Università Roma Tre

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).