Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

PARTE 1. TEORIA GENERALE
Il problema di Cauchy: teoremi di esistenza, unicità (locali e globali).
Sistemi ed equazioni di ordine superiore: sistemi lineari; equazioni e sistemi a coefficienti costanti.
Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine: piano delle fasi; oscillatori armonici; onde solitarie; perturbazioni (cenni).

PARTE 2.
Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine: autovalori, autofunzioni; funzione di Green; problemi al contorno non lineari (cenni).
Stabilità: sistemi conservativi; funzioni di Lyapunov; linearizzazione.

PARTE 3. POSSIBILI COMPLEMENTI
a) Introduzione alle equazioni di Eulero-Lagrange e calcolo delle variazioni.
b) Serie e trasformate di Fourier.
c) Introduzioni ai sistemi Hamiltoniani.

Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (Graduate Studies in Mathematics). AMS.
by Gerald Teschl (Author). ISBN-13: 978-0821883280

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

The program focuses on major themes of Biological Evolution of animal and plant organisms.
Light and Life, Evolution of photomorphogenesis, Secondary metabolites of plants, The conquest of emerged lands, co-evolution of plants-insects.

Non vi sono libri di testo specifici. Gli studenti possono far riferimento al materiale proiettato in aula e messo a disposizione.
Letture consigliate:

Taiz L., Zeiger E. - Fisiologia Vegetale - Piccin Editore

Rascio N. : Elementi di Fisiologia vegetale - EdiSES

PLANT PHYSIOLOGY (IN ENGLISH LANGUAGE)
LINCOLN TAIZ- EDUARDO ZEIGER
SINAUER ASSOCIATES (FIFTH EDITION)

Zocchi A.;Imparare ad Imparare; Amazon Kindle eBook/cartaceo copertina flessibile

Il docente riceve tutti i giorni (lunedì-Venerdì) previo appuntamento mediante e-mail istituzionale

1. TEORIA ATOMICA E STRUTTURA DELL’ATOMO. ATOMI, MOLECOLE, MOLI. PESO ATOMICO E PESO MOLECOLARE. ATOMO DI RUTHERFORD, ATOMO DI BOHR, TEORIA QUANTISTICA, NUMERI QUANTICI E LIVELLI ENERGETICI; ATOMI POLIELETTRONICI, SISTEMA PERIODICO.
2. LEGAME CHIMICO. LEGAME IONICO. LEGAME COVALENTE: LEGAME SIGMA E LEGAME PI GRECO. MOLECOLE POLIATOMICHE. STRUTTURA MOLECOLARE. IBRIDAZIONE E RISONANZA. ORBITALE MOLECOLARE. LEGAME METALLICO. FORZE INTERMOLECOLARI.
3. NOMENCLATURA E REAZIONI CHIMICHE. OSSIDI, IDROSSIDI, ACIDI, SALI, IONI. BILANCIAMENTO DELLE REAZIONI CHIMICHE.
4. STATI DI AGGREGAZIONE. STATO GASSOSO E LEGGI DEI GAS. STATO SOLIDO: SOLIDI IONICI, MOLECOLARI, METALLICI, COVALENTI. CONDUTTORI, SEMICONDUTTORI, ISOLANTI. LIQUIDI ED AMORFI. CAMBIAMENTI DISTATO E DIAGRAMMI DI STATO.
5. SOLUZIONI. CONCENTRAZIONE DELLE SOLUZIONI. PROPRIETÀ COLLIGATIVE. SOLUZIONI DI ELETTROLITI.
6. TERMODINAMICA. MATERIA, ENERGIA, CALORE. PRIMO E SECONDO PRINCIPIO. ENTALPIA, ENTROPIA, ENERGIA LIBERA.
7. EQUILIBRIO CHIMICO. COSTANTE DI EQUILIBRIO ED ENERGIA LIBERA. EQUILIBRI IN FASE GASSOSA ED ETEROGENEA. PRINCIPIO DI LE CHATELIER. EQUAZIONE DI VAN’T HOFF.
8. EQUILIBRI IN SOLUZIONE. EQUILIBRI ACIDO-BASE: ACIDI E BASI, PH, COSTANTI DI DISSOCIAZIONE, ACIDI POLIPROTICI, IDROLISI, TAMPONI; TITOLAZIONI ACIDO-BASE, INDICATORI. EQUILIBRI DI SOLUBILITÀ: SOLUBILITÀ E PRODOTTO DI SOLUBILITÀ, EFFETTO DELLO IONE A COMUNE.
9. ELETTROCHIMICA. PILE, POTENZIALI ELETTRODICI, EQUAZIONE DI NERNST. ELETTROLISI.
10. CINETICA CHIMICA. VELOCITÀ DELLE REAZIONI CHIMICHE. COSTANTE DI VELOCITÀ. INFLUENZA DELLA TEMPERATURA INFLUENZA DELLA TEMPERATURA SULLA VELOCITÀ: EQUAZIONE DI ARRHENIUS. CATALIZZATORI.
ESERCITAZIONI NUMERICHE SUGLI ARGOMENTI SVOLTI.

M. Schiavello, L.Palmisano; FONDAMENTI DI CHIMICA. EDISES
P. Michelin Lausarot, G.A. Vaglio; STECHIOMETRIA PER LA CHIMICA GENERALE. Piccin Editore

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alle architetture parallele. Principi di progetto di algoritmi paralleli. Tecniche di programmazione parallela e distribuita con Julia. Primitive di comunicazione e sincronizzazione: paradigma MPI. Linguaggi basati su direttive: OpenMP. Metriche di prestazione dei programmi paralleli. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. Cenni a CombBLAS, GraphBLAS.

1. [Lecture slides and diary](https://github.com/cvdlab-courses/pdc/blob/master/schedule.md)

2. [Learning Julia](https://www.manning.com/books/julia-in-action)

3. Blaise N. Barney, [HPC Training Materials](https://computing.llnl.gov/tutorials/parallel_comp/), per gentile concessione del Lawrence Livermore National Laboratory's Computational Training Center

4. J. Dongarra, J. Kurzak, J. Demmel, M. Heroux, [Linear Algebra Libraries for High- Performance Computing: Scientific Computing with Multicore and Accelerators](http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/SLIDES/sc2011-tutorial.pdf), SuperComputing 2011 (SC11)

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

1. Introduzione. Lo scopo del corso `e trattare alcuni argomenti di Geometria Riemanniana che riguardano la relazione tra topologia e geometria delle
variet`a. Dimostreremo il teorema di Gauss-Bonnet per le superfici e il teorema di Hopf-Rinow che vale in dimensione qualsiasi. La dimostrazione di
entrambi i risultati `e basata sullo studio delle geodetiche, le curve che minimizzano la distanza (almeno localmente) su una variet`a Riemanniana.

2. Integrazione sulle superfici. Area di una superficie e sua curvatura totale.
3. Derivata covariante. Derivata covariante di un campo di vettori tangenti, trasporto parallelo e geodetiche. Curvatura geodetica.
4. Teorema di Gauss-Bonnet. Dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet locale e globale, relazioni tra topologia e geometria di una superfiice.
5. Teorema di Hopf-Rinow. Variet`a Riemanniane di dimensione qualsiasi. L’applicazione esponen- ziale, intorni convessi. Variet`a complete: teorema di
Hopf-Rinow. Applicazioni: Teorema di rigidit`a della sfera.
6. Esercizi. Esercizi scritti e complementi.

[1] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976). [2] M. Do Carmo , Riemannian Geometry. Birk ̈auser, (1992).
[3] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
[4] Marco Abate, Francesca Tovena, Geometria Differenziale. Springer, (2011).

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuità inferiore debole della norma
- Spazi L^p: riflessività, separabilità, criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in dimensione N
- Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarità delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Brézis, Liguori Editore

Anelli degli interi in campi di numeri.
Fattorizzazione unica degli ideali negli anelli degli interi.
Gruppo delle classi.
Gruppo delle unità.
Campi locali.

Dispense del Docente.
Marcus, D. Number fields, 3rd Ed Springer-Verlag. 1977.
Samuel, P. Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris. 1971.
Schoof, R. Algebraic Number Theory, dispense Università di Roma Tor Vergata, 2003.
Milne, J. Algebraic Number Theory, Lecture Notes, 2017.

Classificazione delle equazioni semilineari del secondo ordine in dimensione arbitraria. Clas- sificazione in 2 dimensioni e riduzione a forma canonica.
Studio dell’equazione delle onde in un intervallo con il metodo di separazione delle variabili: caso omogeneo, caso con condizioni al bordo non nulle, caso con termine forzante. Studio dell’equazione delle onde su tutta la retta: soluzione di D’Alembert. Soluzione dell’ equazione delle onde sulla semiretta. Studio dell’equazione delle onde in tutto lo spazio tridimensionale : formula di Kirchoff.
Equazione del calore. Deduzione dell’equazione del calore da una passeggiata aleatoria nel caso unidimensionale. Soluzione del problema di Cauchy su tutta la retta. Principio del mas- simo. Applicazione del principio del massimo per dimostrare il teorema di unicita’ e teoremi di confronto. Unicita’ su tutta la retta. Problema in un segmento: separazione delle variabili. Studio di vari casi di condizioni iniziali e al bordo. Studio dell’equazione del calore con termini di sorgente e condizioni al bordo nulle. Studio dell’equazione del calore con condizioni al bordo arbitrarie.
Introduzione alle equazioni ellittiche. Coordinate sferiche e polari. Formula di rappresen- tazione tramite la formula di Green. Proprieta’ delle fuzioni armoniche. Principio del massimo. Risultati unicita’ problema interno. Teoremi di confronto. Studio del caso del cerchio. For- mula di Poisson. Formulazione problema esterno. Teoremi di unicita’ nel piano e nello spazio. Problema esterno relativo al cerchio. Funzione di Green. Soluzione in una sfera. Soluzione in un semispazio. Teoria del potenziale. Potenziale volumetrico in 2 e 3 dimensioni. Esistenza e derivabilita’ del potenziale volumetrico. Calcolo del Laplaciano sul potenziale volumetrico.
Introduzione alla Meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger. Separazione di varia- bili. Particella libera in un intervallo. Barriera di potenziale. Oscillatore armonico. Atomo di idrogeno.

A.N. Tichonov, A.A. Samarskij Equazioni della Fisica Matematica Edizioni MIR

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Classificazione delle equazioni semilineari del secondo ordine in dimensione arbitraria. Clas- sificazione in 2 dimensioni e riduzione a forma canonica.
Studio dell’equazione delle onde in un intervallo con il metodo di separazione delle variabili: caso omogeneo, caso con condizioni al bordo non nulle, caso con termine forzante. Studio dell’equazione delle onde su tutta la retta: soluzione di D’Alembert. Soluzione dell’ equazione delle onde sulla semiretta. Studio dell’equazione delle onde in tutto lo spazio tridimensionale : formula di Kirchoff.
Equazione del calore. Deduzione dell’equazione del calore da una passeggiata aleatoria nel caso unidimensionale. Soluzione del problema di Cauchy su tutta la retta. Principio del mas- simo. Applicazione del principio del massimo per dimostrare il teorema di unicita’ e teoremi di confronto. Unicita’ su tutta la retta. Problema in un segmento: separazione delle variabili. Studio di vari casi di condizioni iniziali e al bordo. Studio dell’equazione del calore con termini di sorgente e condizioni al bordo nulle. Studio dell’equazione del calore con condizioni al bordo arbitrarie.
Introduzione alle equazioni ellittiche. Coordinate sferiche e polari. Formula di rappresen- tazione tramite la formula di Green. Proprieta’ delle fuzioni armoniche. Principio del massimo. Risultati unicita’ problema interno. Teoremi di confronto. Studio del caso del cerchio. For- mula di Poisson. Formulazione problema esterno. Teoremi di unicita’ nel piano e nello spazio. Problema esterno relativo al cerchio. Funzione di Green. Soluzione in una sfera. Soluzione in un semispazio. Teoria del potenziale. Potenziale volumetrico in 2 e 3 dimensioni. Esistenza e derivabilita’ del potenziale volumetrico. Calcolo del Laplaciano sul potenziale volumetrico.
Introduzione alla Meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger. Separazione di varia- bili. Particella libera in un intervallo. Barriera di potenziale. Oscillatore armonico. Atomo di idrogeno.

A.N. Tichonov, A.A. Samarskij Equazioni della Fisica Matematica Edizioni MIR

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate. Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di
unità di misura. Dimensioni fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale. Strumenti
di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti di misura: Portata,
Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione degli strumenti.
Incertezza nella misurazioni. Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo A e
Tipo B. Analisi grafica dei dati Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi
preliminare dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi. Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni
indirette. Propagazione delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali
correlate. Definizione di coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per
grandezze correlate


Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento,
–Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa, studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore resistivo
– Studio della diffrazione, verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate.
Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di unità di misura. Dimensioni
fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale.
Strumenti di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti
di misura: Portata, Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione
degli strumenti.
Incertezza nelle misurazioni: Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo
A e Tipo B.
Analisi grafica dei dati. Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi preliminare
dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi.
Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni indirette. Propagazione
delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali correlate. Definizione di
coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per grandezze correlate.

Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento, –
Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa,
studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore
resistivo
– Studio della diffrazione, verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

Congruenze e polinomi. Equazioni diofantee lineari in due (o più) indeterminate. Risoluzione di sistemi di congruenze lineari. Congruenze polinomiali. Congruenze polinomiali mod p: teorema di Lagrange. Approssimazione p-adica. Esistenza di radici primitive mod p. Indice relativamente ad una radice primitiva. Congruenze quadratiche. Residui quadratici. Simbolo di Legendre. Lemma di Gauss e legge di reciprocità quadratica. Simbolo di Jacobi. Interi somma di due quadrati. Lemma di Thue. Interi rappresentabili come somma di due, tre, quattro quadrati. Funzioni moltiplicative. Le funzioni ϕ, σ, τ e μ. La formula di inversione di Möbius. Studio di alcune equazioni diofantee.

M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense
D.M. Burton, Elementary Number theory, McGraw-Hill, (sesta edizione 2007)
G.A. Jones e J.M. Jones, Elementary Number theory, Springer, 1998 (ristampa 2008)
H. Davenport, Aritmetica superiore. Una introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli, (1994)
G.H. Hardy e E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, (1979)
K.H. Rosen, Elementary number theory and its applications, Addison-Wesley (2000)

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Nozioni Introduttive

Richiami di relatività speciale. Trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowski. Definizione di vettore nello spazio di Minkowski. Base dello spazio tangente.
Spazio cotangente e vettori duali nello spazio di Minkowski. Base dello spazio cotangente. Trasformazioni di Lorentz di vettori e vettori duali. Tensori nello spazio di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz dei tensori. Proprieta’ di vettori, vettori duali e tensori nello spazio di Minkowski. Definizione di tensore simmetrico ed antisimmetrico. Operazioni di simmetrizzazione ed antisimmetrizzazione di un tensore generico. Metrica nello spazio di Minkowski: definizione e proprietà. Operazioni legate alla metrica: prodotto scalare, abbassamento ed innalzamento degli indici di un tensore, contrazione e traccia di un tensore.
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, Principio di Equivalenza Debole (WEP), Principio di Equivalenza di Einstein (EEP).

Elementi di geometria differenziale
Introduzione al concetto di varietà. Definizione di mappa. Proprietà della mappe, mappe iniettive e suriettive (inclusi esempi), composizione di mappe, mappe invertibili. Definizione di diffeomorfismo.
Definizione di carta (o sistema di coordinate). Definizione di atlante. Definizione di varietà (manifold). Prodotto di varietà.
Definizione formale di vettore indipendente dalla scelta del sistema di coordinate. Dimostrazione che la dimensione dello spazio tangente coincide con quella della varietà corrispondente. Base (sistema di coordinate) dello spazio tangente. Trasformazioni di coordinate. Trasformazione di coordinate delle componenti di un vettore. Definizione di campo tangente relative proprietà. Definizione di gruppo ad un parametro di diffeomorfismi. Definizione di curve integrali. Commutatore di due vettori. Definizione di vettore duale (1-forma) indipendente dalle coordinate. Spazio cotangente e relativa base. Effetto delle trasformazioni di coordinate su componenti e base delle 1-forme. Definizione di tensore indipendente dalle coordinate. Dimostrazione che la derivata parziale di un tensore non è un tensore.
Metrica: segnatura della metrica, forma canonica della metrica.
Densità tensoriali.
Forme differenziali. Wedge product. Derivata esterna. Forme chiuse ed esatte. Lemma di Poincarre (enunciato). Dualita di Hodge. Formulazione delle equazioni di Maxwell in termini di derivata esterna e dualità di Hodge (cenni).
Integrazione sulle varietà: elemento di volume in termini del determinante della metrica.
Mappe tra varietà: pullback e pushforward. Pullback e pushforward nel caso di diffeomorfismi. Equivalenza tra diffeomorfismi e cambi di coordinate. Campi vettoriali associati ai diffeomorfismi. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e curve integrali associate. Derivata di Lie e sue proprietà generali. Azione della derivata di Lie su scalari, vettori, uno-forme e tensori. Relatività generale come teoria invariante per diffeomorfismi. Analogia tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi.
Simmetrie.
Definizione di sottovarietà. Sottovarietà immerse ed embedded. Definizione di ipersuperficie e di boundary di una varietà.
Di nuovo sull’integrazione su una varietà: elemento di volume generico come forma differenziale. Definizione di orientazione e di varietà orientabile. Integrazione su una varietà: copertura di una varietà tramite partizione della varietà . Integrazione di p-forme su sottovarietà. Dimostrazione che l’elemento di volume può essere espresso in termini del determinante della metrica. Teorema di Stokes (solo enunciato).

Connessione, Derivata Covariante, Curvatura

Algebra di Lie e Gruppo di Lie. Azione da destra ed azione da sinistra. Vettori left- e right-invarianti. Costanti di struttura. Esempi di gruppi di Lie. Forme di Maurer-Cartan. Equazioni di Maurer-Cartan. Azione di un gruppo di Lie su una varietà. Definizioni di azione libera, effettiva e transitiva. Definizione di orbita e di stabilizzatore.
Definizione algebrica di derivata covariante e di connessione. Enunciato delle proprietà generali della derivata covariante. Azione delle trasformazioni di coordinate sulla connessione.
Dimostrazione che la differenza di due coefficienti associati a due connessioni distinte è un tensore; definizione del tensore torsione, nozione di connessione torsion-free e di connessione metrica. Dimostrazione che data un metrica esiste una connessione per cui la derivata covariante della metrica è nulla (connessione metrica).
Costruzione formale della derivata covariante dalla nozione di trasporto parallelo (introduzione qualitativa).
Definizione di fibrato (fiber bundle). Definizione di fibrato triviale e localmente trivializzabile. Definizione di trivializzazione locale. Mappe fra fibrati (nozioni).

Definizione di Atlante del bundle, G-Atlante, G-Struttura, Fibrato con gruppo di Struttura G. Definizione di bundle principale. Definizione di sezione di un bundle. Definizione di bundle vettoriale (vectorbundle) e bundle delle basi (bundle of frames) e loro proprietà generali. Relazione tra bundle principale, vectorbundles e bundle delle basi (definizione del vectorbundle associato ad un bundle principale).
Costruzione delle derivata covariante su un vectorbundle (N.B: per l’esame e’ richiesta la conoscenza dei passaggi logici fondamentali, i dettagli della dimostrazione non saranno oggetto di domande d’esame).
Definizione generale del tensore curvatura come 2-forma su un fibrato. Interpretazione geometrica della curvatura. Identità di Bianchi. Tensore metrico su un fibrato. Definizione di base ortogonale.
Connessioni e teorie di gauge: semplice esempio dell’elettromagnetismo.
Forma di saldatura. Scelta di gauge. Gauge ortonormale e gauge metrica.
Connessione di Levi-Civita; tensore di Riemann e proprietà, tensore di Ricci, scalare di Ricci, tensore di Weyl. Coordinate globalmente e localmente inerziali.

Teoria della Gravitazione di Einstein

Coupling minimale.
Particella in campo gravitazionale: parametro affine, curve self-parallele. Equazione delle geodetiche. Deviazione geodetica.
Derivazione delle equazioni di Einstein dal limite classico.
Derivazione lagrangiana delle equazioni di Einstein.
Considerazioni generali sulla strutture dell’equazione di Einstein, scelta di gauge. Condizioni di energia.
Simmetrie e vettori di Killing: versione di relatività generale del teorema di Noether, numero massimo di vettori di Killing indipendenti in una varietà. Varietà omogenea ed isotropa. Spazi a curvatura constante. Metrica su spazi a curvature costante.
Soluzioni notevoli equazioni di Einstein
Spazi tempo statici a simmetria sferica. Determinazione della metrica di Schwarzschild.
Soluzione Cosmologica. Spazio tempo spazialmente omogeneo ed isotropo. Metrica di Friedman-Robertson Walker. Equazioni di Friedman. Singolarità nelle coordinate. Caso di studio: singolarità nel raggio di Schwarzschild. Metrica di Rindler. Coordinate di Kruskal. Definizione della soluzione di buco nero.
Perturbazione intorno ad una metrica di background, caso di studio: perturbazione della metrica piatta. Gradi di liberata della perturbazione. Equazione di Einstein linearizzate, scelta di gauge. Soluzione delle equazioni di Einstein linearizzate nel vuoto:onde gravitazionali. Soluzione in presenza di sorgente (breve cenno).

Concetti avanzati

Trasformazioni conformi. Tensore di Cotton. Metrica conformemente piatta. Dimostrazione del teorema: una metrica è conformemente se e solo se il tensore di Weyl (Cotton) è nullo. Gruppo conforme: vettori di Killing conformi.
Teorie alternative di gravita. Teorie scalar tensor. Frame di Jordan e frame di Einstein.

1. S. Carrol Space time and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison Wesley, 2004);
2. R. Wald General Relativity (The Chicago Press, 1984);
3. B. Schutz A First Course in General Relativity (Cambridge Press)
4. people.sissa.it/~percacci/lectures/general/index.html
5. B. Schutz Geometrical Methods of Mathematical Physics (Cambridge Press)
6. S. Weinberg Gravitation and Cosmology-principles and application of the general theory of relativity (John Weiley & Sons, 1972);

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

Teoria dei fasci e suo utilizzo in ambito schematico

Prefasci e fasci, fascio associato a un prefascio, relazione tra iniettività e biettività sulle spighe
e analoghe proprietà sulle sezioni. La categoria degli spazi anellati. Schemi. Esempi. Prodotti
fibrati. Fasci algebrici su uno schema. Fasci quasi-coerenti e fasci coerenti.

Coomologia dei fasci

Algebra omologica nella categoria dei moduli su un anello. Fasci fiacchi.
La coomologia dei fasci utilizzando la risoluzione canonica con fasci fiacchi.

Coomologia dei fasci quasi-coerenti e coerenti su uno schema.

Coomologia di Cech e coomologia ordinaria. Coomologia dei fasci quasi-coerenti su uno schema affine. La coomologia dei fasci O(n) sullo spazio proiettivo. Fasci coerenti sullo spazio proiettivo. Caratteristica di Eulero-Poincaré.

Fasci invertibili e sistemi lineari

Incollamento di fasci. Fasci invertibili e loro descrizione. Il gruppo di Picard.
Morfismi in uno spazio proiettivo. Sistemi lineari. Punti base. Sistemi lineari
e fasci ampi e molto ampi. Criterio di ampiezza.

Note Prof. Sernesi
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes, Springer Verlag (2000).
U. Gortz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I, Viehweg + Teubner (2010).

Notazioni della teoria analitica dei numeri.La costante di Eulero, Il problema di Dirichlet per il numero medio di divisori di un intero, il metodo dell’iperbole.

Teoremidi Chebichev. Teorema di Mertens.

Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica. La funzione ζ(s) reale, Il Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica, L-serie di Dirichlet L(s,χ), produttorie.

Somme di Gauss, formula della somma di Poisson, applicazione alle somme di Gauss. Caratteri di Dirichlet, determinazione dei Caratteri esplicita,
leggi di ortogonalità dei caratteri, il Teorema di Dirichlet nel caso generale.

Estensione analitica a s0 della funzione ζ(s) e delle L-serie di Dirichlet. Dimostrazione di de la Valleé Poussin che la L-serie non si annullano in s= 1. Teorema di Mertens per primi in progressione aritmetica.
La funzione ζ di Riemann. L’articolo di Riemann e l’estensione analitica di ζ(s). Programma di Riemann per la dimostrazione del Teorema dei numeri primi. Dimostrazione di Riemann dell’equazione funzionale per ζ(s), zeri banali per ζ(s). Prodotti di Hadamard. Funzioni intere di ordine finito. Teorema di Hadamard per funzioni intere di ordine uno. Distribuzione degli zeri di funzioni intere di ordine uno. L’ordinata dello zero non banale più piccolo di ζ è in valore assoluto maggiore di 6,5.

Derivate logaritmiche della funzione ξ(s). La serie dei reciproci degli zeri nella striscia critica. La funzione zeta non ha zeri sulla retta Re(s)= 1. La funzione Gamma. Regionepriva di zeri per ζ (Teorema di Hadamard - de La Valleé Poussin 1896). La formula di von Mangoldt per N(T).

Distribuzione dei primi. La formula esplicita per la funzione ψ(x), l’integrale discontinuo di Perron. Il Teorema dei numeri primi. Conseguenze dell’ipotesi di Riemann.

Davenport, Harold, Multiplicative number theory. Graduate Texts in Mathematics, 74.Springer-Verlag, New York, (2000).

Tenenbaum, G erald, Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge, (1995).

Il corso si articola su un insieme di lezioni monotematiche che affronteranno i seguenti argomenti:
Dal computer al sistema informativo: evoluzione dei sistemi informatici e dei sistemi informativi;
Introduzione ai sistemi informativi aziendali: il contesto in cui si inseriscono, le esigenze per le quali viene progettato e realizzato un sistema informativo complesso, le principali componenti del sistema;
Sistemi operativi: le principali componenti di un sistema operativo e gli aspetti che vengono demandati a tale software di base;
Reti di computer: la tecnologia di supporto per la comunicazione tra computer, il protocollo di comunicazione TCP/IP e i protocolli applicativi di più alto livello;
Database relazionali: gli archivi di informazioni, il modello relazionale, il linguaggio SQL, gli strumenti DBMS;
Data warehouse: modelli e strumenti per la gestione e l'utilizzo di grandi archivi di dipo “informazionale”;
Applicazioni web based: i concetti di base, i linguaggi e i protocolli e le architetture per la realizzazione di applicazioni web based;
Sicurezza dei sistemi informativi: gli aspetti strutturali ed organizzativi che devono essere indirizzati, anche attraverso appositi strumenti hardware e software, per garantire la riservatezza, la disponibilità e l'integrità delle informazioni;
Principi di Ingegneria del Software: alcuni cenni sugli standard, le metodologie, le best practice per garantire la qualità e la corretta ingegnerizzazione dei prodotti software, dei sistemi informativi e dei servizi IT.

M. Pighin, A. Marzona, Sistemi Informativi Aziendali - Struttura e applicazioni, seconda edizione, Pearson, 2011.

Dispense a cura del docente pubblicate sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN530).

ROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Pagina web del corso con materiale supplementare

https://sites.google.com/a/personale.uniroma3.it/robertoraimondi/home/teaching/elementi

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Altri testi consigliati:
2) K. Huang, Meccanica Statistica, Zanichelli, 1997.
3) L. Peliti, Appunti di Meccanica Statistica, Bollati Boringhieri, 2003.
4) Joel L. Lebowitz, Statistical mechanics: A selective review of two central issues, Reviews of Modern Physics, 71, S346 (1999).

Ulteriori informazioni disponibili su:
https://sites.google.com/a/personale.uniroma3.it/robertoraimondi/home/teaching/elementi

Il Corso si propone di introdurre, in modo elementare e con gli strumenti di base algebrici e geometrici a disposizione degli studenti, le varietà che ammettono equazioni parametriche razionali. In particolare verranno innanzitutto studiati gli esempi più importanti di varietà proiettive razionali: sia nel caso di curve e superfici algebriche sia per particolari varietà di dimensione superiore. Gli esempi saranno utili per introdurre il problema della razionalità per alcune classi di varietà algebriche di notevole interesse. Si fa qui riferimento alle ipersuperfici cubiche ma anche ad altre ben note varietà algebriche tridimensionali, tra cui il controesempio di Artin-Mumford al problema di Luroth e altri threefolds studiati da Fano e da Enriques. La nozione di varietà algebrica razionale si accompagna a diverse nozioni più deboli ma particolarmente importanti. Verranno studiate queste nozioni e affrontato il recente metodo di Voisin (decomposizione della diagonale) per dedurre risultati di non razionalità.
Il Corso si svilupperà sui seguenti argomenti:
(1) Curve e razionalità: teorema di L¨uroth.
(2) Immersioni della retta proiettiva.
(3) Varietà proiettive di grado minimo.
(4) Superfici di Del Pezzo.
(5) Criterio di razionalità per superfici algebriche.
(6) Problemi di (uni)razionalità per ipersuperfici.
(7) Cubiche.
(8) Problema di Lueroth.
(9) Il controesempio di Artin-Mumford.
(10) Il metodo di Voisin di decomposizione della diagonale.

Testo:
A. Corti, J. Kollar, K. Smith 'Rational and nearly rational varieties', Cambridge studies in advanced mathematics vol. 92, Cambridge UP (2004)

Alcuni riferimenti bibliografici per il corso:

1) A. Beauville, B. Hassett, A. Kuznetsov, A. Verra 'Rationality problems in Algebraic Geometry' Lecture Notes in Mathematics vol. 2172, Springer (2016)
2) I. Dolgachev 'Classical Algebraic Geometry. A Modern View' Cambridge UP (2016)
3) M. Mustata 'Topics in Algebraic Geometry II. Rationality of Algebraic Varieties', Note on line: https://web.math.princeton.edu/~takumim/Rationality.pdf

A) LA TRASFORMAZIONE DELLE REGOLE STRUTTURALI IN REGOLE LOGICHE: IL CALCOLO DEI SEQUENTI E LA DERIVABILITA' IN LOGICA LINEARE
B) IL POSITIVO E IL NEGATIVO: IL CALCOLO DEI SEQUENTI FOCALIZZATO PER LA LOGICA LINEARE, LA LUDICA
C) LA COMPLESSITA' IMPLICITA E LA LOGICA LINEARE
D) GEOMETRIA DELLE DIMOSTRAZIONI: LE RETI DIMOSTRATIVE IN LOGICA LINEARE
E) GLI INVARIANTI E LO SVILUPPO DELL’INTERAZIONE TRA DIMOSTRAZIONI: GLI SPAZI COERENTI, LA GEOMETRIA DELL'INTERAZIONE

Dispense del docente, on line

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Modulo A:

Parte 1: Alcune nozioni preliminari.
Relazioni d'ordine e alberi, definizioni induttive, dimostrazioni per induzione, assioma di scelta e lemma di Kőnig.

Parte 2: Dimostrabilità e soddisfacibilità
Linguaggio formale del primo ordine: alfabeto, termini , formule, sequenti. Strutture per un linguaggio del primo ordine: strutture, termini e formule a parametri in una struttura, valutazione di termini, formule e sequenti. Calcolo dei sequenti per la logica del primo ordine: il calcolo dei sequenti LK di Gentzen. Sequenti derivabili e derivazioni. Correttezza delle regole di LK. Analisi canonica e teorema fondamentale: costruzione dellanalisi canonica (con e senza tagli) e dimostrazione del teorema fondamentale dellanalisi canonica. Conseguenze del teorema fondamentale dell'analisi canocica: teoremi di completezza, eliminabilit del taglio, compattezza, L"owenheim-Skolem.

Parte 3: Verso la teoria della dimostrazione: il teorema di eliminazione del taglio.
La procedura di eliminazione del taglio. Definizione dei passi elementari di eliminazione del taglio. Prima strategia dimostrativa (riduzione a grandi passi). Seconda strategia dimostrativa (rovesciamento delle derivazioni). Cenni sulla complessit\`a della procedura di eliminazione del taglio. Qualche conseguenza immediata del teorema di eliminazione del taglio.

Modulo B: Verso la teoria dei modelli: alcune conseguenze del teorema di compattezza.

Dimostrazione del teorema di compattezza per linguaggi di cardinalità qualsiasi. Linguaggi con uguaglianza. Il teorema di compattezza per i linguaggi con uguaglianza. Correttezza e completezza per i linguaggi con uguaglianza. Il teorema di L"owenheim-Skolem per i linguaggi con uguaglianza (numerabili). Limiti espressivi del linguaggio del primo ordine. Equivalenza elementare, sottostrutture, sottostrutture elementari. Isomorfismo ed equivalenza elementare. La nozione di sottostruttura. Sottostrutture elementari e diagrammi. I teoremi di preservazione. Generalizzazioni del teorema di L"owenheim-Skolem. Completezza di una teoria.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 1- Dimostrazioni e modelli al primo
ordine. Springer, (2014).

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITE' ET DECIDABILITE'. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).

L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.

5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Modulo A:

Parte 1: Alcune nozioni preliminari.
Relazioni d'ordine e alberi, definizioni induttive, dimostrazioni per induzione, assioma di scelta e lemma di Kőnig.

Parte 2: Dimostrabilità e soddisfacibilità
Linguaggio formale del primo ordine: alfabeto, termini , formule, sequenti. Strutture per un linguaggio del primo ordine: strutture, termini e formule a parametri in una struttura, valutazione di termini, formule e sequenti. Calcolo dei sequenti per la logica del primo ordine: il calcolo dei sequenti LK di Gentzen. Sequenti derivabili e derivazioni. Correttezza delle regole di LK. Analisi canonica e teorema fondamentale: costruzione dellanalisi canonica (con e senza tagli) e dimostrazione del teorema fondamentale dellanalisi canonica. Conseguenze del teorema fondamentale dell'analisi canocica: teoremi di completezza, eliminabilit del taglio, compattezza, L"owenheim-Skolem.

Parte 3: Verso la teoria della dimostrazione: il teorema di eliminazione del taglio.
La procedura di eliminazione del taglio. Definizione dei passi elementari di eliminazione del taglio. Prima strategia dimostrativa (riduzione a grandi passi). Seconda strategia dimostrativa (rovesciamento delle derivazioni). Cenni sulla complessit\`a della procedura di eliminazione del taglio. Qualche conseguenza immediata del teorema di eliminazione del taglio.

Modulo B: Verso la teoria dei modelli: alcune conseguenze del teorema di compattezza.

Dimostrazione del teorema di compattezza per linguaggi di cardinalità qualsiasi. Linguaggi con uguaglianza. Il teorema di compattezza per i linguaggi con uguaglianza. Correttezza e completezza per i linguaggi con uguaglianza. Il teorema di L"owenheim-Skolem per i linguaggi con uguaglianza (numerabili). Limiti espressivi del linguaggio del primo ordine. Equivalenza elementare, sottostrutture, sottostrutture elementari. Isomorfismo ed equivalenza elementare. La nozione di sottostruttura. Sottostrutture elementari e diagrammi. I teoremi di preservazione. Generalizzazioni del teorema di L"owenheim-Skolem. Completezza di una teoria.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 1- Dimostrazioni e modelli al primo
ordine. Springer, (2014).

Modulo A:

Parte 1: Alcune nozioni preliminari.
Relazioni d'ordine e alberi, definizioni induttive, dimostrazioni per induzione, assioma di scelta e lemma di Kőnig.

Parte 2: Dimostrabilità e soddisfacibilità
Linguaggio formale del primo ordine: alfabeto, termini , formule, sequenti. Strutture per un linguaggio del primo ordine: strutture, termini e formule a parametri in una struttura, valutazione di termini, formule e sequenti. Calcolo dei sequenti per la logica del primo ordine: il calcolo dei sequenti LK di Gentzen. Sequenti derivabili e derivazioni. Correttezza delle regole di LK. Analisi canonica e teorema fondamentale: costruzione dellanalisi canonica (con e senza tagli) e dimostrazione del teorema fondamentale dellanalisi canonica. Conseguenze del teorema fondamentale dell'analisi canocica: teoremi di completezza, eliminabilit del taglio, compattezza, L"owenheim-Skolem.

Parte 3: Verso la teoria della dimostrazione: il teorema di eliminazione del taglio.
La procedura di eliminazione del taglio. Definizione dei passi elementari di eliminazione del taglio. Prima strategia dimostrativa (riduzione a grandi passi). Seconda strategia dimostrativa (rovesciamento delle derivazioni). Cenni sulla complessit\`a della procedura di eliminazione del taglio. Qualche conseguenza immediata del teorema di eliminazione del taglio.

Modulo B: Verso la teoria dei modelli: alcune conseguenze del teorema di compattezza.

Dimostrazione del teorema di compattezza per linguaggi di cardinalità qualsiasi. Linguaggi con uguaglianza. Il teorema di compattezza per i linguaggi con uguaglianza. Correttezza e completezza per i linguaggi con uguaglianza. Il teorema di L"owenheim-Skolem per i linguaggi con uguaglianza (numerabili). Limiti espressivi del linguaggio del primo ordine. Equivalenza elementare, sottostrutture, sottostrutture elementari. Isomorfismo ed equivalenza elementare. La nozione di sottostruttura. Sottostrutture elementari e diagrammi. I teoremi di preservazione. Generalizzazioni del teorema di L"owenheim-Skolem. Completezza di una teoria.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 1- Dimostrazioni e modelli al primo
ordine. Springer, (2014).

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITE' ET DECIDABILITE'. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.

5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alle architetture parallele. Principi di progetto di algoritmi paralleli. Tecniche di programmazione parallela e distribuita con Julia. Primitive di comunicazione e sincronizzazione: paradigma MPI. Linguaggi basati su direttive: OpenMP. Metriche di prestazione dei programmi paralleli. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. Cenni a CombBLAS, GraphBLAS.

1. [Lecture slides and diary](https://github.com/cvdlab-courses/pdc/blob/master/schedule.md)

2. [Learning Julia](https://www.manning.com/books/julia-in-action)

3. Blaise N. Barney, [HPC Training Materials](https://computing.llnl.gov/tutorials/parallel_comp/), per gentile concessione del Lawrence Livermore National Laboratory's Computational Training Center

4. J. Dongarra, J. Kurzak, J. Demmel, M. Heroux, [Linear Algebra Libraries for High- Performance Computing: Scientific Computing with Multicore and Accelerators](http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/SLIDES/sc2011-tutorial.pdf), SuperComputing 2011 (SC11)

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Il corso si articola su un insieme di lezioni monotematiche che affronteranno i seguenti argomenti:
Dal computer al sistema informativo: evoluzione dei sistemi informatici e dei sistemi informativi;
Introduzione ai sistemi informativi aziendali: il contesto in cui si inseriscono, le esigenze per le quali viene progettato e realizzato un sistema informativo complesso, le principali componenti del sistema;
Sistemi operativi: le principali componenti di un sistema operativo e gli aspetti che vengono demandati a tale software di base;
Reti di computer: la tecnologia di supporto per la comunicazione tra computer, il protocollo di comunicazione TCP/IP e i protocolli applicativi di più alto livello;
Database relazionali: gli archivi di informazioni, il modello relazionale, il linguaggio SQL, gli strumenti DBMS;
Data warehouse: modelli e strumenti per la gestione e l'utilizzo di grandi archivi di dipo “informazionale”;
Applicazioni web based: i concetti di base, i linguaggi e i protocolli e le architetture per la realizzazione di applicazioni web based;
Sicurezza dei sistemi informativi: gli aspetti strutturali ed organizzativi che devono essere indirizzati, anche attraverso appositi strumenti hardware e software, per garantire la riservatezza, la disponibilità e l'integrità delle informazioni;
Principi di Ingegneria del Software: alcuni cenni sugli standard, le metodologie, le best practice per garantire la qualità e la corretta ingegnerizzazione dei prodotti software, dei sistemi informativi e dei servizi IT.

M. Pighin, A. Marzona, Sistemi Informativi Aziendali - Struttura e applicazioni, seconda edizione, Pearson, 2011.

Dispense a cura del docente pubblicate sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN530)

1.Geometria Euclidea: Rudimenti di storia della matematica greca. Le costruzioni con riga e compasso. I problemi classici della matematica greca. Gli Elementi di Euclide.
2.La questione del V Postulato: Il tentativo di Posidonio. Enunciati equivalenti: Playfair, Wallis, la transitività del parallelismo. L’opera di Saccheri. Quadrilateri di Saccheri. Le tre ipotesi. Il Teorema di Saccheri-Lagrange e l’esclusione dell’ipotesi dell’angolo ottuso. La nascita della geometria non-euclidea in Bolyai e in Lobachewski.
3. Le simmetrie del piano: Simmetrie del piano e tipi di simmetrie. Caratterizzazione delle isometrie tramite l’immagine di una terna di punti non allineati. Il Teorema di Chasles. Gruppi discreti di isometrie. Rosoni, fregi e Mosaici. Il Teorema di addizione dell’angolo. Teorema di Leonardo e classificazione dei gruppi discreti finiti. Cenni della dimostrazione della classificazione dei gruppi di fregi. Il Teorema di restrizione cristallografica e la classificazione dei gruppi di mosaici.
4. La geometria di Gauss: La geometria della Sfera. Le geometrie localmente euclidee. Gruppi uniformemente discontinui di isometrie. Il Toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein. Classificazione dei gruppi uniformemente discontinui. Cenni della dimostrazione del Teorema di classificazione delle geometrie localmente euclidee
5.Moduli di geometrie sul Toro e geometria iperbolica. Geometrie simili. Geometrie simili sul Toro. La figura modulare. Il modello del semipiano superiore di Poincaré. Rette e distanza. Ciò che ripugna Saccheri e che non ripugnava Aristotele

R. Trudeau: "La rivoluzione non Euclidea" Bollati Boringhieri
V, Nikulin, I. Shafarevich "Geometries and groups" Springer ed.

Il programma verte su grandi temi di Evoluzione Biologica degli organismi animali e vegetali.
Luce e Vita, Evoluzione della fotomorfogenesi, Metaboliti secondari delle piante, La conquista delle terre emerse, coevoluzione piante-insetti

Non vi sono libri di testo specifici. Gli studenti possono far riferimento al materiale proiettato in aula e messo a disposizione.
Letture consigliate:
Taiz L., Zeiger E. - Fisiologia Vegetale - Piccin Editore

Rascio N. : Elementi di Fisiologia vegetale - EdiSES

PLANT PHYSIOLOGY (IN ENGLISH LANGUAGE)
LINCOLN TAIZ- EDUARDO ZEIGER
SINAUER ASSOCIATES (FIFTH EDITION)

• Zocchi A.;Imparare ad Imparare; Amazon Kindle eBook/cartaceo copertina flessibile

Il docente riceve tutti i giorni (lunedì-Venerdì) previo appuntamento mediante e-mail istituzionale

L’ambiente celeste; il Sistema solare; forma e dimensioni della Terra; i moti principali della Terra (rotazione e rivoluzione); i moti millenari della Terra; la Terra e la Luna.

L’orientamento; il tempo e la sua misura; la rappresentazione della superficie terrestre; le coordinate geografiche (latitudine e longitudine); la lettura delle carte topografiche.

Le forme del rilievo e il modellamento del rilievo terrestre; l’idrosfera marina, l’idrosfera continentale, la criosfera; l’atmosfera; il clima.

I materiali della Terra: i minerali, i processi litogenetici, il ciclo litogenetico.

Capire la Terra
J.P. Grotzinger, T-H Jordan
(Terza edizione italiana condotta sulla settima edizione americana)

Il Globo Terrestre e la sua evoluzione
E. L. Palmieri e M. Parotto
Sesta Edizione (2008)

Materiale didattico distribuito durante lo svolgimento del corso

1. TEORIA ATOMICA E STRUTTURA DELL’ATOMO. ATOMI, MOLECOLE, MOLI. PESO ATOMICO E PESO MOLECOLARE. ATOMO DI RUTHERFORD, ATOMO DI BOHR, TEORIA QUANTISTICA, NUMERI QUANTICI E LIVELLI ENERGETICI; ATOMI POLIELETTRONICI, SISTEMA PERIODICO.
2. LEGAME CHIMICO. LEGAME IONICO. LEGAME COVALENTE: LEGAME SIGMA E LEGAME PI GRECO. MOLECOLE POLIATOMICHE. STRUTTURA MOLECOLARE. IBRIDAZIONE E RISONANZA. ORBITALE MOLECOLARE. LEGAME METALLICO. FORZE INTERMOLECOLARI.
3. NOMENCLATURA E REAZIONI CHIMICHE. OSSIDI, IDROSSIDI, ACIDI, SALI, IONI. BILANCIAMENTO DELLE REAZIONI CHIMICHE.
4. STATI DI AGGREGAZIONE. STATO GASSOSO E LEGGI DEI GAS. STATO SOLIDO: SOLIDI IONICI, MOLECOLARI, METALLICI, COVALENTI. CONDUTTORI, SEMICONDUTTORI, ISOLANTI. LIQUIDI ED AMORFI. CAMBIAMENTI DISTATO E DIAGRAMMI DI STATO.
5. SOLUZIONI. CONCENTRAZIONE DELLE SOLUZIONI. PROPRIETÀ COLLIGATIVE. SOLUZIONI DI ELETTROLITI.
6. TERMODINAMICA. MATERIA, ENERGIA, CALORE. PRIMO E SECONDO PRINCIPIO. ENTALPIA, ENTROPIA, ENERGIA LIBERA.
7. EQUILIBRIO CHIMICO. COSTANTE DI EQUILIBRIO ED ENERGIA LIBERA. EQUILIBRI IN FASE GASSOSA ED ETEROGENEA. PRINCIPIO DI LE CHATELIER. EQUAZIONE DI VAN’T HOFF.
8. EQUILIBRI IN SOLUZIONE. EQUILIBRI ACIDO-BASE: ACIDI E BASI, PH, COSTANTI DI DISSOCIAZIONE, ACIDI POLIPROTICI, IDROLISI, TAMPONI; TITOLAZIONI ACIDO-BASE, INDICATORI. EQUILIBRI DI SOLUBILITÀ: SOLUBILITÀ E PRODOTTO DI SOLUBILITÀ, EFFETTO DELLO IONE A COMUNE.
9. ELETTROCHIMICA. PILE, POTENZIALI ELETTRODICI, EQUAZIONE DI NERNST. ELETTROLISI.
10. CINETICA CHIMICA. VELOCITÀ DELLE REAZIONI CHIMICHE. COSTANTE DI VELOCITÀ. INFLUENZA DELLA TEMPERATURA INFLUENZA DELLA TEMPERATURA SULLA VELOCITÀ: EQUAZIONE DI ARRHENIUS. CATALIZZATORI.
ESERCITAZIONI NUMERICHE SUGLI ARGOMENTI SVOLTI.

M. Schiavello, L.Palmisano; FONDAMENTI DI CHIMICA. EDISES
P. Michelin Lausarot, G.A. Vaglio; STECHIOMETRIA PER LA CHIMICA GENERALE. Piccin Editore

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Anelli degli interi in campi di numeri.
Fattorizzazione unica degli ideali negli anelli degli interi.
Gruppo delle classi.
Gruppo delle unità.
Ultimo Teorema di Fermat per primi regolari
Campi locali.

Dispense del Docente.
Marcus, D. Number fields, 3rd Ed Springer-Verlag. 1977.
Samuel, P. Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris. 1971.
Schoof, R. Algebraic Number Theory, dispense Università di Roma Tor Vergata, 2003.
Milne, J. Algebraic Number Theory, Lecture Notes, 2017.

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuità inferiore debole della norma
- Spazi L^p: riflessività, separabilità, criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in dimensione N
- Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarità delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Brézis, Liguori Editore

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

Modellistica dei fluidi: leggi di conservazione, modelli viscosi e non viscosi, vincolo di incomprimibilita'. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes, Acque basse). Soluzioni classiche, deboli ed entropiche.
Metodi numerici alle differenze per la fluidodinamica: metodi conservativi, metodi Vorticita'-Streamfunction, metodi di proiezione.

N.B.: E' il primo anno in cui l'insegnamento si svolge con questo programma. Per questa ragione un programma dettagliato, come anche eventuali piccoli aggiustamenti, saranno decisi in corso di svolgimento.

R. J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhauser

L. Quartapelle, Numerical solution of the incompressible Navier-Stokes Equations, Springer

Materiale supplementare fornito dal docente.

Classificazione delle equazioni semilineari del secondo ordine in dimensione arbitraria. Clas- sificazione in 2 dimensioni e riduzione a forma canonica.
Studio dell’equazione delle onde in un intervallo con il metodo di separazione delle variabili: caso omogeneo, caso con condizioni al bordo non nulle, caso con termine forzante. Studio dell’equazione delle onde su tutta la retta: soluzione di D’Alembert. Soluzione dell’ equazione delle onde sulla semiretta. Studio dell’equazione delle onde in tutto lo spazio tridimensionale : formula di Kirchoff.
Equazione del calore. Deduzione dell’equazione del calore da una passeggiata aleatoria nel caso unidimensionale. Soluzione del problema di Cauchy su tutta la retta. Principio del mas- simo. Applicazione del principio del massimo per dimostrare il teorema di unicita’ e teoremi di confronto. Unicita’ su tutta la retta. Problema in un segmento: separazione delle variabili. Studio di vari casi di condizioni iniziali e al bordo. Studio dell’equazione del calore con termini di sorgente e condizioni al bordo nulle. Studio dell’equazione del calore con condizioni al bordo arbitrarie.
Introduzione alle equazioni ellittiche. Coordinate sferiche e polari. Formula di rappresen- tazione tramite la formula di Green. Proprieta’ delle fuzioni armoniche. Principio del massimo. Risultati unicita’ problema interno. Teoremi di confronto. Studio del caso del cerchio. For- mula di Poisson. Formulazione problema esterno. Teoremi di unicita’ nel piano e nello spazio. Problema esterno relativo al cerchio. Funzione di Green. Soluzione in una sfera. Soluzione in un semispazio. Teoria del potenziale. Potenziale volumetrico in 2 e 3 dimensioni. Esistenza e derivabilita’ del potenziale volumetrico. Calcolo del Laplaciano sul potenziale volumetrico.
Introduzione alla Meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger. Separazione di varia- bili. Particella libera in un intervallo. Barriera di potenziale. Oscillatore armonico. Atomo di idrogeno.

A.N. Tichonov, A.A. Samarskij Equazioni della Fisica Matematica Edizioni MIR

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

Congruenze e polinomi. Equazioni diofantee lineari in due (o più) indeterminate. Risoluzione di sistemi di congruenze lineari. Congruenze polinomiali. Congruenze polinomiali mod p: teorema di Lagrange. Approssimazione p-adica. Esistenza di radici primitive mod p. Indice relativamente ad una radice primitiva. Congruenze quadratiche. Residui quadratici. Simbolo di Legendre. Lemma di Gauss e legge di reciprocità quadratica. Simbolo di Jacobi. Interi somma di due quadrati. Lemma di Thue. Interi rappresentabili come somma di due, tre, quattro quadrati. Funzioni moltiplicative. Le funzioni ϕ, σ, τ e μ. La formula di inversione di Möbius. Studio di alcune equazioni diofantee.

M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense
D.M. Burton, Elementary Number theory, McGraw-Hill, (sesta edizione 2007)
G.A. Jones e J.M. Jones, Elementary Number theory, Springer, 1998 (ristampa 2008)
H. Davenport, Aritmetica superiore. Una introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli, (1994)
G.H. Hardy e E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, (1979)
K.H. Rosen, Elementary number theory and its applications, Addison-Wesley (2000)

Teoria dei fasci e suo utilizzo in ambito schematico

Prefasci e fasci, fascio associato a un prefascio, relazione tra iniettività e biettività sulle spighe
e analoghe proprietà sulle sezioni. La categoria degli spazi anellati. Schemi. Esempi. Prodotti
fibrati. Fasci algebrici su uno schema. Fasci quasi-coerenti e fasci coerenti.

Coomologia dei fasci

Algebra omologica nella categoria dei moduli su un anello. Fasci fiacchi.
La coomologia dei fasci utilizzando la risoluzione canonica con fasci fiacchi.

Coomologia dei fasci quasi-coerenti e coerenti su uno schema.

Coomologia di Cech e coomologia ordinaria. Coomologia dei fasci quasi-coerenti su uno schema affine. La coomologia dei fasci O(n) sullo spazio proiettivo. Fasci coerenti sullo spazio proiettivo. Caratteristica di Eulero-Poincaré.

Fasci invertibili e sistemi lineari

Incollamento di fasci. Fasci invertibili e loro descrizione. Il gruppo di Picard.
Morfismi in uno spazio proiettivo. Sistemi lineari. Punti base. Sistemi lineari
e fasci ampi e molto ampi. Criterio di ampiezza.

Note Prof. Sernesi
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes, Springer Verlag (2000).
U. Gortz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I, Viehweg + Teubner (2010).

Anelli degli interi in campi di numeri.
Fattorizzazione unica degli ideali negli anelli degli interi.
Gruppo delle classi.
Gruppo delle unità.
Ultimo Teorema di Fermat per primi regolari
Campi locali.

Dispense del Docente.
Marcus, D. Number fields, 3rd Ed Springer-Verlag. 1977.
Samuel, P. Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris. 1971.
Schoof, R. Algebraic Number Theory, dispense Università di Roma Tor Vergata, 2003.
Milne, J. Algebraic Number Theory, Lecture Notes, 2017.

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

Modellistica dei fluidi: leggi di conservazione, modelli viscosi e non viscosi, vincolo di incomprimibilita'. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes, Acque basse). Soluzioni classiche, deboli ed entropiche.
Metodi numerici alle differenze per la fluidodinamica: metodi conservativi, metodi Vorticita'-Streamfunction, metodi di proiezione.

N.B.: E' il primo anno in cui l'insegnamento si svolge con questo programma. Per questa ragione un programma dettagliato, come anche eventuali piccoli aggiustamenti, saranno decisi in corso di svolgimento.

R. J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhauser

L. Quartapelle, Numerical solution of the incompressible Navier-Stokes Equations, Springer

Materiale supplementare fornito dal docente.

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

A) LA TRASFORMAZIONE DELLE REGOLE STRUTTURALI IN REGOLE LOGICHE: IL CALCOLO DEI SEQUENTI E LA DERIVABILITA' IN LOGICA LINEARE
B) IL POSITIVO E IL NEGATIVO: IL CALCOLO DEI SEQUENTI FOCALIZZATO PER LA LOGICA LINEARE, LA LUDICA
C) LA COMPLESSITA' IMPLICITA E LA LOGICA LINEARE
D) GEOMETRIA DELLE DIMOSTRAZIONI: LE RETI DIMOSTRATIVE IN LOGICA LINEARE
E) GLI INVARIANTI E LO SVILUPPO DELL’INTERAZIONE TRA DIMOSTRAZIONI: GLI SPAZI COERENTI, LA GEOMETRIA DELL'INTERAZIONE

Dispense on line

Definizione e prime proprietà delle curve ellittiche: richiami sulle curve algebriche piane, cubiche lisce, legge di gruppo. Invrainte j. Anello degli endorfismi di una curva ellittica: la somma e la composizione di isogenie è un'isogenia, l'annelo degli endomorfismi ha caratteristica zero. Curve ellittiche su un anello e algoritmo di fattorizzazione di Lenstra. Punti di torsione, curve ellittiche ordinarie e supersingolari. Morfismo di Frobenius, polinomio minimo del morfismo di Frobenius. Forma quadratica sull'anello degli endomorfismi, teorema di Hasse. Accoppiamento di Weil. Applicazioni delle curve ellittiche alla crittografia: scambio delle chiavi di Diffie-Helman, attaco MOV, backdoor nel genaratore di numeri primi basato sulle curve ellittiche. Cenni alla crittografia basate sulle isogenie (in particolare su SIDH), formula di Vélu.

J. H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Studies in Mathematics.

L. C. Washington: Elliptic curves: Number Theory and Criptography, Chapman & Hall (CRC), second edition 2008.

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

Nozioni Introduttive

Richiami di relatività speciale. Trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowski. Definizione di vettore nello spazio di Minkowski. Base dello spazio tangente.
Spazio cotangente e vettori duali nello spazio di Minkowski. Base dello spazio cotangente. Trasformazioni di Lorentz di vettori e vettori duali. Tensori nello spazio di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz dei tensori. Proprieta’ di vettori, vettori duali e tensori nello spazio di Minkowski. Definizione di tensore simmetrico ed antisimmetrico. Operazioni di simmetrizzazione ed antisimmetrizzazione di un tensore generico. Metrica nello spazio di Minkowski: definizione e proprietà. Operazioni legate alla metrica: prodotto scalare, abbassamento ed innalzamento degli indici di un tensore, contrazione e traccia di un tensore.
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, Principio di Equivalenza Debole (WEP), Principio di Equivalenza di Einstein (EEP).

Elementi di geometria differenziale
Introduzione al concetto di varietà. Definizione di mappa. Proprietà della mappe, mappe iniettive e suriettive (inclusi esempi), composizione di mappe, mappe invertibili. Definizione di diffeomorfismo.
Definizione di carta (o sistema di coordinate). Definizione di atlante. Definizione di varietà (manifold). Prodotto di varietà.
Definizione formale di vettore indipendente dalla scelta del sistema di coordinate. Dimostrazione che la dimensione dello spazio tangente coincide con quella della varietà corrispondente. Base (sistema di coordinate) dello spazio tangente. Trasformazioni di coordinate. Trasformazione di coordinate delle componenti di un vettore. Definizione di campo tangente relative proprietà. Definizione di gruppo ad un parametro di diffeomorfismi. Definizione di curve integrali. Commutatore di due vettori. Definizione di vettore duale (1-forma) indipendente dalle coordinate. Spazio cotangente e relativa base. Effetto delle trasformazioni di coordinate su componenti e base delle 1-forme. Definizione di tensore indipendente dalle coordinate. Dimostrazione che la derivata parziale di un tensore non è un tensore.
Metrica: segnatura della metrica, forma canonica della metrica.
Densità tensoriali.
Forme differenziali. Wedge product. Derivata esterna. Forme chiuse ed esatte. Lemma di Poincarre (enunciato). Dualita di Hodge. Formulazione delle equazioni di Maxwell in termini di derivata esterna e dualità di Hodge (cenni).
Integrazione sulle varietà: elemento di volume in termini del determinante della metrica.
Mappe tra varietà: pullback e pushforward. Pullback e pushforward nel caso di diffeomorfismi. Equivalenza tra diffeomorfismi e cambi di coordinate. Campi vettoriali associati ai diffeomorfismi. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e curve integrali associate. Derivata di Lie e sue proprietà generali. Azione della derivata di Lie su scalari, vettori, uno-forme e tensori. Relatività generale come teoria invariante per diffeomorfismi. Analogia tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi.
Simmetrie.
Definizione di sottovarietà. Sottovarietà immerse ed embedded. Definizione di ipersuperficie e di boundary di una varietà.
Di nuovo sull’integrazione su una varietà: elemento di volume generico come forma differenziale. Definizione di orientazione e di varietà orientabile. Integrazione su una varietà: copertura di una varietà tramite partizione della varietà . Integrazione di p-forme su sottovarietà. Dimostrazione che l’elemento di volume può essere espresso in termini del determinante della metrica. Teorema di Stokes (solo enunciato).

Connessione, Derivata Covariante, Curvatura

Algebra di Lie e Gruppo di Lie. Azione da destra ed azione da sinistra. Vettori left- e right-invarianti. Costanti di struttura. Esempi di gruppi di Lie. Forme di Maurer-Cartan. Equazioni di Maurer-Cartan. Azione di un gruppo di Lie su una varietà. Definizioni di azione libera, effettiva e transitiva. Definizione di orbita e di stabilizzatore.
Definizione algebrica di derivata covariante e di connessione. Enunciato delle proprietà generali della derivata covariante. Azione delle trasformazioni di coordinate sulla connessione.
Dimostrazione che la differenza di due coefficienti associati a due connessioni distinte è un tensore; definizione del tensore torsione, nozione di connessione torsion-free e di connessione metrica. Dimostrazione che data un metrica esiste una connessione per cui la derivata covariante della metrica è nulla (connessione metrica).
Costruzione formale della derivata covariante dalla nozione di trasporto parallelo (introduzione qualitativa).
Definizione di fibrato (fiber bundle). Definizione di fibrato triviale e localmente trivializzabile. Definizione di trivializzazione locale. Mappe fra fibrati (nozioni).

Definizione di Atlante del bundle, G-Atlante, G-Struttura, Fibrato con gruppo di Struttura G. Definizione di bundle principale. Definizione di sezione di un bundle. Definizione di bundle vettoriale (vectorbundle) e bundle delle basi (bundle of frames) e loro proprietà generali. Relazione tra bundle principale, vectorbundles e bundle delle basi (definizione del vectorbundle associato ad un bundle principale).
Costruzione delle derivata covariante su un vectorbundle (N.B: per l’esame e’ richiesta la conoscenza dei passaggi logici fondamentali, i dettagli della dimostrazione non saranno oggetto di domande d’esame).
Definizione generale del tensore curvatura come 2-forma su un fibrato. Interpretazione geometrica della curvatura. Identità di Bianchi. Tensore metrico su un fibrato. Definizione di base ortogonale.
Connessioni e teorie di gauge: semplice esempio dell’elettromagnetismo.
Forma di saldatura. Scelta di gauge. Gauge ortonormale e gauge metrica.
Connessione di Levi-Civita; tensore di Riemann e proprietà, tensore di Ricci, scalare di Ricci, tensore di Weyl. Coordinate globalmente e localmente inerziali.

Teoria della Gravitazione di Einstein

Coupling minimale.
Particella in campo gravitazionale: parametro affine, curve self-parallele. Equazione delle geodetiche. Deviazione geodetica.
Derivazione delle equazioni di Einstein dal limite classico.
Derivazione lagrangiana delle equazioni di Einstein.
Considerazioni generali sulla strutture dell’equazione di Einstein, scelta di gauge. Condizioni di energia.
Simmetrie e vettori di Killing: versione di relatività generale del teorema di Noether, numero massimo di vettori di Killing indipendenti in una varietà. Varietà omogenea ed isotropa. Spazi a curvatura constante. Metrica su spazi a curvature costante.
Soluzioni notevoli equazioni di Einstein
Spazi tempo statici a simmetria sferica. Determinazione della metrica di Schwarzschild.
Soluzione Cosmologica. Spazio tempo spazialmente omogeneo ed isotropo. Metrica di Friedman-Robertson Walker. Equazioni di Friedman. Singolarità nelle coordinate. Caso di studio: singolarità nel raggio di Schwarzschild. Metrica di Rindler. Coordinate di Kruskal. Definizione della soluzione di buco nero.
Perturbazione intorno ad una metrica di background, caso di studio: perturbazione della metrica piatta. Gradi di liberata della perturbazione. Equazione di Einstein linearizzate, scelta di gauge. Soluzione delle equazioni di Einstein linearizzate nel vuoto:onde gravitazionali. Soluzione in presenza di sorgente (breve cenno).

Concetti avanzati

Trasformazioni conformi. Tensore di Cotton. Metrica conformemente piatta. Dimostrazione del teorema: una metrica è conformemente se e solo se il tensore di Weyl (Cotton) è nullo. Gruppo conforme: vettori di Killing conformi.
Teorie alternative di gravita. Teorie scalar tensor. Frame di Jordan e frame di Einstein.

1. S. Carrol Space time and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison Wesley, 2004);
2. R. Wald General Relativity (The Chicago Press, 1984);
3. B. Schutz A First Course in General Relativity (Cambridge Press)
4. people.sissa.it/~percacci/lectures/general/index.html
5. B. Schutz Geometrical Methods of Mathematical Physics (Cambridge Press)
6. S. Weinberg Gravitation and Cosmology-principles and application of the general theory of relativity (John Weiley & Sons, 1972);

Principi di Progettazione Object Oriented
Astrazione, Polimorfismo, Ereditrarieta, Aggregazione
Modelli di Progettazione Object Oriented ed UML
Diagrammi UML Use Case, Sequence, Class e Object, Deployment
Analisi e Sviluppo Software per Java Virtual Machine: I/O, Stream, Networking, Gestione Eccezioni
Calcolo (Scientifico, Real-time,...) Efficiente Distribuito e Multithreading e Concorrenza in ambito Cloud e Mobile

Manuale di Java 9 De Sio Cesari Claudio Hoepli Informatica

PROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Pagina web del corso con materiale supplementare

https://sites.google.com/a/personale.uniroma3.it/robertoraimondi/home/teaching/elementi

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Altri testi consigliati:
2) K. Huang, Meccanica Statistica, Zanichelli, 1997.
3) L. Peliti, Appunti di Meccanica Statistica, Bollati Boringhieri, 2003.
4) Joel L. Lebowitz, Statistical mechanics: A selective review of two central issues, Reviews of Modern Physics, 71, S346 (1999).

Ulteriori informazioni disponibili su:
https://sites.google.com/a/personale.uniroma3.it/robertoraimondi/home/teaching/elementi

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze Note

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale

Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alla modellazione geometrica e alla visualizzazione scientifica. Complessi simpliciali, cellulari e di catene. Operatori di bordo e cobordo. Operatori algebrici di incidenza e adiacenza. Dualita`. Estrazione di modelli geometrici da immagini 3D. Triangolazioni di Delaunay e complessi di Voronoi. Funzioni di Morse e grafi di Reeb. Cenni alle strutture topologiche nei bigdata. Omologia persistente. Sviluppo di un progetto collaborativo: LAR parallelo.

Trasparenze delle lezioni su Github:

Herbert Edelsbrunner and John Harer, Computational Topology. An Introduction, AMS, 2011.

Introduzione al Machine Learning: cosa è l'apprendimento automatico; a cosa mira, quali sono i problemi; quali sono gli strumenti teorici utilizzati; panoramica degli argomenti che saranno trattati durante il corso.

Supervised and unsupervised learning; Model representation; La funzione costo; L'algoritmo della discesa del gradiente;

La regressione lineare; Il gradient descent per la regressione lineare; La regressione logistica; Il gradient descent per la regressione logistica; La normal equation;

Il problema della classificazione; La rappresentazione dell'ipotesi; La funzione costo; Il metodo one-vs-all; Il problema dell'overfitting; La regolarizzazione nella regressione lineare e in quella logistica;

Il percettrone; Le Neural Networks; L'algoritmo di Error-back propagation; L'inizializzazione casuale dei pesi;
La selezione del modello; Il train, validation e test set; La diagnosi mediante bias e variance; Le curve di apprendimento; L'analisi degli errori;

Support Vector Machines;

Classificazione mediante l'algoritmo K-means;

Analisi delle componenti principali (PCA) per la riduzione della dimensionalità;

Algoritmi di rilevamento anomalie;

Sistemi di raccomandazione;

Sistemi di machine learning su larga scala compresi sistemi parallelizzati e map-reduce;

C.M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2006
R.O. Duda, P.E. Hart, D.G. Stork. Pattern Classification (2001) John Wiley & Sons.

l corso si propone di introdurre gli studenti all'insegnamento della matematica nella scuola secondaria di primo e secondo grado, attraverso un approccio storico-epistemologico ai concetti di base della matematica elementare (aritmetica, geometria, algebra, probabilità, funzioni). In particolare verranno trattati gli argomenti: l'insegnamento della matematica e la sua evoluzione; sistemi numerici; gli assiomi e i postulati di Euclide; le geometrie non euclidee e localmente euclidee; le costruzioni geometriche con riga e compasso e le macchine matematiche; elementi di storia del calcolo infinitesimale. Cenni alle indicazioni nazionali.

GIORGIO ISRAEL, ANA MILLÁN GASCA, Pensare in matematica, Zanichelli, 2012.
ANA MILLÁN GASCA, All'inizio fu lo scriba, Mimesis, 2004
ENRICO GIUSTI, Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri, 2002

USO DI PROGRAMMI DIDATTICI NELL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA: I SOFTWARE GEOGEBRA E MATHEMATICA.
COMANDI PER IL CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO, LA VISUALIZZAZIONE DI GRAFICI, CURVE E SUPERFICI E LA LORO ANIMAZIONE AL VARIARE DI PARAMETRI.
ESEMPI DI PROBLEMI: PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED ESEMPI DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE, APPROSSIMAZIONE DI PI GRECO E DI ALTRI NUMERI IRRAZIONALI, SOLUZIONI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI, SOLUZIONI DI SISTEMI, DETERMINAZIONE E VISUALIZZAZIONE DI PARTICOLARI LUOGHI GEOMETRICI, DERIVATA DI UNA FUNZIONE, CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE.

DISPENSE DEL DOCENTE SU UN ELENCO DI PROBLEMI DA VISUALIZZARE E RISOLVERE (SIMULANDO UN LABORATORIO SCOLASTICO) CON L'AIUTO DEL SOFTWARE MATHEMATICA O GEOGEBRA.
PER APPROFONDIMENTI SULLA VISUALIZZAZIONE CON MATHEMATICA DI CURVE E SUPERFICI:
RENZO CADDEO, ALFRED GRAY LEZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE - CURVE E SUPERFICI VOL. 1,
ED. CUEC (COOPERATIVA UNIVERSITARIA EDITRICE CAGLIARITANA)

Il programma prevede due percorsi intrecciati: temi che hanno interesse didattico e temi di carattere più specificamente applicativo computazionale. Argomenti classici (Geometria euclidea, configurazioni di punti e rette..) sono scelti per la loro ricaduta in computer graphics, argomenti di geometria computazionale sono motivati da problemi matematici che hanno una elementare rappresentazione (Sistemi di equazioni polinomiali in n incognite..).
Sulla base degli interessi e delle richieste degli studenti frequentanti sono possibili cambiamenti di parti del programma.


Geometria Euclidea: richiami sugli assiomi, punti notevoli nei triangoli, cerchio dei nove punti, teorema di Morley, [1] cap. 1, altri teoremi sui triangoli.
Geometria affine e coordinate baricentriche, teorema di Ceva , teorema di Menelao, [1] cap. 13.
Geometria proiettiva: assiomi, il caso del piano sul campo finito F2, teoremi di Pappo e di Desargues, collineazioni e correlazioni, [1] cap. 14.
Geometria ordinata e il problema di Sylvester sulla collineazione di punti, [1] cap 12; [4] cap. 9, generalizzazioni.
Triangolarizzazioni di Delaunay e tassellazione di Voronoi: proprietà e algoritmi, [5].
Ideali di polinomi, ordinamenti di monomi e divisioni tra polinomi in più variabili, basi di Groebner, [2].
Risolvere equazioni polinomiali per eliminazione, per autovettori e autovalori, per risultanti, [2].
Geometria dei politopi, mixed volume, teorema di Bernstein, [2].

Materiali, discussioni, forum, videolezioni disponibili mediante piattaforma moodle https://matematicafisica.el.uniroma3.it

1) H.S.M. Coxeter Introduction to geometry, Wiley 1970;
2) D. Cox, J. Little, D. O’Shea Using Algebraic Geometry, GTM 185 Springer.

inoltre
3) D. Cox, J. Little, D. O’Shea Ideals, Varieties, and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra UTM Springer
4) M. Aigner, G. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer, 1998;
5) S. Rebay, Tecniche di Generazione di Griglia per il Calcolo Scientifico-Triangolazione di Delaunay, slides Univ. Studi di Brescia;
6) B. Sturmfels, Polynomial equations and convex polytopes, American Mathematical Monthly 105 (1998) 907-922.
7) Shuhong Gao, Absolute Irreducibility of Polynomials via Newton Polytopes, J. of Algebra 237 (2001), 501-520.

I materiali della Terra: i minerali, i processi litogenetici, il ciclo litogenetico, le rocce magmatiche, le rocce sedimentarie, le rocce metamorfiche, giacitura e deformazione delle rocce.

I fenomeni vulcanici: il magma e l’attività vulcanica, i principali tipi di eruzione, forme degli edifici vulcanici, prodotti dell’attività vulcanica, la distribuzione geografica dei vulcani, i vulcani e l’uomo (il rischio vulcanico).

I fenomeni sismici: la teoria del rimbalzo elastico, il ciclo sismico, tipi di onde sismiche e loro propagazione e registrazione, la forza di un terremoto (scale di intensità e magnitudo), la distribuzione geografica dei terremoti, l’attività sismica e l’uomo (rischio sismico).

La tettonica delle placche: la struttura interna della Terra, la struttura della crosta, il campo magnetico terrestre, il flusso di calore della Terra, i moti convettivi all’interno della Terra, dall’ipotesi della deriva dei continenti alla formulazione della teoria della tettonica delle placche.

La Terra come sistema integrato: interazione tra i diversi sistemi del Pianeta (biosfera, atmosfera, idrosfera, litosfera, criosfera), l’atmosfera terrestre, il clima e i fenomeni meteorologici, le risorse naturali rinnovabili e non rinnovabili.

Capire la Terra
J.P. Grotzinger, T-H Jordan
(Terza edizione italiana condotta sulla settima edizione americana)

Il Globo Terrestre e la sua evoluzione
E. L. Palmieri e M. Parotto
Sesta Edizione (2008)

Materiale didattico distribuito durante lo svolgimento del corso

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuità inferiore debole della norma
- Spazi L^p: riflessività, separabilità, criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in dimensione N
- Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarità delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Brézis, Liguori Editore

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Moto Browniano I. Definizione, proprieta' e costruzione esplicita del Moto Browniano. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione.
Moto Browniano II. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker e applicazioni.
Integrazione stocastica. Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac. Applicazioni alla matematica finanziaria (cenni al modello di Black-Scholes).

- Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf
- An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)
- Brownian Motion and Stochastic Calculus (Karatzas and Shreve, 1998) https://www.springer.com/gp/book/9780387976556
- An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance (Ovidiu Calin)
https://people.emich.edu/ocalin/Teaching_files/D18N.pdf

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).

Fare riferimento alla pagina del corso

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

The program focuses on major themes of Biological Evolution of animal and plant organisms.
Light and Life, Evolution of photomorphogenesis, Secondary metabolites of plants, The conquest of emerged lands, co-evolution of plants-insects.

Non vi sono libri di testo specifici. Gli studenti possono far riferimento al materiale proiettato in aula e messo a disposizione.
Letture consigliate:

Taiz L., Zeiger E. - Fisiologia Vegetale - Piccin Editore

Rascio N. : Elementi di Fisiologia vegetale - EdiSES

PLANT PHYSIOLOGY (IN ENGLISH LANGUAGE)
LINCOLN TAIZ- EDUARDO ZEIGER
SINAUER ASSOCIATES (FIFTH EDITION)

Zocchi A.;Imparare ad Imparare; Amazon Kindle eBook/cartaceo copertina flessibile

Il docente riceve tutti i giorni (lunedì-Venerdì) previo appuntamento mediante e-mail istituzionale

1. TEORIA ATOMICA E STRUTTURA DELL’ATOMO. ATOMI, MOLECOLE, MOLI. PESO ATOMICO E PESO MOLECOLARE. ATOMO DI RUTHERFORD, ATOMO DI BOHR, TEORIA QUANTISTICA, NUMERI QUANTICI E LIVELLI ENERGETICI; ATOMI POLIELETTRONICI, SISTEMA PERIODICO.
2. LEGAME CHIMICO. LEGAME IONICO. LEGAME COVALENTE: LEGAME SIGMA E LEGAME PI GRECO. MOLECOLE POLIATOMICHE. STRUTTURA MOLECOLARE. IBRIDAZIONE E RISONANZA. ORBITALE MOLECOLARE. LEGAME METALLICO. FORZE INTERMOLECOLARI.
3. NOMENCLATURA E REAZIONI CHIMICHE. OSSIDI, IDROSSIDI, ACIDI, SALI, IONI. BILANCIAMENTO DELLE REAZIONI CHIMICHE.
4. STATI DI AGGREGAZIONE. STATO GASSOSO E LEGGI DEI GAS. STATO SOLIDO: SOLIDI IONICI, MOLECOLARI, METALLICI, COVALENTI. CONDUTTORI, SEMICONDUTTORI, ISOLANTI. LIQUIDI ED AMORFI. CAMBIAMENTI DISTATO E DIAGRAMMI DI STATO.
5. SOLUZIONI. CONCENTRAZIONE DELLE SOLUZIONI. PROPRIETÀ COLLIGATIVE. SOLUZIONI DI ELETTROLITI.
6. TERMODINAMICA. MATERIA, ENERGIA, CALORE. PRIMO E SECONDO PRINCIPIO. ENTALPIA, ENTROPIA, ENERGIA LIBERA.
7. EQUILIBRIO CHIMICO. COSTANTE DI EQUILIBRIO ED ENERGIA LIBERA. EQUILIBRI IN FASE GASSOSA ED ETEROGENEA. PRINCIPIO DI LE CHATELIER. EQUAZIONE DI VAN’T HOFF.
8. EQUILIBRI IN SOLUZIONE. EQUILIBRI ACIDO-BASE: ACIDI E BASI, PH, COSTANTI DI DISSOCIAZIONE, ACIDI POLIPROTICI, IDROLISI, TAMPONI; TITOLAZIONI ACIDO-BASE, INDICATORI. EQUILIBRI DI SOLUBILITÀ: SOLUBILITÀ E PRODOTTO DI SOLUBILITÀ, EFFETTO DELLO IONE A COMUNE.
9. ELETTROCHIMICA. PILE, POTENZIALI ELETTRODICI, EQUAZIONE DI NERNST. ELETTROLISI.
10. CINETICA CHIMICA. VELOCITÀ DELLE REAZIONI CHIMICHE. COSTANTE DI VELOCITÀ. INFLUENZA DELLA TEMPERATURA INFLUENZA DELLA TEMPERATURA SULLA VELOCITÀ: EQUAZIONE DI ARRHENIUS. CATALIZZATORI.
ESERCITAZIONI NUMERICHE SUGLI ARGOMENTI SVOLTI.

M. Schiavello, L.Palmisano; FONDAMENTI DI CHIMICA. EDISES
P. Michelin Lausarot, G.A. Vaglio; STECHIOMETRIA PER LA CHIMICA GENERALE. Piccin Editore

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.

Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.

Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.

Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.

Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.

Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.

Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).

R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Breve introduzione al linguaggio Julia per calcolo scientifico. Introduzione alle architetture parallele. Principi di progetto di algoritmi paralleli. Tecniche di programmazione parallela e distribuita con Julia. Primitive di comunicazione e sincronizzazione: paradigma MPI. Linguaggi basati su direttive: OpenMP. Metriche di prestazione dei programmi paralleli. Operazioni matriciali e sistemi lineari densi: Cenni a BLAS, LAPACK, scaLAPACK. Sistemi lineari sparsi. Cenni a CombBLAS, GraphBLAS.

1. [Lecture slides and diary](https://github.com/cvdlab-courses/pdc/blob/master/schedule.md)

2. [Learning Julia](https://www.manning.com/books/julia-in-action)

3. Blaise N. Barney, [HPC Training Materials](https://computing.llnl.gov/tutorials/parallel_comp/), per gentile concessione del Lawrence Livermore National Laboratory's Computational Training Center

4. J. Dongarra, J. Kurzak, J. Demmel, M. Heroux, [Linear Algebra Libraries for High- Performance Computing: Scientific Computing with Multicore and Accelerators](http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/SLIDES/sc2011-tutorial.pdf), SuperComputing 2011 (SC11)

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V.M. Abrusci, L. Tortora de Falco, Logica Volume 2- Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi. Springer, (2018).