Università Roma Tre

Introduzione alla topologia algebrica. I simplessi e le loro proprieta'. Il complesso delle catene singolari associate ad uno spazio topologico. I gruppi di omologia singolare. Proprieta' elementari: i gruppi di omologia rispettano la decomposizione di uno spazio in componenti connesse per archi; calcolo del gruppo di omologia H_0. L'omologia di un punto. Omologia ridotta: definizione e confronto con l'omologia usuale. Categorie e funtori: definizioni ed esempi. L'omologia come functore dagli spazi topologichi ai gruppi abeliani, passando per la categoria dei complessi. Invarianza omotopica dell'omologia: funzioni continue omotope inducono mappe di complessi omotope; mappe di complessi omotope inducono la stessa mappa in omologia. Il complesso delle catene di una coppia e l'omologia di una coppia: proprieta' funtoriali e invarianza omotopica. La successione esatta lunga in coomologia associata ad una tripla (o ad una coppia). Corollario: l'omologia ridotta come omologia relativa ad un punto.
Il Teorema di escissione. L'omologia relativa ad un ricoprimento.
Coppie buone. Esempi e controesempi. L'omologia di una coppia buona e' isomorfa all'omologia ridotta del quoziente.
Successione di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia della sfera e di un disco relativo al bordo, con generatori espliciti. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower, il teorema dell'invarianza della dimensione (tramite l'omologia locale di R^n).
Grado di applicazioni dalla sfera n-dimensionale in se'. Proprieta' elementari: moltiplicativita' e invarianza omotopica. Esempi: riflessioni, mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Applicazione: la pettinabilita' della sfera n-dimensionale. Formula locale per il grado. Il caso di dimensione 1: la mappa grado definisce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale della sfera 1-dimensionale e il gruppo degli interi.
La sospensione di spazi topologici. Il grado della sospensione di una mappa da S^n a S^n e' ugale al grado della mappa originaria. Naturalita' delle successioni esatte lunghe. Delta-complessi. Esempi in dimensione uno e due. Equivalenza tra Delta-complessi e Delta-insiemi.
Complessi simpliciali e loro equivalenza con i complessi simpliciali astratti. L'omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi. L'isomorfismo tra l'omologia simpliciale e l'omologia singolare.
Complessi cellulari (o CW): definizione induttiva. Esempi. I Delta-complessi come complessi cellulari. Ogni complesso cellulare e' omotopo ad un Delta-complesso.
Proprieta' topologiche dei complessi cellulari: normalita', locale contraibilita', paracompattezza (senza dimostrazione), compattezza e locale compattezza. Le coppie cellulari sono coppie buone. Strutture cellulari e simpliciali su varieta' topologiche e differenziabili: una panoramica dei risultati. Esempi di complessi cellulari: la sfera, lo spazio proiettivo reale.
Lemma di compattezza per complessi cellulari. La caratterizzazione dei complessi cellulari tramite le mappe caratteristiche. Non esempi di complessi cellulari che violano la proprieta' della topologia debole o quella della finitezza della chiusura. Esempi di complessi cellulari: lo spazio proiettivo complesso, le superfici topologiche compatte orientate e non orientate.
Somma wedge di spazi topologici puntati e loro gruppi di omologia. Il complesso delle catene cellulari di un complesso cellulare e l'omologia cellulare. L'omologia cellulare coincide con l'omologia singolare. La formula per il differenziale cellulare. Esercizi: omologia cellulare di sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici topologiche compatte orientate e non, i tori n-dimensionali.
Omologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: prodotto tensoriale e bifuntori Tor.
Il teorema dei coefficienti universali per l'omologia. Spazi di Moore. Lo spezzamento della successione esatta nel teorema dei coefficienti universali non e' naturale: un controesempio.
Una coppia cellulare soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica. Se una coppia soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica e il sottospazio e' contraibile, allora il quoziente per il sottospazio e' un'equivalenza omotopica. Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (inizio della dimostrazione).
Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (fine della dimostrazione). La caratteristica di Eulero. Formula della caratteristica di Eulero per un complesso cellulare finito. Esercizi.
Coomologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: il bifuntore Hom e il bifuntore Ext. Il teorema dei coefficienti universali per la coomologia.
Proprieta' della Coomologia: funtorialita', invarianza omotopica, successione esatta lunga di una tripla e relazione tra i morfismi di connessione in omologia e coomologia, coomologia ridotta, escissione, coomologia di una coppia buona, successione di Mayer-Vietoris.
Il prodotto cup e l'anello di coomologia.
+La coomologia simpliciale di un Delta-complesso. La coomologia cellulare di un complesso cellulare. Esempio: l'anello di coomologia delle superfici topologiche compatte orientate e non.
L'approccio assiomatico alla (co)omologia assoluta di una coppia e relativa (senza dimostrazione). Il prodotto cross in omologia e coomologia singolare e cellulare. Relazione tra il prodotto cup e il prodotto cross in coomologia. La formula di Kunneth in omologia e coomologia (senza dimostrazione). Esempio: l'anello di coomologia di un toro n-dimensionale e' l'algebra esterna di dimensione n.
Varieta' (topologiche). Orientabilita' di varieta'. Il rivestimento doppio delle orientazioni locali. R-orientabilita'. Il rivestimento delle R-classi locali. L'omologia n-esima di una n-varieta' compatta e connessa, R-orientabile e non. La R-classe fondamentale di una varieta' compatta R-orientabile.
Il prodotto cap e la sua relazione col prodotto cup. La formulazione della dualita' di Poincare' per varieta' compatte R-orientate: versione I (col prodotto cap) e versione II (col prodotto cup).
Coomologia a supporto compatto. Digressione sui limiti diretti di gruppi. L'operatore di dualita' per varieta' topologiche R-orientate non compatte. Il teorema di dualita' di Poincare' per varieta' topologiche R-orientate compatte e non: dimostrazione. Esempio: l'anello di coomologia degli spazi proeittivi reali, complessi e quaternionici.

A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.