Introduzione: Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado, anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi, estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi, il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici, campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois: Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppo di Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell'esistenza dell'elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois: Gruppi di Galois come sottogruppi di $S_n$, sottogruppi transitivi di $S_n$, caratterizzazione dell'irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in $A_n$, Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale
a $4$, esempi di polinomi con gruppo di Galois $S_p$.

Campi ciclotomici: Definizioni, gruppo di Galois, sottocampi reali massimali, sottocampi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti: Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti. Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con $p$ elementi.

Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti del piano costruibili, numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).

http://ricerca.mat.uniroma3.it/users/valerio/ge310_1819.html

http://ricerca.mat.uniroma3.it/users/valerio/GE310/prog18.pdf

- Teoria classica delle varieta' algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
- Geometria locale, normalizzazione.
- Divisori, sistemi lineari e morfismi di varieta' proiettive.

Testi di Geometria Algebrica:
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1994.
J. Harris, Algebraic geometry (a first course), Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1992.


Testi di Algebra:
* M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri 1997.
* M.F. Atiyah, I.G. Mac Donald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli 1991.

Definizioni di base. Grafi connessi. Grafi Euleriani
Alberi. Alberi radicati. Alberi generanti.
Spazio dei cicli. Spazio dei ragli.Numero ciclomatico
Grafi bipartiti. Accoppiamenti. Teorema del matrimonio.
Esistenza di 1-fattori e k-fattori.
Connettivita'. Struttura di grafi 2-connessi e 3-connessis.
Grafi Hamiltoniani.
Grafi planar e grafi piani. Formula di Eulero. Triangolazioni
Colorazioni.

R. Diestel. GRAPH THEORY. Edizione Springer GTM

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITE' ET DECIDABILITE'. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Parte 1: Alcune nozioni preliminari.
Relazioni d'ordine e alberi, definizioni induttive, dimostrazioni per induzione, assioma di scelta e lemma di Kőnig.

Parte 2: Dimostrabilità e soddisfacibilità
Linguaggio formale del primo ordine: alfabeto, termini , formule, sequenti. Strutture per un linguaggio del primo ordine: strutture, termini e formule a parametri in una struttura, valutazione di termini, formule e sequenti. Calcolo dei sequenti per la logica del primo ordine: il calcolo dei sequenti LK di Gentzen. Sequenti derivabili e derivazioni. Correttezza delle regole di LK. Analisi canonica e teorema fondamentale: costruzione dellanalisi canonica (con e senza tagli) e dimostrazione del teorema fondamentale dellanalisi canonica. Conseguenze del teorema fondamentale dell'analisi canocica: teoremi di completezza, eliminabilit del taglio, compattezza, L"owenheim-Skolem.

Parte 3: Verso la teoria della dimostrazione: il teorema di eliminazione del taglio.
La procedura di eliminazione del taglio. Definizione dei passi elementari di eliminazione del taglio. Prima strategia dimostrativa (riduzione a grandi passi). Seconda strategia dimostrativa (rovesciamento delle derivazioni). Cenni sulla complessit\`a della procedura di eliminazione del taglio. Qualche conseguenza immediata del teorema di eliminazione del taglio.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 1- Dimostrazioni e modelli al primo
ordine. Springer, (2014).

Verso la teoria dei modelli: alcune conseguenze del teorema di compattezza.
Dimostrazione del teorema di compattezza per linguaggi di cardinalità qualsiasi. Linguaggi con uguaglianza. Il teorema di compattezza per i linguaggi con uguaglianza. Correttezza e completezza per i linguaggi con uguaglianza. Il teorema di L"owenheim-Skolem per i linguaggi con uguaglianza (numerabili). Limiti espressivi del linguaggio del primo ordine. Equivalenza elementare, sottostrutture, sottostrutture elementari. Isomorfismo ed equivalenza elementare. La nozione di sottostruttura. Sottostrutture elementari e diagrammi. I teoremi di preservazione. Generalizzazioni del teorema di L"owenheim-Skolem. Completezza di una teoria.

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività: funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari, la funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive, gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive, aritmetizzazione della sintassi, teoremi fondamentali della teoria della ricorsività, decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

L'aritmetica di Peano: gli assiomi di Peano, i modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine), le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine), incompletezza ed indecidibilità.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 1- Dimostrazioni e modelli al primo
ordine. Springer, (2014).

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).

Introduzione alla statistica (1)(2): raccolta dei dati e statistica descrittiva, inferenza statistica e modelli probabilistici, popolazione e campione, breve storia della statistica, indagine campionaria e e censuaria, l’indagine campionaria, tecniche di campionamento, campionamento casuale semplice, problemi; Statistica descrittiva (1)(3): organizzazione e descrizione dei dati, tabelle e grafici di frequenze assolute e relative, raggruppamento dei dati, istogrammi, ogive, diagrammi steam and leaf, le grandezze che sintetizzano i dati, media mediana e moda campionarie, varianza e deviazione standard campionarie, percentili campionari e box plot, la disuguaglianza di Chebyshev, campioni normali, insieme di dati bivariati e coefficiente di correlazione campionaria, problemi; Stima parametrica (1): stimatori di massima verosimiglianza, valutazione dell'efficienza degli stimatori puntuali, intervalli di confidenza per la media di una distribuzione normale con varianza nota, intervalli di confidenza per la media di una distribuzione normale con varianza non nota intervalli di confidenza per la varianza di una distribuzione normale, intervalli di confidenza per ladifferenza tra le medie di due distribuzioni normali, intervalli di confidenza approssimati per la media di una distribuzione di Bernoulli, problemi;Verifica delle ipotesi (1): livelli di significatività, la verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale, il caso in cui la varianza è nota, caso di varianza non nota e test t, verifica se due popolazioni normali hanno la stessa media, caso di varianze non note ma uguali, la verifica di ipotesi su una popolazione di Bernoulli, intervalli di confidenza per la media e test bilaterali,test per l’indipendenza e tabelle di contingenza, problemi; Regressione (4): stima dei parametri di regressione con il metodo dei minimi quadrati, una soluzione statistica per gli stimatori BLUE, assunzioni sulla distribuzione del modello, stima e testd'ipotesi per i parametri di regressione, coefficiente di determinazione, stima e previsione per un valore specifico della variabile esplicativa, minimi quadrati persati (1), problemi; Regressione multipla (1), (5): stima dei parametri di regressione con il metodo dei minimi quadrati, assunzioni sulla distribuzione del modello, stima e test d'ipotesi per i parametri di regressione coefficiente di determinazione multipla, previsione di risposte future, problemi; Applicazioni con R(6): esempi per le scienze in codice R.

(1) Probabilità e statistica, S. M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore, 2015 (2) Lezioni di Statistica descrittiva, L. Pieraccini, A. Naccarato, Giappichelli Editore, 2003 (3) Statistica aziendale, B. Bracalente, M. Cossignani, A. Mulas, McGraw-Hill Editore, 2009 (4) Statistical Inference, G. Casella, R. Berger, Duxbury Advanced Series, 2002 (5) Econometrica, J. Johnston , Franco Angeli, 2001 (6) Introductory Statistics with R, P. Dalgaard, Springer, 2008

L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.
2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.
4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.
6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.
7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.
8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alle architetture parallele. Principi di progetto di algoritmi paralleli. Tecniche di programmazione parallela e distribuita con Julia. Primitive di comunicazione e sincronizzazione: paradigma MPI. Linguaggi basati su direttive: OpenMP. Metriche di prestazione dei programmi paralleli. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. Cenni a CombBLAS, GraphBLAS. Sviluppo di un progetto collaborativo: Simulazione di terremoti, LAR parallelo.

Blaise N. Barney, HPC Training Materials, per gentile concessione del Lawrence Livermore National Laboratory's Computational Training Center

[-] Macchine Astratte. Interpreti e Compilatori.
[-] Costrutti dei linguaggi.
[-] Programmazione Object Oriented.
[-] Programmazione Funzionale.

GABBRIELLI, M., MARTINI, S., LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE: PRINCIPI E PARADIGMI. MCGRAW-HILL, Seconda Edizione

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

1. Geometria euclidea
Rudimenti di storia della matematica greca. Le costruzioni con riga e compasso. I problemi classici della matematica greca. Gli Elementi di Euclide. Definizioni, assiomi e postulati del Libro I. I Teoremi I-XXVIII: enunciati e dimostrazioni. I Teoremi XXIX, XXX, XXXI, XXXII: il ruolo del V Postulato.
2. La questione del V Postulato
Il tentativo di Posidonio. Enunciati equivalenti: Playfair, Wallis, la transitività del parallelismo. L’opera di Saccheri. Quadrilateri di Saccheri. Le tre ipotesi. Il Teorema di Saccheri-Lagrange e l’esclusione dell’ipotesi dell’angolo ottuso. La nascita della geometria non-euclidea in Bolyai e in Lobachewski.
3. Le simmetrie del piano
Simmetrie del piano e tipi di simmetrie. Caratterizzazione delle isometrie tramite l’immagine di una terna di punti non allineati. Il Teorema di Chasles. Prodotti di riflessioni. Gruppi discreti di isometrie. Rosoni, fregi e Mosaici. Il Teorema di addizione dell’angolo. Teorema di Leonardo e classificazione dei gruppi discreti finiti. Cenni della dimostrazione della classificazione dei gruppi di fregi. Il Teorema di restrizione cristallografica e la classificazione dei gruppi di mosaici.
4. La geometria di Gauss
La geometria della Sfera. Le geometrie localmente euclidee. Gruppi uniformemente discontinui di isometrie. Il Toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein. Classificazione dei gruppi uniformemente discontinui. Cenni della dimostrazione del Teorema di classificazione delle geometrie localmente euclidee
5. Moduli di geometrie sul Toro e geometria iperbolica
Geometrie simili. Geometrie simili sul Toro. La figura modulare. Il modello del semipiano superiore di Poincaré. Rette e distanza. Ciò che ripugna Saccheri e che non ripugnava Aristotele.

R. Trudeau: La Rivoluzione non euclidea. Bollati Boringhieri ed, 1991

V. Nikulin, I. Shafarevich: Geometries and groups. Springer ed, 1987

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).

Introduzione alla statistica (1)(2): raccolta dei dati e statistica descrittiva, inferenza statistica e modelli probabilistici, popolazione e campione, breve storia della statistica, indagine campionaria e e censuaria, l’indagine campionaria, tecniche di campionamento, campionamento casuale semplice, problemi; Statistica descrittiva (1)(3): organizzazione e descrizione dei dati, tabelle e grafici di frequenze assolute e relative, raggruppamento dei dati, istogrammi, ogive, diagrammi steam and leaf, le grandezze che sintetizzano i dati, media mediana e moda campionarie, varianza e deviazione standard campionarie, percentili campionari e box plot, la disuguaglianza di Chebyshev, campioni normali, insieme di dati bivariati e coefficiente di correlazione campionaria, problemi; Stima parametrica (1): stimatori di massima verosimiglianza, valutazione dell'efficienza degli stimatori puntuali, intervalli di confidenza per la media di una distribuzione normale con varianza nota, intervalli di confidenza per la media di una distribuzione normale con varianza non nota intervalli di confidenza per la varianza di una distribuzione normale, intervalli di confidenza per ladifferenza tra le medie di due distribuzioni normali, intervalli di confidenza approssimati per la media di una distribuzione di Bernoulli, problemi;Verifica delle ipotesi (1): livelli di significatività, la verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale, il caso in cui la varianza è nota, caso di varianza non nota e test t, verifica se due popolazioni normali hanno la stessa media, caso di varianze non note ma uguali, la verifica di ipotesi su una popolazione di Bernoulli, intervalli di confidenza per la media e test bilaterali,test per l’indipendenza e tabelle di contingenza, problemi; Regressione (4): stima dei parametri di regressione con il metodo dei minimi quadrati, una soluzione statistica per gli stimatori BLUE, assunzioni sulla distribuzione del modello, stima e testd'ipotesi per i parametri di regressione, coefficiente di determinazione, stima e previsione per un valore specifico della variabile esplicativa, minimi quadrati persati (1), problemi; Regressione multipla (1), (5): stima dei parametri di regressione con il metodo dei minimi quadrati, assunzioni sulla distribuzione del modello, stima e test d'ipotesi per i parametri di regressione coefficiente di determinazione multipla, previsione di risposte future, problemi; Applicazioni con R(6): esempi per le scienze in codice R.

(1) Probabilità e statistica, S. M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore, 2015 (2) Lezioni di Statistica descrittiva, L. Pieraccini, A. Naccarato, Giappichelli Editore, 2003 (3) Statistica aziendale, B. Bracalente, M. Cossignani, A. Mulas, McGraw-Hill Editore, 2009 (4) Statistical Inference, G. Casella, R. Berger, Duxbury Advanced Series, 2002 (5) Econometrica, J. Johnston , Franco Angeli, 2001 (6) Introductory Statistics with R, P. Dalgaard, Springer, 2008

L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.
2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.
4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.
6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.
7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.
8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Lo scopo del corso è fornire allo studente gli elementi cognitivi generali che sottendono alla realizzazione di sistemi di acquisizione, controllo e monitoraggio degli esperimenti di Fisica Nucleare e Subnucleare.
Il corso è articolato sui seguenti argomenti:
- Introduzione ai sistemi di DAQ
- Parallelismo e Pipelining
- Derandomizzazione
- DAQ e Trigger
- Trasmissione Dati
- Front End Electronics
- Trigger
- Architettura Sistemi di Calcolo
- Sistemi Real Time
- Real Time Operating Systems
- Linguaggio C
- Protocolli di Rete TCP/IP
- Achitetture DAQ
- Event Building
- VME Bus
- Run Control
- Farming
- Archiviazione Dati

Durante il corso si svolgeranno delle esercitazioni in Laboratorio con la esecuzione di semplici esempi di:
- sistemi di lettura e trasferimento dati tramite meccanismi di pipe con processi concorrenti;
- programmi di simulazione di trigger basati su segnali;
- programma di Run Control per attivazione e terminazione di processi;
- configurazione e lettura di dati da scheda su bus VME.

Copia delle trasparenze.

Il corso di Algoritmi per la Crittografia è dedicato allo studio dei sistemi di cifratura e delle loro proprietà. In particolare, verranno studiati i metodi e gli algoritmi sviluppati per verificare il livello di sicurezza dei crittosistemi, sia dal punto di vista della sicurezza formale (nell'ambito dei protocolli) sia dal punto di vista della crittoanalisi. E' richiesto come prerequisito di tipo informatico la conoscenza di un sistema operativo tipo Unix (ad esempio Linux) e della programmazione in C oppure in Java.

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press, in inglese;
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da selezionare in base all'argomento scelto per la tesi

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da selezionare in base all'argomento scelto per la tesi

Il programma va deciso in accordo con lo studente, il referente interno e il soggetto che offre il tirocinio.

Da decidere in base alle attività sclete

Approfondire la conoscenza di strumenti informatici o di software per il calcolo scientifico.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Acquisire competenze professionalizzanti nel settore dell'informatica e/o del calcolo scientifico

Da scegliere in base all'argomento individuato

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

1. Introduzione. Richiami sui Campi numerici. Norme Tracce e Discriminanti. Anelli degli interi.
2. Algebra Commutativa. Anelli Noetheriani e anelli di Dedekind. La funzione ζ di Dedekind.
3. Algebra. Gruppi finitamente generati e richiami di Teoria di Galois. Reticoli.
4. Discriminanti e Ramificazione. Il Teorema di Minkowsi. I Teorema di Dirichlet. Il Gruppo delle classi e la finitezza del gruppo delle classi.
5. La formula del numeri di classe.

Schoof, R., Algebraic Number Theory. dispense Università di Roma Tor Vergata, http://www.mat.uniroma2.it/ ̃eal/moonen.pdf, (2003).
Milne, J., Algebraic Number Theory. Lecture Notes, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf, (2017).
Marcus, D, Number fields, 3rd Ed. Springer-Verlag, (1977)

Programma di massima:

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

Il campo complesso. Funzioni olomorfe (analitiche); equazioni di Cauchy-Riemann.
Serie e teorema di Abel. Esponenziale e logaritmo complesso.
Mappe conformi elementari. Integrazione complessa; teorema di Cauchy; formula di Cauchy.
Proprietà locali di funzioni olomorfe (singolarità, zeri e poli; teorema della mappa locale e principio del massimo).
Calcolo dei residui.
Funzioni armoniche.
Espansioni in serie (Teorema di Weierstrass, serie di Taylor).
Fratti parziali e prodotti infiniti.
Capitoli supplementari (dipendendo dal tempo): Funzioni intere e teorema di Hadamard. La funzione zeta di Riemann. Il teorema della mappa di Riemann.

Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

Definizione e prime proprietà delle curve ellittiche (richiami sulle curve algebriche piane, cubiche lisce, legge di gruppo, l'invariante j, algebra degli endermorfismi di una curva ellittica). Curve ellittiche su un anello e algoritmo di fattorizzazione di Lenstra. Punti razionali (teorema di Hasse e algoritmo di Schoof). Accoppiamento di Weil. Applicazioni delle curve ellittiche alla crittografia (logaritmo discreto, attaco MOV, curve anomale, crittosistemi basati sull'accoppiamento di Weil). Se il tempo lo permette studieremo argomenti legati alla crittografia quantistica.

Lawrence C. Washington, Elliptic curves: Number Theory and Criptography, Chapman & Hall (CRC)

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

A) LA TRASFORMAZIONE DELLE REGOLE STRUTTURALI IN REGOLE LOGICHE: IL CALCOLO DEI SEQUENTI E LA DERIVABILITA' IN LOGICA LINEARE
B) IL POSITIVO E IL NEGATIVO: IL CALCOLO DEI SEQUENTI FOCALIZZATO PER LA LOGICA LINEARE, LA LUDICA
C) LA COMPLESSITA' IMPLICITA E LA LOGICA LINEARE
D) GEOMETRIA DELLE DIMOSTRAZIONI: LE RETI DIMOSTRATIVE IN LOGICA LINEARE
E) GLI INVARIANTI E LO SVILUPPO DELL’INTERAZIONE TRA DIMOSTRAZIONI: GLI SPAZI COERENTI, LA GEOMETRIA DELL'INTERAZIONE

Dispense on line

Richiami di analisi funzionale (spazi normati, spazi di Hilbert, spazi di Banach, opeartori lineari e limitati).
Spazi Lp (completezza, dualità. Lo spazio di Hilbert L2).
Regolarizzazione e approssimazione tramite funzioni lisce: convoluzione, delta approssimata.
Derivate deboli (funzioni test, distribuzioni, derivate deboli in Lp).
Gli spazi di Sobolev Wk,p:
Lo spazio di Sobolev W1,p.
Lo spazio W01,p.
Qualche esempio di problemi ai limiti.
Principio del massimo.
Teoremi di densità.
Teoremi di immersione.
Stime di potenziale.
Compattezza.
Estensioni e intepolazioni.
Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in dimensione N:
Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^1,p(D)
Operatori di prolungamento.
Disuguaglianze di Sobolev.
Lo spazio W^01,p
Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti.
Esistenza di soluzioni deboli.
Regolarità delle soluzioni deboli.
Principio del massimo.

[GT] D. Gilbarg, N.S. Trudinger Elliptic partial differential equations of second order

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Moto Browniano I.Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementistazionari e indipendenti. Definizione e propriet`a di continuit`a del Moto Browniano.Non-differenziabilit`a delle traiettorie. Propriet`a di Markov. Propriet`a di Markov fortee principio di riflessione.2. Moto Browniano II.Moto browniano in piu’ dimensioni. Funzioni armoniche eproblema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano perdomini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del log-aritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni:leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.3. Integrazione stocastica.Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocasticorispetto al moto browniano. Formula di Itˆo e applicazioni. Tempo locale e formula diTanaka. Formula di Ito in piu’ dimensioni e per differenziale stocastico generale.4. Equazioni differenziali stocastiche.Equazioni differenziali stocastiche lineari:esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita’ per equazioni differenziali stocas-tiche. Processo di diffusione nel limite di rumore nullo. Generatore infinitesimale di unadiffusione e equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac e applicazioni.

[1]P. M ̈orters and Y. Peres,Brownian Motion.Cambridge University Press, (2010).
[2]L.C. Evans,An Introduction to Stochastic Differential Equations.AMS bookstore, (2013).
[3]T.M.Liggett,Continuous time Markov processes.AMS, (2010).

1. Passeggiate aleatorie e Catene di MarkovSuccessioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempodiscreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilit`a2. Esempi e modelli classici.Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascitae morte. Processi di esclusione.Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolise dinamiche di Glauber per il modellodi Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.3. Convergenza allequilibrio I.Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremiergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problemadel “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.4. Convergenza allequilibrio II.Convergenza in normaL2. Gap spettrale e stimedei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cam-mini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sultoro d-dimensionale. Convergenza allequilibrio in termini di entropia e disuguaglianzediSobolev logaritmiche. Esempi.5. Altri argomenti scelti.Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione difase dinamica per il modello di campo medio e per il modello suZ2. Il fenomeno del “cut-off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza allequilibrio. Algoritmiperla “simulazione perfetta”.

[1]D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer,Markov chains and mixing times..AMS bookstore, (2009).
[2]O. Haggstrom,Finite Markov chains and algorithmic applications..Cambridge Univ. Press,(2002).
[3]J. Norris,Markov chains.Cambridge Univ. Press, (2008).
[4]L. Saloffe-Coste,Lectures on finite Markov chains..Springer Lecture Notes in Math.1665, (1997).

Principi di Progettazione Object Oriented
Astrazione, Polimorfismo, Ereditrarieta, Aggregazione
Modelli di Progettazione Object Oriented ed UML
Diagrammi UML Use Case, Sequence, Class e Object, Deployment
Analisi e Sviluppo Software per Java Virtual Machine: I/O, Stream, Networking
Calcolo (Scientifico, Real-time,...) Efficiente Distribuito e Multithreading e Concorrenza in ambito Cloud e Mobile

MANUALE DI JAVA 9 - DE SIO CESARI CLAUDIO Hoepli

1. Cenni di Teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi; cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
2. Teoria degli algoritmi e dell'ottimizzazione: richiami sugli algoritmi e sulla programmazione strutturata; complessità computazionale di un algoritmo, classi di complessità per problemi, le classi P, NP, NP-completo, NP-hard; problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria.
Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio, algoritmi per la generazione dell'insieme delle parti di un insieme finito, calcolo delle permutazioni e delle combinazioni degli elementi di un insieme, calcolo del coefficiente binomiale; il problema dei "quadrati latini" e il gioco del Sudoku; un algoritmo ricorsivo per la soluzione del gioco.
3. Problemi di ottimizzazione su grafi e reti di flusso: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali di un grafo: connessione, connessione forte, presenza di cicli. Ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico.
Il problema della costruzione di un albero ricoprente di peso minimo (minimum spanning tree), algoritmo di Kruskal, algoritmo di Prim, formulazione del problema in termini di Programmazione Lineare Intera.
Ricerca di cammini minimi su un grafo pesato; cammino minimo con sorgente singola, algoritmo di Dijkstra, algoritmo di Bellman-Ford; cammino minimo tra tutte le coppie di vertici del grafo, algoritmi di programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo.
Reti di flusso e calcolo del flusso massimo su una rete, Teorema del flusso massimo e taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini, problemi per il partizionamento ottimo di alberi e cammini in p componenti connesse, funzioni obiettivo, tecniche algoritmiche per la soluzione di questa classe di problemi (programmazione dinamica, programmazione lineare, shifting).
Problema del matrimonio stabile (stable marriage problem), definizione del problema e del criterio di stabilità del matching, applicazioni, algoritmo di Gale e Shapley.
4. Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi mediante programmi in linguaggio Python e con il software Wolfram Mathematica.

Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Introduzione agli algoritmi e strutture dati", terza edizione, McGraw-Hill, 2010

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alla modellazione geometrica e alla visualizzazione scientifica. Complessi simpliciali, cellulari e di catene. Operatori di bordo e cobordo. Operatori algebrici di incidenza e adiacenza. Dualita`. Estrazione di modelli geometrici da immagini 3D. Triangolazioni di Delaunay e complessi di Voronoi. Funzioni di Morse e grafi di Reeb. Cenni alle strutture topologiche nei bigdata. Omologia persistente. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. CombBLAS, GraphBLAS. Sviluppo di un progetto collaborativo.

Herbert Edelsbrunner and John Harer, Computational Topology. An Introduction, AMS, 2011.

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate.
Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di unità di misura. Dimensioni
fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale.
Strumenti di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti
di misura: Portata, Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione
degli strumenti.
Incertezza nelle misurazioni: Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo
A e Tipo B.
Analisi grafica dei dati. Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi preliminare
dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi.
Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni indirette. Propagazione
delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali correlate. Definizione di
coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per grandezze correlate.

Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento, –
Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa,
studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore
resistivo
– Studio della diffrazione, verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze Note

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale

Shower di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze Note

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale

Shower di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

• Geometria Euclidea: punti notevoli nei triangoli e teoremi relativi inversione nel cerchio.
• Geometria ordinata e il problema di Sylvester.
• Geometria proiettiva: assiomi, teorema di Desargues, collineazioni e
correlazioni.
• Solidi Platonici e formula di Eulero. Politopi, politopi regolari nello
spazio 4-dimensionale. Scomposizione di poliedri.
• Topologia delle superfici e grafi: il problema dei quattro colori e il teorema dei
sei colori, teorema di Heawood per una superficie compatta.
• Triangolarizzazioni di Delaunay.
• curve piane, studio locale di singolarità, Poligoni di Newton associati a curve piane.

1) H.S.M. Coxeter Introduction to geometry, Wiley 1970;
2) G. Fisher Plane algebraic curves, AMS Students Mathematical Library V.
15, AMS 2001.
inoltre, parti estratte da
3) M. Aigner, G. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer, 1998;
4) S. Rebay, Tecniche di Generazione di Griglia per il Calcolo Scientifico-Triangolazione di Delaunay, slides Univ. Studi di Brescia;
5) B. Sturmfels, Polynomial equations and convex polytopes, American Mathematical Monthly 105 (1998) 907-922.
6) Shuhong Gao, Absolute Irreducibility of Polynomials via Newton Polytopes, J. of Algebra

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F. Cesarone, Computational Finance: a MATLAB oriented modeling, draft

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Passeggiate aleatorie e Catene di MarkovSuccessioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempodiscreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilit`a2. Esempi e modelli classici.Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascitae morte. Processi di esclusione.Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolise dinamiche di Glauber per il modellodi Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.3. Convergenza allequilibrio I.Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremiergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problemadel “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.4. Convergenza allequilibrio II.Convergenza in normaL2. Gap spettrale e stimedei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cam-mini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sultoro d-dimensionale. Convergenza allequilibrio in termini di entropia e disuguaglianzediSobolev logaritmiche. Esempi.5. Altri argomenti scelti.Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione difase dinamica per il modello di campo medio e per il modello suZ2. Il fenomeno del “cut-off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza allequilibrio. Algoritmiperla “simulazione perfetta”.

[1]D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer,Markov chains and mixing times..AMS bookstore, (2009).
[2]O. Haggstrom,Finite Markov chains and algorithmic applications..Cambridge Univ. Press,(2002).
[3]J. Norris,Markov chains.Cambridge Univ. Press, (2008).
[4]L. Saloffe-Coste,Lectures on finite Markov chains..Springer Lecture Notes in Math.1665, (1997).

1. Moto Browniano I.Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementistazionari e indipendenti. Definizione e propriet`a di continuit`a del Moto Browniano.Non-differenziabilit`a delle traiettorie. Propriet`a di Markov. Propriet`a di Markov fortee principio di riflessione.2. Moto Browniano II.Moto browniano in piu’ dimensioni. Funzioni armoniche eproblema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano perdomini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del log-aritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni:leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.3. Integrazione stocastica.Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocasticorispetto al moto browniano. Formula di Itˆo e applicazioni. Tempo locale e formula diTanaka. Formula di Ito in piu’ dimensioni e per differenziale stocastico generale.4. Equazioni differenziali stocastiche.Equazioni differenziali stocastiche lineari:esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita’ per equazioni differenziali stocas-tiche. Processo di diffusione nel limite di rumore nullo. Generatore infinitesimale di unadiffusione e equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac e applicazioni.

[1]P. M ̈orters and Y. Peres,Brownian Motion.Cambridge University Press, (2010).
[2]L.C. Evans,An Introduction to Stochastic Differential Equations.AMS bookstore, (2013).
[3]T.M.Liggett,Continuous time Markov processes.AMS, (2010).

Nozioni Introduttive

Richiami di relatività speciale. Trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowski. Definizione di vettore nello spazio di Minkowski. Base dello spazio tangente.
Spazio cotangente e vettori duali nello spazio di Minkowski. Base dello spazio cotangente. Trasformazioni di Lorentz di vettori e vettori duali. Tensori nello spazio di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz dei tensori. Proprieta’ di vettori, vettori duali e tensori nello spazio di Minkowski. Definizione di tensore simmetrico ed antisimmetrico. Operazioni di simmetrizzazione ed antisimmetrizzazione di un tensore generico. Metrica nello spazio di Minkowski: definizione e proprietà. Operazioni legate alla metrica: prodotto scalare, abbassamento ed innalzamento degli indici di un tensore, contrazione e traccia di un tensore.
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, Principio di Equivalenza Debole (WEP), Principio di Equivalenza di Einstein (EEP).

Elementi di geometria differenziale
Introduzione al concetto di varietà. Definizione di mappa. Proprietà della mappe, mappe iniettive e suriettive (inclusi esempi), composizione di mappe, mappe invertibili. Definizione di diffeomorfismo.
Definizione di carta (o sistema di coordinate). Definizione di atlante. Definizione di varietà (manifold). Prodotto di varietà.
Definizione formale di vettore indipendente dalla scelta del sistema di coordinate. Dimostrazione che la dimensione dello spazio tangente coincide con quella della varietà corrispondente. Base (sistema di coordinate) dello spazio tangente. Trasformazioni di coordinate. Trasformazione di coordinate delle componenti di un vettore. Definizione di campo tangente relative proprietà. Definizione di gruppo ad un parametro di diffeomorfismi. Definizione di curve integrali. Commutatore di due vettori. Definizione di vettore duale (1-forma) indipendente dalle coordinate. Spazio cotangente e relativa base. Effetto delle trasformazioni di coordinate su componenti e base delle 1-forme. Definizione di tensore indipendente dalle coordinate. Dimostrazione che la derivata parziale di un tensore non è un tensore.
Metrica: segnatura della metrica, forma canonica della metrica.
Densità tensoriali.
Forme differenziali. Wedge product. Derivata esterna. Forme chiuse ed esatte. Lemma di Poincarre (enunciato). Dualita di Hodge. Formulazione delle equazioni di Maxwell in termini di derivata esterna e dualità di Hodge (cenni).
Integrazione sulle varietà: elemento di volume in termini del determinante della metrica.
Mappe tra varietà: pullback e pushforward. Pullback e pushforward nel caso di diffeomorfismi. Equivalenza tra diffeomorfismi e cambi di coordinate. Campi vettoriali associati ai diffeomorfismi. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e curve integrali associate. Derivata di Lie e sue proprietà generali. Azione della derivata di Lie su scalari, vettori, uno-forme e tensori. Relatività generale come teoria invariante per diffeomorfismi. Analogia tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi.
Simmetrie.
Definizione di sottovarietà. Sottovarietà immerse ed embedded. Definizione di ipersuperficie e di boundary di una varietà.
Di nuovo sull’integrazione su una varietà: elemento di volume generico come forma differenziale. Definizione di orientazione e di varietà orientabile. Integrazione su una varietà: copertura di una varietà tramite partizione della varietà . Integrazione di p-forme su sottovarietà. Dimostrazione che l’elemento di volume può essere espresso in termini del determinante della metrica. Teorema di Stokes (solo enunciato).

Connessione, Derivata Covariante, Curvatura

Algebra di Lie e Gruppo di Lie. Azione da destra ed azione da sinistra. Vettori left- e right-invarianti. Costanti di struttura. Esempi di gruppi di Lie. Forme di Maurer-Cartan. Equazioni di Maurer-Cartan. Azione di un gruppo di Lie su una varietà. Definizioni di azione libera, effettiva e transitiva. Definizione di orbita e di stabilizzatore.
Definizione algebrica di derivata covariante e di connessione. Enunciato delle proprietà generali della derivata covariante. Azione delle trasformazioni di coordinate sulla connessione.
Dimostrazione che la differenza di due coefficienti associati a due connessioni distinte è un tensore; definizione del tensore torsione, nozione di connessione torsion-free e di connessione metrica. Dimostrazione che data un metrica esiste una connessione per cui la derivata covariante della metrica è nulla (connessione metrica).
Costruzione formale della derivata covariante dalla nozione di trasporto parallelo (introduzione qualitativa).
Definizione di fibrato (fiber bundle). Definizione di fibrato triviale e localmente trivializzabile. Definizione di trivializzazione locale. Mappe fra fibrati (nozioni).

Definizione di Atlante del bundle, G-Atlante, G-Struttura, Fibrato con gruppo di Struttura G. Definizione di bundle principale. Definizione di sezione di un bundle. Definizione di bundle vettoriale (vectorbundle) e bundle delle basi (bundle of frames) e loro proprietà generali. Relazione tra bundle principale, vectorbundles e bundle delle basi (definizione del vectorbundle associato ad un bundle principale).
Costruzione delle derivata covariante su un vectorbundle (N.B: per l’esame e’ richiesta la conoscenza dei passaggi logici fondamentali, i dettagli della dimostrazione non saranno oggetto di domande d’esame).
Definizione generale del tensore curvatura come 2-forma su un fibrato. Interpretazione geometrica della curvatura. Identità di Bianchi. Tensore metrico su un fibrato. Definizione di base ortogonale.
Connessioni e teorie di gauge: semplice esempio dell’elettromagnetismo.
Forma di saldatura. Scelta di gauge. Gauge ortonormale e gauge metrica.
Connessione di Levi-Civita; tensore di Riemann e proprietà, tensore di Ricci, scalare di Ricci, tensore di Weyl. Coordinate globalmente e localmente inerziali.

Teoria della Gravitazione di Einstein

Coupling minimale.
Particella in campo gravitazionale: parametro affine, curve self-parallele. Equazione delle geodetiche. Deviazione geodetica.
Derivazione delle equazioni di Einstein dal limite classico.
Derivazione lagrangiana delle equazioni di Einstein.
Considerazioni generali sulla strutture dell’equazione di Einstein, scelta di gauge. Condizioni di energia.
Simmetrie e vettori di Killing: versione di relatività generale del teorema di Noether, numero massimo di vettori di Killing indipendenti in una varietà. Varietà omogenea ed isotropa. Spazi a curvatura constante. Metrica su spazi a curvature costante.
Soluzioni notevoli equazioni di Einstein
Spazi tempo statici a simmetria sferica. Determinazione della metrica di Schwarzschild.
Soluzione Cosmologica. Spazio tempo spazialmente omogeneo ed isotropo. Metrica di Friedman-Robertson Walker. Equazioni di Friedman. Singolarità nelle coordinate. Caso di studio: singolarità nel raggio di Schwarzschild. Metrica di Rindler. Coordinate di Kruskal. Definizione della soluzione di buco nero.
Perturbazione intorno ad una metrica di background, caso di studio: perturbazione della metrica piatta. Gradi di liberata della perturbazione. Equazione di Einstein linearizzate, scelta di gauge. Soluzione delle equazioni di Einstein linearizzate nel vuoto:onde gravitazionali. Soluzione in presenza di sorgente (breve cenno).

Concetti avanzati

Trasformazioni conformi. Tensore di Cotton. Metrica conformemente piatta. Dimostrazione del teorema: una metrica è conformemente se e solo se il tensore di Weyl (Cotton) è nullo. Gruppo conforme: vettori di Killing conformi.
Teorie alternative di gravita. Teorie scalar tensor. Frame di Jordan e frame di Einstein.

1. S. Carrol Space time and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison Wesley, 2004);
2. R. Wald General Relativity (The Chicago Press, 1984);
3. B. Schutz A First Course in General Relativity (Cambridge Press)
4. people.sissa.it/~percacci/lectures/general/index.html
5. B. Schutz Geometrical Methods of Mathematical Physics (Cambridge Press)
6. S. Weinberg Gravitation and Cosmology-principles and application of the general theory of relativity (John Weiley & Sons, 1972);

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da selezionare in base all'argomento scelto per la tesi

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da selezionare in base all'argomento scelto per la tesi

Il programma va deciso in accordo con lo studente, il referente interno e il soggetto che offre il tirocinio.

Da decidere in base alle attività sclete

Approfondire la conoscenza di strumenti informatici o di software per il calcolo scientifico.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Acquisire competenze professionalizzanti nel settore dell'informatica e/o del calcolo scientifico

Da scegliere in base all'argomento individuato

Parte 1: Alcune nozioni preliminari.
Relazioni d'ordine e alberi, definizioni induttive, dimostrazioni per induzione, assioma di scelta e lemma di Kőnig.

Parte 2: Dimostrabilità e soddisfacibilità
Linguaggio formale del primo ordine: alfabeto, termini , formule, sequenti. Strutture per un linguaggio del primo ordine: strutture, termini e formule a parametri in una struttura, valutazione di termini, formule e sequenti. Calcolo dei sequenti per la logica del primo ordine: il calcolo dei sequenti LK di Gentzen. Sequenti derivabili e derivazioni. Correttezza delle regole di LK. Analisi canonica e teorema fondamentale: costruzione dellanalisi canonica (con e senza tagli) e dimostrazione del teorema fondamentale dellanalisi canonica. Conseguenze del teorema fondamentale dell'analisi canocica: teoremi di completezza, eliminabilit del taglio, compattezza, L"owenheim-Skolem.

Parte 3: Verso la teoria della dimostrazione: il teorema di eliminazione del taglio.
La procedura di eliminazione del taglio. Definizione dei passi elementari di eliminazione del taglio. Prima strategia dimostrativa (riduzione a grandi passi). Seconda strategia dimostrativa (rovesciamento delle derivazioni). Cenni sulla complessit\`a della procedura di eliminazione del taglio. Qualche conseguenza immediata del teorema di eliminazione del taglio.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 1- Dimostrazioni e modelli al primo
ordine. Springer, (2014).

Verso la teoria dei modelli: alcune conseguenze del teorema di compattezza.
Dimostrazione del teorema di compattezza per linguaggi di cardinalità qualsiasi. Linguaggi con uguaglianza. Il teorema di compattezza per i linguaggi con uguaglianza. Correttezza e completezza per i linguaggi con uguaglianza. Il teorema di L"owenheim-Skolem per i linguaggi con uguaglianza (numerabili). Limiti espressivi del linguaggio del primo ordine. Equivalenza elementare, sottostrutture, sottostrutture elementari. Isomorfismo ed equivalenza elementare. La nozione di sottostruttura. Sottostrutture elementari e diagrammi. I teoremi di preservazione. Generalizzazioni del teorema di L"owenheim-Skolem. Completezza di una teoria.

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività: funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari, la funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive, gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive, aritmetizzazione della sintassi, teoremi fondamentali della teoria della ricorsività, decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

L'aritmetica di Peano: gli assiomi di Peano, i modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine), le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine), incompletezza ed indecidibilità.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 1- Dimostrazioni e modelli al primo
ordine. Springer, (2014).

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Introduzione: Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado, anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi, estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi, il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici, campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois: Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppo di Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell'esistenza dell'elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois: Gruppi di Galois come sottogruppi di $S_n$, sottogruppi transitivi di $S_n$, caratterizzazione dell'irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in $A_n$, Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale
a $4$, esempi di polinomi con gruppo di Galois $S_p$.

Campi ciclotomici: Definizioni, gruppo di Galois, sottocampi reali massimali, sottocampi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti: Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti. Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con $p$ elementi.

Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti del piano costruibili, numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

http://ricerca.mat.uniroma3.it/users/valerio/ge310_1819.html

http://ricerca.mat.uniroma3.it/users/valerio/GE310/prog18.pdf

- Teoria classica delle varieta' algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
- Geometria locale, normalizzazione.
- Divisori, sistemi lineari e morfismi di varieta' proiettive.

Testi di Geometria Algebrica:
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1994.
J. Harris, Algebraic geometry (a first course), Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1992.


Testi di Algebra:
* M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri 1997.
* M.F. Atiyah, I.G. Mac Donald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli 1991.

Definizioni di base. Grafi connessi. Grafi Euleriani
Alberi. Alberi radicati. Alberi generanti.
Spazio dei cicli. Spazio dei ragli.Numero ciclomatico
Grafi bipartiti. Accoppiamenti. Teorema del matrimonio.
Esistenza di 1-fattori e k-fattori.
Connettivita'. Struttura di grafi 2-connessi e 3-connessis.
Grafi Hamiltoniani.
Grafi planar e grafi piani. Formula di Eulero. Triangolazioni
Colorazioni.

R. Diestel. GRAPH THEORY. Edizione Springer GTM

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

Sistemi dinamici lineari. Sistemi planari. Sistemi gradiente. Teoremi di stabilità. Cicli limite. Angoli di Eulero, Equazioni di Eulero. Trottola di lagrange.
Teoria delle perturbazioni. Equazione omologica. Serie perturbative. Serie di Birkhoff. Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni. Teorema KAM.

G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, disponibile online
G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Meccanica lagrangiana e hamiltoniana, disponibile online

Sistemi dinamici lineari. Sistemi planari. Sistemi gradiente. Teoremi di stabilità. Cicli limite. Angoli di Eulero, Equazioni di Eulero. Trottola di lagrange.
Teoria delle perturbazioni. Equazione omologica. Serie perturbative. Serie di Birkhoff. Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni. Teorema KAM.

G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, disponibile online
G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Meccanica lagrangiana e hamiltoniana, disponibile online

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.
2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.
4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.
6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.
7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.
8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

4) Computational Science and Engineering
Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007 Cap 3.1, page 236~241;
Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567

1. Cenni di Teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi; cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
2. Teoria degli algoritmi e dell'ottimizzazione: richiami sugli algoritmi e sulla programmazione strutturata; complessità computazionale di un algoritmo, classi di complessità per problemi, le classi P, NP, NP-completo, NP-hard; problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria.
Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio, algoritmi per la generazione dell'insieme delle parti di un insieme finito, calcolo delle permutazioni e delle combinazioni degli elementi di un insieme, calcolo del coefficiente binomiale; il problema dei "quadrati latini" e il gioco del Sudoku; un algoritmo ricorsivo per la soluzione del gioco.
3. Problemi di ottimizzazione su grafi e reti di flusso: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali di un grafo: connessione, connessione forte, presenza di cicli. Ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico.
Il problema della costruzione di un albero ricoprente di peso minimo (minimum spanning tree), algoritmo di Kruskal, algoritmo di Prim, formulazione del problema in termini di Programmazione Lineare Intera.
Ricerca di cammini minimi su un grafo pesato; cammino minimo con sorgente singola, algoritmo di Dijkstra, algoritmo di Bellman-Ford; cammino minimo tra tutte le coppie di vertici del grafo, algoritmi di programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo.
Reti di flusso e calcolo del flusso massimo su una rete, Teorema del flusso massimo e taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini, problemi per il partizionamento ottimo di alberi e cammini in p componenti connesse, funzioni obiettivo, tecniche algoritmiche per la soluzione di questa classe di problemi (programmazione dinamica, programmazione lineare, shifting).
Problema del matrimonio stabile (stable marriage problem), definizione del problema e del criterio di stabilità del matching, applicazioni, algoritmo di Gale e Shapley.
4. Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi mediante programmi in linguaggio Python e con il software Wolfram Mathematica.

Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Introduzione agli algoritmi e strutture dati", terza edizione, McGraw-Hill, 2010

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alle architetture parallele. Principi di progetto di algoritmi paralleli. Tecniche di programmazione parallela e distribuita con Julia. Primitive di comunicazione e sincronizzazione: paradigma MPI. Linguaggi basati su direttive: OpenMP. Metriche di prestazione dei programmi paralleli. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. Cenni a CombBLAS, GraphBLAS. Sviluppo di un progetto collaborativo: Simulazione di terremoti, LAR parallelo.

Blaise N. Barney, HPC Training Materials, per gentile concessione del Lawrence Livermore National Laboratory's Computational Training Center

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Approfondire un tema specifico nel settore dell'informatica e/o del calcolo scientifico

Da scegliere in base all'argomento individuato

Acquisire competenze professionalizzanti nel settore dell'informatica e/o del calcolo scientifico

Da scegliere in base all'argomento individuato

Il programma va deciso in accordo con lo studente, il referente interno e il soggetto che offre il tirocinio.

Da decidere in base alle attività sclete

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

A) LA TRASFORMAZIONE DELLE REGOLE STRUTTURALI IN REGOLE LOGICHE: IL CALCOLO DEI SEQUENTI E LA DERIVABILITA' IN LOGICA LINEARE
B) IL POSITIVO E IL NEGATIVO: IL CALCOLO DEI SEQUENTI FOCALIZZATO PER LA LOGICA LINEARE, LA LUDICA
C) LA COMPLESSITA' IMPLICITA E LA LOGICA LINEARE
D) GEOMETRIA DELLE DIMOSTRAZIONI: LE RETI DIMOSTRATIVE IN LOGICA LINEARE
E) GLI INVARIANTI E LO SVILUPPO DELL’INTERAZIONE TRA DIMOSTRAZIONI: GLI SPAZI COERENTI, LA GEOMETRIA DELL'INTERAZIONE

Dispense on line

Funzioni aritmetiche e loro proprietà:
-Definizione e convoluzione di Dirichlet.
-Funzione numero e somma dei divisori.
-Funzione di Möbius.
-Funzione di Eulero.

Congruenze:
-Insiemi di residui.
-Congruenze polinomiali.
-Radici primitive.

Residui quadratici:
-Simbolo di Legendre.
-Reciprocità quadratica.
-Simbolo di Jacobi.

Somme di quadrati:
-Somme di due quadrati.
-Numero di rappresentazioni.
-Somme di quattro quadrati.
-Somme di tre quadrati.

Frazioni continue e approssimazione diofantea:
-Frazioni continue semplici.
-Frazioni continue e approssimazione diofantea.
-Frazioni continue semplici infinite.
-Frazioni continue periodiche.
-Equazione di Pell.
-Il teorema di Liouville.

Note di W. Chen
http://www.williamchen-mathematics.info/lnentfolder/lnent.html

M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense

Il campo complesso. Funzioni olomorfe (analitiche); equazioni di Cauchy-Riemann.
Serie e teorema di Abel. Esponenziale e logaritmo complesso.
Mappe conformi elementari. Integrazione complessa; teorema di Cauchy; formula di Cauchy.
Proprietà locali di funzioni olomorfe (singolarità, zeri e poli; teorema della mappa locale e principio del massimo).
Calcolo dei residui.
Funzioni armoniche.
Espansioni in serie (Teorema di Weierstrass, serie di Taylor).
Fratti parziali e prodotti infiniti.
Capitoli supplementari (dipendendo dal tempo): Funzioni intere e teorema di Hadamard. La funzione zeta di Riemann. Il teorema della mappa di Riemann.

Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

Programma di massima:

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Moto Browniano I.Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementistazionari e indipendenti. Definizione e propriet`a di continuit`a del Moto Browniano.Non-differenziabilit`a delle traiettorie. Propriet`a di Markov. Propriet`a di Markov fortee principio di riflessione.2. Moto Browniano II.Moto browniano in piu’ dimensioni. Funzioni armoniche eproblema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano perdomini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del log-aritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni:leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.3. Integrazione stocastica.Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocasticorispetto al moto browniano. Formula di Itˆo e applicazioni. Tempo locale e formula diTanaka. Formula di Ito in piu’ dimensioni e per differenziale stocastico generale.4. Equazioni differenziali stocastiche.Equazioni differenziali stocastiche lineari:esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita’ per equazioni differenziali stocas-tiche. Processo di diffusione nel limite di rumore nullo. Generatore infinitesimale di unadiffusione e equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac e applicazioni.

[1]P. M ̈orters and Y. Peres,Brownian Motion.Cambridge University Press, (2010).
[2]L.C. Evans,An Introduction to Stochastic Differential Equations.AMS bookstore, (2013).
[3]T.M.Liggett,Continuous time Markov processes.AMS, (2010).

Principi di Progettazione Object Oriented
Astrazione, Polimorfismo, Ereditrarieta, Aggregazione
Modelli di Progettazione Object Oriented ed UML
Diagrammi UML Use Case, Sequence, Class e Object, Deployment
Analisi e Sviluppo Software per Java Virtual Machine: I/O, Stream, Networking
Calcolo (Scientifico, Real-time,...) Efficiente Distribuito e Multithreading e Concorrenza in ambito Cloud e Mobile

MANUALE DI JAVA 9 - DE SIO CESARI CLAUDIO Hoepli

[-] Macchine Astratte. Interpreti e Compilatori.
[-] Costrutti dei linguaggi.
[-] Programmazione Object Oriented.
[-] Programmazione Funzionale.

GABBRIELLI, M., MARTINI, S., LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE: PRINCIPI E PARADIGMI. MCGRAW-HILL, Seconda Edizione

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate.
Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di unità di misura. Dimensioni
fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale.
Strumenti di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti
di misura: Portata, Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione
degli strumenti.
Incertezza nelle misurazioni: Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo
A e Tipo B.
Analisi grafica dei dati. Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi preliminare
dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi.
Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni indirette. Propagazione
delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali correlate. Definizione di
coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per grandezze correlate.

Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento, –
Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa,
studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore
resistivo
– Studio della diffrazione, verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

Nozioni Introduttive

Richiami di relatività speciale. Trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowski. Definizione di vettore nello spazio di Minkowski. Base dello spazio tangente.
Spazio cotangente e vettori duali nello spazio di Minkowski. Base dello spazio cotangente. Trasformazioni di Lorentz di vettori e vettori duali. Tensori nello spazio di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz dei tensori. Proprieta’ di vettori, vettori duali e tensori nello spazio di Minkowski. Definizione di tensore simmetrico ed antisimmetrico. Operazioni di simmetrizzazione ed antisimmetrizzazione di un tensore generico. Metrica nello spazio di Minkowski: definizione e proprietà. Operazioni legate alla metrica: prodotto scalare, abbassamento ed innalzamento degli indici di un tensore, contrazione e traccia di un tensore.
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, Principio di Equivalenza Debole (WEP), Principio di Equivalenza di Einstein (EEP).

Elementi di geometria differenziale
Introduzione al concetto di varietà. Definizione di mappa. Proprietà della mappe, mappe iniettive e suriettive (inclusi esempi), composizione di mappe, mappe invertibili. Definizione di diffeomorfismo.
Definizione di carta (o sistema di coordinate). Definizione di atlante. Definizione di varietà (manifold). Prodotto di varietà.
Definizione formale di vettore indipendente dalla scelta del sistema di coordinate. Dimostrazione che la dimensione dello spazio tangente coincide con quella della varietà corrispondente. Base (sistema di coordinate) dello spazio tangente. Trasformazioni di coordinate. Trasformazione di coordinate delle componenti di un vettore. Definizione di campo tangente relative proprietà. Definizione di gruppo ad un parametro di diffeomorfismi. Definizione di curve integrali. Commutatore di due vettori. Definizione di vettore duale (1-forma) indipendente dalle coordinate. Spazio cotangente e relativa base. Effetto delle trasformazioni di coordinate su componenti e base delle 1-forme. Definizione di tensore indipendente dalle coordinate. Dimostrazione che la derivata parziale di un tensore non è un tensore.
Metrica: segnatura della metrica, forma canonica della metrica.
Densità tensoriali.
Forme differenziali. Wedge product. Derivata esterna. Forme chiuse ed esatte. Lemma di Poincarre (enunciato). Dualita di Hodge. Formulazione delle equazioni di Maxwell in termini di derivata esterna e dualità di Hodge (cenni).
Integrazione sulle varietà: elemento di volume in termini del determinante della metrica.
Mappe tra varietà: pullback e pushforward. Pullback e pushforward nel caso di diffeomorfismi. Equivalenza tra diffeomorfismi e cambi di coordinate. Campi vettoriali associati ai diffeomorfismi. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e curve integrali associate. Derivata di Lie e sue proprietà generali. Azione della derivata di Lie su scalari, vettori, uno-forme e tensori. Relatività generale come teoria invariante per diffeomorfismi. Analogia tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi.
Simmetrie.
Definizione di sottovarietà. Sottovarietà immerse ed embedded. Definizione di ipersuperficie e di boundary di una varietà.
Di nuovo sull’integrazione su una varietà: elemento di volume generico come forma differenziale. Definizione di orientazione e di varietà orientabile. Integrazione su una varietà: copertura di una varietà tramite partizione della varietà . Integrazione di p-forme su sottovarietà. Dimostrazione che l’elemento di volume può essere espresso in termini del determinante della metrica. Teorema di Stokes (solo enunciato).

Connessione, Derivata Covariante, Curvatura

Algebra di Lie e Gruppo di Lie. Azione da destra ed azione da sinistra. Vettori left- e right-invarianti. Costanti di struttura. Esempi di gruppi di Lie. Forme di Maurer-Cartan. Equazioni di Maurer-Cartan. Azione di un gruppo di Lie su una varietà. Definizioni di azione libera, effettiva e transitiva. Definizione di orbita e di stabilizzatore.
Definizione algebrica di derivata covariante e di connessione. Enunciato delle proprietà generali della derivata covariante. Azione delle trasformazioni di coordinate sulla connessione.
Dimostrazione che la differenza di due coefficienti associati a due connessioni distinte è un tensore; definizione del tensore torsione, nozione di connessione torsion-free e di connessione metrica. Dimostrazione che data un metrica esiste una connessione per cui la derivata covariante della metrica è nulla (connessione metrica).
Costruzione formale della derivata covariante dalla nozione di trasporto parallelo (introduzione qualitativa).
Definizione di fibrato (fiber bundle). Definizione di fibrato triviale e localmente trivializzabile. Definizione di trivializzazione locale. Mappe fra fibrati (nozioni).

Definizione di Atlante del bundle, G-Atlante, G-Struttura, Fibrato con gruppo di Struttura G. Definizione di bundle principale. Definizione di sezione di un bundle. Definizione di bundle vettoriale (vectorbundle) e bundle delle basi (bundle of frames) e loro proprietà generali. Relazione tra bundle principale, vectorbundles e bundle delle basi (definizione del vectorbundle associato ad un bundle principale).
Costruzione delle derivata covariante su un vectorbundle (N.B: per l’esame e’ richiesta la conoscenza dei passaggi logici fondamentali, i dettagli della dimostrazione non saranno oggetto di domande d’esame).
Definizione generale del tensore curvatura come 2-forma su un fibrato. Interpretazione geometrica della curvatura. Identità di Bianchi. Tensore metrico su un fibrato. Definizione di base ortogonale.
Connessioni e teorie di gauge: semplice esempio dell’elettromagnetismo.
Forma di saldatura. Scelta di gauge. Gauge ortonormale e gauge metrica.
Connessione di Levi-Civita; tensore di Riemann e proprietà, tensore di Ricci, scalare di Ricci, tensore di Weyl. Coordinate globalmente e localmente inerziali.

Teoria della Gravitazione di Einstein

Coupling minimale.
Particella in campo gravitazionale: parametro affine, curve self-parallele. Equazione delle geodetiche. Deviazione geodetica.
Derivazione delle equazioni di Einstein dal limite classico.
Derivazione lagrangiana delle equazioni di Einstein.
Considerazioni generali sulla strutture dell’equazione di Einstein, scelta di gauge. Condizioni di energia.
Simmetrie e vettori di Killing: versione di relatività generale del teorema di Noether, numero massimo di vettori di Killing indipendenti in una varietà. Varietà omogenea ed isotropa. Spazi a curvatura constante. Metrica su spazi a curvature costante.
Soluzioni notevoli equazioni di Einstein
Spazi tempo statici a simmetria sferica. Determinazione della metrica di Schwarzschild.
Soluzione Cosmologica. Spazio tempo spazialmente omogeneo ed isotropo. Metrica di Friedman-Robertson Walker. Equazioni di Friedman. Singolarità nelle coordinate. Caso di studio: singolarità nel raggio di Schwarzschild. Metrica di Rindler. Coordinate di Kruskal. Definizione della soluzione di buco nero.
Perturbazione intorno ad una metrica di background, caso di studio: perturbazione della metrica piatta. Gradi di liberata della perturbazione. Equazione di Einstein linearizzate, scelta di gauge. Soluzione delle equazioni di Einstein linearizzate nel vuoto:onde gravitazionali. Soluzione in presenza di sorgente (breve cenno).

Concetti avanzati

Trasformazioni conformi. Tensore di Cotton. Metrica conformemente piatta. Dimostrazione del teorema: una metrica è conformemente se e solo se il tensore di Weyl (Cotton) è nullo. Gruppo conforme: vettori di Killing conformi.
Teorie alternative di gravita. Teorie scalar tensor. Frame di Jordan e frame di Einstein.

1. S. Carrol Space time and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison Wesley, 2004);
2. R. Wald General Relativity (The Chicago Press, 1984);
3. B. Schutz A First Course in General Relativity (Cambridge Press)
4. people.sissa.it/~percacci/lectures/general/index.html
5. B. Schutz Geometrical Methods of Mathematical Physics (Cambridge Press)
6. S. Weinberg Gravitation and Cosmology-principles and application of the general theory of relativity (John Weiley & Sons, 1972);

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze Note

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale

Shower di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F. Cesarone, Computational Finance: a MATLAB oriented modeling, draft

• Geometria Euclidea: punti notevoli nei triangoli e teoremi relativi inversione nel cerchio.
• Geometria ordinata e il problema di Sylvester.
• Geometria proiettiva: assiomi, teorema di Desargues, collineazioni e
correlazioni.
• Solidi Platonici e formula di Eulero. Politopi, politopi regolari nello
spazio 4-dimensionale. Scomposizione di poliedri.
• Topologia delle superfici e grafi: il problema dei quattro colori e il teorema dei
sei colori, teorema di Heawood per una superficie compatta.
• Triangolarizzazioni di Delaunay.
• curve piane, studio locale di singolarità, Poligoni di Newton associati a curve piane.

1) H.S.M. Coxeter Introduction to geometry, Wiley 1970;
2) G. Fisher Plane algebraic curves, AMS Students Mathematical Library V.
15, AMS 2001.
inoltre, parti estratte da
3) M. Aigner, G. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer, 1998;
4) S. Rebay, Tecniche di Generazione di Griglia per il Calcolo Scientifico-Triangolazione di Delaunay, slides Univ. Studi di Brescia;
5) B. Sturmfels, Polynomial equations and convex polytopes, American Mathematical Monthly 105 (1998) 907-922.
6) Shuhong Gao, Absolute Irreducibility of Polynomials via Newton Polytopes, J. of Algebra

Approfondire un tema specifico nel settore dell'informatica e/o del calcolo scientifico

Da scegliere in base all'argomento individuato

Acquisire competenze professionalizzanti nel settore dell'informatica e/o del calcolo scientifico

Da scegliere in base all'argomento individuato

Il programma va deciso in accordo con lo studente, il referente interno e il soggetto che offre il tirocinio.

Da decidere in base alle attività sclete