invarianza omotopica, successione esatta lunga di una tripla e relazione tra i morfismi di connessione in omologia e coomologia, coomologia ridotta, escissione, coomologia di una coppia buona, successione di Mayer-Vietoris.
Il prodotto cup e l'anello di coomologia.
+La coomologia simpliciale di un Delta-complesso. La coomologia cellulare di un complesso cellulare. Esempio: l'anello di coomologia delle superfici topologiche compatte orientate e non.
L'approccio assiomatico alla (co)omologia assoluta di una coppia e relativa (senza dimostrazione). Il prodotto cross in omologia e coomologia singolare e cellulare. Relazione tra il prodotto cup e il prodotto cross in coomologia. La formula di Kunneth in omologia e coomologia (senza dimostrazione). Esempio: l'anello di coomologia di un toro n-dimensionale e' l'algebra esterna di dimensione n.
Varieta' (topologiche). Orientabilita' di varieta'. Il rivestimento doppio delle orientazioni locali. R-orientabilita'. Il rivestimento delle R-classi locali. L'omologia n-esima di una n-varieta' compatta e connessa, R-orientabile e non. La R-classe fondamentale di una varieta' compatta R-orientabile.
Il prodotto cap e la sua relazione col prodotto cup. La formulazione della dualita' di Poincare' per varieta' compatte R-orientate: versione I (col prodotto cap) e versione II (col prodotto cup).
Coomologia a supporto compatto. Digressione sui limiti diretti di gruppi. L'operatore di dualita' per varieta' topologiche R-orientate non compatte. Il teorema di dualita' di Poincare' per varieta' topologiche R-orientate compatte e non: dimostrazione. Esempio: l'anello di coomologia degli spazi proeittivi reali, complessi e quaternionici.

A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.