Università Roma Tre

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000