Università Roma Tre

Classificazione delle equazioni semilineari del secondo ordine in dimensione arbitraria. Clas- sificazione in 2 dimensioni e riduzione a forma canonica.
Studio dell’equazione delle onde in un intervallo con il metodo di separazione delle variabili: caso omogeneo, caso con condizioni al bordo non nulle, caso con termine forzante. Studio dell’equazione delle onde su tutta la retta: soluzione di D’Alembert. Soluzione dell’ equazione delle onde sulla semiretta. Studio dell’equazione delle onde in tutto lo spazio tridimensionale : formula di Kirchoff.
Equazione del calore. Deduzione dell’equazione del calore da una passeggiata aleatoria nel caso unidimensionale. Soluzione del problema di Cauchy su tutta la retta. Principio del mas- simo. Applicazione del principio del massimo per dimostrare il teorema di unicita’ e teoremi di confronto. Unicita’ su tutta la retta. Problema in un segmento: separazione delle variabili. Studio di vari casi di condizioni iniziali e al bordo. Studio dell’equazione del calore con termini di sorgente e condizioni al bordo nulle. Studio dell’equazione del calore con condizioni al bordo arbitrarie.
Introduzione alle equazioni ellittiche. Coordinate sferiche e polari. Formula di rappresen- tazione tramite la formula di Green. Proprieta’ delle fuzioni armoniche. Principio del massimo. Risultati unicita’ problema interno. Teoremi di confronto. Studio del caso del cerchio. For- mula di Poisson. Formulazione problema esterno. Teoremi di unicita’ nel piano e nello spazio. Problema esterno relativo al cerchio. Funzione di Green. Soluzione in una sfera. Soluzione in un semispazio. Teoria del potenziale. Potenziale volumetrico in 2 e 3 dimensioni. Esistenza e derivabilita’ del potenziale volumetrico. Calcolo del Laplaciano sul potenziale volumetrico.
Introduzione alla Meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger. Separazione di varia- bili. Particella libera in un intervallo. Barriera di potenziale. Oscillatore armonico. Atomo di idrogeno.

A.N. Tichonov, A.A. Samarskij Equazioni della Fisica Matematica Edizioni MIR