Università Roma Tre

Notazioni della teoria analitica dei numeri.La costante di Eulero, Il problema di Dirichlet per il numero medio di divisori di un intero, il metodo dell’iperbole.

Teoremidi Chebichev. Teorema di Mertens.

Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica. La funzione ζ(s) reale, Il Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica, L-serie di Dirichlet L(s,χ), produttorie.

Somme di Gauss, formula della somma di Poisson, applicazione alle somme di Gauss. Caratteri di Dirichlet, determinazione dei Caratteri esplicita,
leggi di ortogonalità dei caratteri, il Teorema di Dirichlet nel caso generale.

Estensione analitica a s0 della funzione ζ(s) e delle L-serie di Dirichlet. Dimostrazione di de la Valleé Poussin che la L-serie non si annullano in s= 1. Teorema di Mertens per primi in progressione aritmetica.
La funzione ζ di Riemann. L’articolo di Riemann e l’estensione analitica di ζ(s). Programma di Riemann per la dimostrazione del Teorema dei numeri primi. Dimostrazione di Riemann dell’equazione funzionale per ζ(s), zeri banali per ζ(s). Prodotti di Hadamard. Funzioni intere di ordine finito. Teorema di Hadamard per funzioni intere di ordine uno. Distribuzione degli zeri di funzioni intere di ordine uno. L’ordinata dello zero non banale più piccolo di ζ è in valore assoluto maggiore di 6,5.

Derivate logaritmiche della funzione ξ(s). La serie dei reciproci degli zeri nella striscia critica. La funzione zeta non ha zeri sulla retta Re(s)= 1. La funzione Gamma. Regionepriva di zeri per ζ (Teorema di Hadamard - de La Valleé Poussin 1896). La formula di von Mangoldt per N(T).

Distribuzione dei primi. La formula esplicita per la funzione ψ(x), l’integrale discontinuo di Perron. Il Teorema dei numeri primi. Conseguenze dell’ipotesi di Riemann.

Davenport, Harold, Multiplicative number theory. Graduate Texts in Mathematics, 74.Springer-Verlag, New York, (2000).

Tenenbaum, G erald, Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge, (1995).