lementi di Teoria dei Campi. Gruppi di Galois e Ampliamenti di Galois. La Corrispondenza di Galois. Alcune applicazioni della Corrispondenza di Galois: Costruzioni con riga e compasso, Risolubilità delle equazioni polinomiali.

S. Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer Italia, (2008).

C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).
I. Stewart, Galois Theory. Chapman and Hall, (1989).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

1. Fenomenologia, modelli. Esempi.

2. Alcune classi di EDO (Equazioni Differenziali Ordinarie) esattamente risolubili (equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazione di Bernoulli, equazione di Clairaut, equazioni differenziali esatte, equazioni a coefficienti costanti, equazioni Hamiltoniane ad un grado di libertà)

3. Teoria generale:
- Teoremi di esistenza e unicità (Lemmi di Gronwall; teorema di Picard, teorema di Peano).
- Intervalli di esistenza e soluzioni massimali.
- Dipendenza da dati iniziali e parametri.

4. Analisi qualitativa di alcune semplici classi di EDO. Spazio delle fasi.

5. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e teorema della forma normale di Jordan. Trasformata di Laplace.

6. Sistemi lineari a coefficienti variabili. Spazi di soluzione. Il wronskiano. Il caso periodico (teoria di Floquet).

7. Soluzioni periodiche e serie di Fourier.

8. Serie di potenze.

9. Stabilità.

10. Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine.

[AA] Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti, Differential Equations. A first course on ODE and a brief introduction to PDE
Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110652864

[S] Schaum's Outline of Differential Equations, 4th Edition 4th Edition 0071824855 · 9780071824859

Teoria classica del problema di Dirichlet: principio della media, principio del massimo, formule di Green, metodo di Perron, rappresentazione delle soluzioni del problema di Dirichlet mediante il potenziale elettrico.

Spazi di Sobolev in una dimansione e in $n$ dimensioni, con i teoremi d'immersione.

Sistemi di equazioni ellittiche; soluzioni deboli; esistenza di soluzioni deboli grazie al teorema di Lax-Milgram.

Stime di Caccioppoli e regolarita' $W^{2,2}$ delle soluzioni dei sistemi ellittici.

Funzione massimale di Hardy-Littlewood; teorema di differenziazione di Lebesgue; spazi $L^p$ deboli e teorema d'interpolazione di Marcinkievitz.

Protter-Weinberger, Maximum principles in Differential Equations.

L. V. Ahlfors, Compes Analysis.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

M. Giaquinta, L. Martinazzi, An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmoinic functions and minimal graphs.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Introduzione alla statistica: campionamento casuale da una popolazione finita e infinita. Definizione di modello statistico e di statistica. Esempi di statistiche. Proprieta' delle statistiche: statistica sufficiente, minimale e completa.

Stima puntuale di parametri: metodo dei momenti, stimatore di massima verosimiglianza, stimatore di Bayes, algoritmo EM.

Valutazione di un stimatore: distorzione, consistenza e rischio quadratico. Stimatore UMVU e stimatori efficienti.

Intervallo di confidenza: metodo della quantita' pivotale, metodi asintotici e metodo delta.

Verifica di ipotese: definizione di verifica di ipotese, rapporto di verosimiglianza, dualita' con intervallo di confidenza e test uniformemente piu potente.

Metodi non parametrici: Test goodness-of-fit per variabile discrete e continue, tabella di contingenza e metodo di Kolmogorov Smirnov.

Altri argomenti: Analise di varianza (ANOVA), regressione lineare, regressione lineare generalizzata e regressione logistica.

Statistical Inference
Casella e Berger
Duxbury
Seconda edizione.

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze Note

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale

Sciami da raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269
Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli
Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Problemi di ottimizzazione continua. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Principal component analysis.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, Keras, TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

1.Geometria Euclidea: Rudimenti di storia della matematica greca. Le costruzioni con riga e compasso. I problemi classici della matematica greca. Gli Elementi di Euclide.
2.La questione del V Postulato: Il tentativo di Posidonio. Enunciati equivalenti: Playfair, Wallis, la transitività del parallelismo. L’opera di Saccheri. Quadrilateri di Saccheri. Le tre ipotesi. Il Teorema di Saccheri-Lagrange e l’esclusione dell’ipotesi dell’angolo ottuso. La nascita della geometria non-euclidea in Bolyai e in Lobachewski.
3. Le simmetrie del piano: Simmetrie del piano e tipi di simmetrie. Caratterizzazione delle isometrie tramite l’immagine di una terna di punti non allineati. Il Teorema di Chasles. Gruppi discreti di isometrie. Rosoni, fregi e Mosaici. Il Teorema di addizione dell’angolo. Teorema di Leonardo e classificazione dei gruppi discreti finiti. Cenni della dimostrazione della classificazione dei gruppi di fregi. Il Teorema di restrizione cristallografica e la classificazione dei gruppi di mosaici.
4. La geometria di Gauss: La geometria della Sfera. Le geometrie localmente euclidee. Gruppi uniformemente discontinui di isometrie. Il Toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein. Classificazione dei gruppi uniformemente discontinui. Cenni della dimostrazione del Teorema di classificazione delle geometrie localmente euclidee
5.Moduli di geometrie sul Toro e geometria iperbolica. Geometrie simili. Geometrie simili sul Toro. La figura modulare. Il modello del semipiano superiore di Poincaré. Rette e distanza. Ciò che ripugna Saccheri e che non ripugnava Aristotele

R. Trudeau: "La rivoluzione non Euclidea" Bollati Boringhieri
V, Nikulin, I. Shafarevich "Geometries and groups" Springer ed.

Introduzione alla statistica: campionamento casuale da una popolazione finita e infinita. Definizione di modello statistico e di statistica. Esempi di statistiche. Proprieta' delle statistiche: statistica sufficiente, minimale e completa.

Stima puntuale di parametri: metodo dei momenti, stimatore di massima verosimiglianza, stimatore di Bayes, algoritmo EM.

Valutazione di un stimatore: distorzione, consistenza e rischio quadratico. Stimatore UMVU e stimatori efficienti.

Intervallo di confidenza: metodo della quantita' pivotale, metodi asintotici e metodo delta.

Verifica di ipotese: definizione di verifica di ipotese, rapporto di verosimiglianza, dualita' con intervallo di confidenza e test uniformemente piu potente.

Metodi non parametrici: Test goodness-of-fit per variabile discrete e continue, tabella di contingenza e metodo di Kolmogorov Smirnov.

Altri argomenti: Analise di varianza (ANOVA), regressione lineare, regressione lineare generalizzata e regressione logistica.

Statistical Inference
Casella e Berger
Duxbury
Seconda edizione.

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Introduzione alla Systems Biology: cosa è la biologia computazionale; i ruoli della modellistica matematica e della bioinformatica; a cosa mira – quali sono i problemi; quali sono gli strumenti teorici utilizzati.

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare: conoscenza di base di genetica, proteomica e processi cellulari; ecologia ed evoluzione; cenni alla disponibilità di dati biologici in rete.

Richiamo di teoria della probabilità: variabili casuali discrete e continue; distribuzioni, entropia, inferenza, campionamento, stima di probabilità, l'algoritmo EM (Expectation Maximisation).

Richiamo di teoria dell’informazione: Shannon entropy e altre misure di entropia; misure di diversità (indice di Shannon-Wiener, indice di Simpson).

Introduzione ai processi stocastici: random walks, catene di Markov.

Introduzione al Machine Learning e al Pattern Recognition: supervised and unsupervised learning; metodi Bayesiani; tecniche non-parametriche; Neural Networks; metodi stocastici; clustering; k-means.

Analisi delle sequenze: Algoritmi di allineamento (e.g., BLAST); Hidden Markov Models (HMM); strumenti software disponibili in rete.

Richiamo di teoria dei grafi: notazione; tipi di grafi; rappresentazione; algoritmi sui grafi; proprietà statistiche delle reti; centralità; Motifs; Network clustering.
Biological Networks: reti di trasduzione del segnale; reti di regolazione genica; protein-protein interaction networks; reti metaboliche; strumenti software disponibili in rete.

Modelli bio-matematici; predizione mediante modelli teorici; modelli continui; richiami dei metodi numerici per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie; modelli discreti; modelli di spin (Ising models); Automi cellulari; Boolean networks; Agent-based models; data fitting e stima dei parametri; strumenti software disponibili.

Testi di Riferimento

• E.S. Allman, J.A. Rhodes. Mathematical Models in Biology: An Introduction (2004) Cambridge University Press.

• W.J. Ewens, G.R. Grant. Statistical Methods in Bioinformatics, An Introduction (2005) Springer Verlag.

• R. Durbin, S. Eddy, A. Krogh, G. Mitchison. Biological sequence analysis - Probabilistic models of proteins and nucleic acids (1998) Cambridge University Press.

• B.H. Junker, F. Schreiber (eds). Analysis of biological networks (2008) John Wiley & Sons.

• R.O. Duda, P.E. Hart, D.G. Stork. Pattern Classification (2001) John Wiley & Sons.

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Congruenze e polinomi. Equazioni diofantee lineari in due (o più) indeterminate. Risoluzione di sistemi di congruenze lineari. Congruenze polinomiali. Congruenze polinomiali mod p: teorema di Lagrange. Approssimazione p-adica. Esistenza di radici primitive mod p. Indice relativamente ad una radice primitiva. Congruenze quadratiche. Residui quadratici. Simbolo di Legendre. Lemma di Gauss e legge di reciprocità quadratica. Simbolo di Jacobi. Interi somma di due quadrati. Lemma di Thue. Interi rappresentabili come somma di due, tre, quattro quadrati. Funzioni moltiplicative. Le funzioni ϕ, σ, τ e μ. La formula di inversione di Möbius. Studio di alcune equazioni diofantee.

D.M. Burton, Elementary Number theory, McGraw-Hill, (sesta edizione 2007)
G.H. Hardy e E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, (1979)
M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

1. Teoria delle Curve Ellittiche
L’equazione di Weierstrass, La struttura di gruppo sui punti razionali, formule per la somma e la duplicazione. Generalità sulle intersezioni fra rette e curve in P2(K)
Risultati preparatori alla dimostrazione dell’associatività dei punti sulle curve ellittiche. Dimostrazione dell’associatività della somma per i punti di una curva ellittica. Altre equazioni per curve ellittiche, Equazione di Legendre, Equazioni cubiche, Equazioni quartiche, intersezioni di due superfici cubiche. L’invariante j, curve ellittiche in caratteristica 2, Endomorfismi, curve singolari, curve ellittiche modulo n.

2. Punti di Torsione
Punti di torsione, Polinomi di divisione. L’accoppiamento di Weil.

3. Curve ellittiche su campi finiti
L’endomorfismo di Frobenius. Il problema di determinare l’ordine del gruppo.Curve su sottocampi, Simboli di Legendre, Ordini dei punti, L’algoritmo ”Baby Step,Giant Step” di Shanks. Famiglie particolari di curve ellittiche. L’algoritmo di Schoof.

4. Crittosistemi sulle Curve Ellittiche.
Il problema del Logaritmo Discreto. Algoritmi per il calcolo del logaritmo discreto: Baby-Step Giant-Step e Polig-Hellman. Attacco MOV. Attacco sulle curve anomale. Scambio di Chiavi di Diffie-Hellman. Crittosistemi di Massey Omura e ElGamal. Schema di Firma di El Gamal. Crittosistemi sulle curve ellittiche basati sulproblema della fattorizzazione. Un crittosistema basato sull’accoppiamento di Weil. Fattorizzazione di numeri interi utilizzando le curve ellittiche. Utilizzo di Pari.

Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Crptography. Chapman & Hall (CRC) 2003.

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

- Richiami di Topologia: gruppo fondamentale di uno spazio topologico, rivestimenti;
- Introduzione alla Teoria delle Categorie e cenni di Algebra Omologia;
- Omologia simpliciale e singolare;
- Coomologia;
- Omologia persistente e applicazioni alla Topological Data Analysis.

1. Dispense del docente;
2. A. Hatcher: Algebraic Topology (disponibile online);

Introduzione alla Teoria algebrica dei numeri:
Anelli degli interi in campi di numeri e fattorizzazione unica degli ideali.
Valori assoluti in un campo di numeri.

Altezza di Weil e Misura di Mahler:
Definizioni e proprietà.
Formula del prodotto.
Teorema di Northcott.
Teorema di Kroneker.

Equazioni di Thue:
Teorema di Thue sull’approssimazione diofantea.
Lemma di Siegel.
Le equazioni di Thue hanno un numero finito di soluzioni intere.

Dinamica aritmetica:
Punti (pre)periodici.
L’altezza canonica.
Funzioni razionali.

Equazioni diofantee in radici dell’unità:
Richiami sulle radici dell’unità e polinomi ciclotomici.
Il Teorema di Ihara-Serre-Tate.

Equidistribuzione:
Definizioni ed esempi.
Il Teorema di Bilu.
La congettura di Bogomolov.

Zannier - Lecture notes on Diophantine Analysis
Hindry, Silverman - Diophantine Geometry

Elementi di algebra lineare
Grandi matrici
Matrici a basso rango e ricostruzione delle soluzioni
Matrici speciali
Probabilità e statistica
Ottimizzazione
Imparare dai dati

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

I numeri complessi; studio di alcune mappe complesse; la sfera di Riemann; le mappe lineari fratte. Le lineari fratte conservano il birapporto e l'insieme dei cerchi e delle rette; i cerchi di Apollonio. Integrale lungo una curva e lunghezza di una curva; proprieta' dell'integrale; funzione indicatrice; somma formale di curve. Il teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; la formula di Cauchy. Il principio di Liouville. Principio di identita'; teorema della singolarita' eliminabile; convergenza quasi uniforme e sue proprieta'. Lemma di Morera; principio della media e del massimo; le funzioni armoniche localmente sono la parte reale di funzioni olomorfe. Teorema dei tre cerchi di Hadamard. La produttoria di Eulero per il seno. Funzioni armoniche e potenziale elettrico; principio della media per le funzioni armoniche, principio del massimo e unicita' per il problema di Dirichlet. Nucleo di Dirichlet; le funzioni che hanno la proprieta' della media sono armoniche. Principio di riflessione di Schwarz. Le serie di Laurent; residui e calcolo dei residui. Il teorema dell'indicatore logaritmico e il teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; una variante dell'indicatore logaritmico e la formula d'inversione di Lagrange; il limite quasi uniforme di funzioni univalenti e' univalente o costante. Il lemma di Schwarz; identificazione degli automorfismi del disco; la metrica iperbolica sul disco e le sue geodetiche; gli automorfismi del disco conservano la metrica iperbolica. Estensione analitica e teorema di monodromia. Accenno alle superfici di Riemann. Il teorema della mappa di Riemann; il piccolo toerema di Picard.

W. Rudin, Analisi reale e complessa.

J. B. Conway, Functions of one complex variable.

1. Algebra multilineare.Algebra esterna su uno spazio vettoriale, prodotto wedge, base standard edimensione dello spazio delle q-forme.2. Forme differenziali inRn.Forme liscie, operatore differenziale esterno, comologia di de Rham,orientazione e integrazione, lemma di Poincar ́e. Operatore di Hodge inRn.3. Elementi di algebra omologica.Complessi di catene e loro comologia, teorema fondamentaledell’algebra omologica (lemma del serpente), lemma del cinque.4. Integrazione su variet`a.Orientazione su una variet`a, integrazione delle n-forme, teorema di Stokes’.5. Comologia di de Rham.Successione di Mayer-Vietoris, comologia della sfera, teorema di invarianzadel dominio.6. Argomento di Mayer-Vietoris.Esistenza di un buon ricoprimento, finito-dimensionalit`a dellacomologia di de Rham, comologia a supporto compatto, duait`a di Poincar ́e per variet`a compatte, formuladi K ̈unneth per la comologia di un prodotto. Fibrati in fibre e teorema di Leray-Hirsch. Il duale diPoincar ́e di una sottovariet`a chiusa orientata.7. Teorema di de Rham.Complesso doppio, Comologia di Cech dei fasci. Invarianza topologica dellacomologia di de Rham.

[1]Raoul Bott, Loring W. Tu,Differential forms in algebraic topology.Springer, (1986).
[2]Marco Abate, Francesca Tovena,Geometria Differenziale.Springer, (2011).

Richiami sulla approssimazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie. Metodi ad una passo di tipo Eulero esplicito/implicito e loro convergenza.
Convergenza dei metodi numerici per problemi evolutivi, Teorema di Lax-Richtmyer.
L'equazione del trasporto: aspetti analitici. Formula di rappresentazione mediante caratteristiche. Metodi monotoni per l'equazione del trasporto: Upwind, Lax-Friedrichs.
Leggi di conservazione iperboliche scalari in una dimensione: aspetti analitici, cenni sulle soluzioni entropiche, condizione di Rankine-Hougoniot. Cenni sulla teoria della convergenza per le approssimazioni ai volumi finiti. Metodi ai volumi finiti monotoni: Godunov, Lax-Friedrichs, Rusanov.
Sistemi iperbolici lineari e nonlineari: aspetti analitici, decomposizione caratteristica. Schemi centrati monotoni per sistemi iperbolici.
Il sistema delle Acque Basse in una e due dimensioni. Approssimazione con schemi centrati, cenni sulle condizioni al bordo.
L'equazione del calore: aspetti analitici, dominio di dipendenza, regolarità. Approssimazione esplicita e implicita in una e due dimensioni mediante differenze seconde centrate e discretizzazione temporale di Eulero.
Modellistica dei fluidi incomprimibi: le equazioni di Navier-Stokes. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes), derivazione del sistema delle Acque Basse. Metodi numerici alle differenze basati sulla formulazione Vorticità-Streamfunction.

R. J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press

Materiale supplementare fornito dal docente.

Richiami sulla approssimazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie. Metodi ad una passo di tipo Eulero esplicito/implicito e loro convergenza.
Convergenza dei metodi numerici per problemi evolutivi, Teorema di Lax-Richtmyer.
L'equazione del trasporto: aspetti analitici. Formula di rappresentazione mediante caratteristiche. Metodi monotoni per l'equazione del trasporto: Upwind, Lax-Friedrichs.
Leggi di conservazione iperboliche scalari in una dimensione: aspetti analitici, cenni sulle soluzioni entropiche, condizione di Rankine-Hougoniot. Cenni sulla teoria della convergenza per le approssimazioni ai volumi finiti. Metodi ai volumi finiti monotoni: Godunov, Lax-Friedrichs, Rusanov.
Sistemi iperbolici lineari e nonlineari: aspetti analitici, decomposizione caratteristica. Schemi centrati monotoni per sistemi iperbolici.
Il sistema delle Acque Basse in una e due dimensioni. Approssimazione con schemi centrati, cenni sulle condizioni al bordo.
L'equazione del calore: aspetti analitici, dominio di dipendenza, regolarità. Approssimazione esplicita e implicita in una e due dimensioni mediante differenze seconde centrate e discretizzazione temporale di Eulero.
Modellistica dei fluidi incomprimibi: le equazioni di Navier-Stokes. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes), derivazione del sistema delle Acque Basse. Metodi numerici alle differenze basati sulla formulazione Vorticità-Streamfunction.

R. J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press

Materiale supplementare fornito dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Convergenza della cluster expansion per le espansioni di bassa e alta temperatura per la pressione del modello di Ising d-dimensionale
- La soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a h=0

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

II parte-
Modelli di meccanica statistica - Dinamiche stocastiche e loro applicazioni

Sono costruiti modelli matematici per studiare diversi problemi, come propagazione
di epidemie, problemi di campionamento, problemi di ottimizzazione, problemi fisici
legati all’interazione di molte particelle, con particolare attenzione alla loro simulazione
numerica. Le esercitazioni di laboratorio sono parte essenziale del corso.
Sono applicati modelli di meccanica statistica, come il modello di Ising, e strumenti di
probabilita’, come le catene di Markov, con richiami della teoria relativa.

S.Freidli and Y.Velenik : Statistical Mechanics of Lattice Systems -
A concrete mathematical introduction. In rete

O.H¨aggstr¨om: Finite Markov Chain and Algorithmic Applications,
London Mathematical Society-Student Texts 52

Il primo modulo di FM510 tratta due temi connessi tra loro:
1) Sistemi dinamici (ODE)
2) Morfogenesi alla Turing tramite sistemi reazione diffusione (PDE).

L’attività didattica è focalizzata sulle interazioni tra matematica teorica e matematica sperimentale, e si basa sui tre punti seguenti:
- Studio dei modelli teorici e analisi qualitativa;
- Implementazione dei modelli al calcolatore;
- Esperimenti numerici e analisi quantitativa.

Il programma prevede
- Sistemi dinamici, campi vettoriali, flusso e traiettorie
- Biforcazioni, biforcazioni di Hopf, Caos
- Modello di VanDerPol
- Modello di FitzHugh-Nagumo per i segnali neuronali
- Modello di Lorenz e caos
- Morfogenesi di Turing
- Modello di Gray Scott

A. Turing, The Chemical Basis of morphogenesis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series B, vol. 237, no. 641, 1952

Tecniche di simulazione del comportamento di Sistemi di Meccanica Statistica.
Uso del linguaggio di programmazione Julia per la simulazione parallela.
Strutture e algoritmi.
Simulazione del modello di Ising.
Catene di Markov.
Simulazione dell'evoluzione dinamica di un sistema di spin verso l'equilibrio termodinamico.
Simulazione di PCA (Probabilistic Cellular Automata)
Metodo di Coupling.
Metodo di Propp-Wilson
Reti neuronali.
Simulazione del modello di Hopfield.

1) The Julia Language
https://docs.julialang.org/en/v1/

2) O. Häggström and O.H.G. M.Finite Markov Chains and Algorithmic Appli-cations.
London Mathematical Society Student Texts. Cambridge UniversityPress, 2002.isbn: 9780521890014.
url:https://books.google.it/books?id=hpLxIJ9LwRgC

3) James Gary Propp and David Bruce Wilson.
“Exact Sampling with Cou-pled Markov Chains and Applications to Statistical Mechanics”.
In:RandomStruct. Algorithms9.1-2 (Aug. 1996),
url:http://dx.doi.org/10.1002/(SICI)1098-2418(199608/09)9:1/2%3C223::AID-RSA14%3E3.0.CO;2-O.

Richiami sulla approssimazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie. Metodi ad una passo di tipo Eulero esplicito/implicito e loro convergenza.
Convergenza dei metodi numerici per problemi evolutivi, Teorema di Lax-Richtmyer.
L'equazione del trasporto: aspetti analitici. Formula di rappresentazione mediante caratteristiche. Metodi monotoni per l'equazione del trasporto: Upwind, Lax-Friedrichs.
Leggi di conservazione iperboliche scalari in una dimensione: aspetti analitici, cenni sulle soluzioni entropiche, condizione di Rankine-Hougoniot. Cenni sulla teoria della convergenza per le approssimazioni ai volumi finiti. Metodi ai volumi finiti monotoni: Godunov, Lax-Friedrichs, Rusanov.
Sistemi iperbolici lineari e nonlineari: aspetti analitici, decomposizione caratteristica. Schemi centrati monotoni per sistemi iperbolici.
Il sistema delle Acque Basse in una e due dimensioni. Approssimazione con schemi centrati, cenni sulle condizioni al bordo.
L'equazione del calore: aspetti analitici, dominio di dipendenza, regolarità. Approssimazione esplicita e implicita in una e due dimensioni mediante differenze seconde centrate e discretizzazione temporale di Eulero.
Modellistica dei fluidi incomprimibi: le equazioni di Navier-Stokes. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes), derivazione del sistema delle Acque Basse. Metodi numerici alle differenze basati sulla formulazione Vorticità-Streamfunction.

R. J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press

Materiale supplementare fornito dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Convergenza della cluster expansion per le espansioni di bassa e alta temperatura per la pressione del modello di Ising d-dimensionale
- La soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a h=0

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

II parte-
Modelli di meccanica statistica - Dinamiche stocastiche e loro applicazioni

Sono costruiti modelli matematici per studiare diversi problemi, come propagazione
di epidemie, problemi di campionamento, problemi di ottimizzazione, problemi fisici
legati all’interazione di molte particelle, con particolare attenzione alla loro simulazione
numerica. Le esercitazioni di laboratorio sono parte essenziale del corso.
Sono applicati modelli di meccanica statistica, come il modello di Ising, e strumenti di
probabilita’, come le catene di Markov, con richiami della teoria relativa.

S.Freidli and Y.Velenik : Statistical Mechanics of Lattice Systems -
A concrete mathematical introduction. In rete

O.H¨aggstr¨om: Finite Markov Chain and Algorithmic Applications,
London Mathematical Society-Student Texts 52

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate. Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di
unità di misura. Dimensioni fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale. Strumenti
di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti di misura: Portata,
Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione degli strumenti.
Incertezza nella misurazioni. Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo A e
Tipo B. Analisi grafica dei dati Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi
preliminare dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi. Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni
indirette. Propagazione delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali
correlate. Definizione di coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per
grandezze correlate


Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento,
–Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa, studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore resistivo
– Studio della diffrazione, verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

il corso rivisita argomenti algebrici di base, fra cui:
divisibilità, algoritmo di Euclide,
frazioni continue, numeri di Fibonacci,
combinatoria, costruzioni con riga e compasso, cardinalità, reticoli e algebre di Boole

testi consigliati (non da acquistare)
Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
Papick, Algebra Connections
Materiale e dispense online

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

PROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Piattaforma Moodle e-Learning del Dipartimento con materiale supplementare

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Altri testi consigliati:
2) K. Huang, Meccanica Statistica, Zanichelli, 1997.
3) L. Peliti, Appunti di Meccanica Statistica, Bollati Boringhieri, 2003.
4) Joel L. Lebowitz, Statistical mechanics: A selective review of two central issues, Reviews of Modern Physics, 71, S346 (1999).

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Kerberos e Diameter
IP Security
Sicurezza nel web
Sistemi di autenticazione
Intrusion detection
Honey pot
Android security
Cloud security
Big data security
Analisi Forense di immagini digitali
Analisi e rilevazione di modifiche di dati multimediali
Tecniche di analisi statistica
Tecniche geometriche

Sono previste esercitazioni in Matlab su marchiatura digitale ed attacchi su sistemi di comunicazione

Stallings’ Cryptography and Network Security, Seventh Edition

USO DI PROGRAMMI DIDATTICI NELL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA: I SOFTWARE GEOGEBRA E MATHEMATICA.
COMANDI PER IL CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO, LA VISUALIZZAZIONE DI GRAFICI, CURVE E SUPERFICI E LA LORO ANIMAZIONE AL VARIARE DI PARAMETRI.
ESEMPI DI PROBLEMI: PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED ESEMPI DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE, APPROSSIMAZIONE DI PI GRECO E DI ALTRI NUMERI IRRAZIONALI, SOLUZIONI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI, SOLUZIONI DI SISTEMI, DETERMINAZIONE E VISUALIZZAZIONE DI PARTICOLARI LUOGHI GEOMETRICI, DERIVATA DI UNA FUNZIONE, CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE.

DISPENSE DEL DOCENTE SU UN ELENCO DI PROBLEMI DA VISUALIZZARE E RISOLVERE (SIMULANDO UN LABORATORIO SCOLASTICO) CON L'AIUTO DEL SOFTWARE MATHEMATICA O GEOGEBRA.

ETI (NETWORKS) E GRAFI
- Grafi, alberi e reti
- Misure di centralità, gradi e matrici adiacenti
- Grafi Random, modello di Erdős e Rényi

PICCOLI MONDI (SMALL WORLDS)
- Deefinizione di Piccolo Mondo
- Coefficiente di "Clustering"
- Modello di Watts-Strogatz

GRAFI RANDOM GENERALIZZATI
- Caratterizzazione statistica delle reti
- Distribuzione del grado di reti del mondo reale (Real World)
- Generalizzazione del modello di Erdős–Rényi
- Grafi random con distribuzioni del grado a legge di potenza

GRAFI CRESCENTI
- Evoluzione dinamica di grafi random
- Modello di Barabási–Albert

CORRELAZIONE TRA GRADI DEI NODI
- Correlazioni in una rete "Real World"
- Assortatività e disassortatività, comportamento "Rich Club"

RETI "PESATE"
- Oltre le reti puramente topologiche: intensità delle interazioni in un sistema complesso
- Il modello di Barrat-Barthélemy-Vespignani

INTRODUZIONE AI PROCESSI DINAMICI: TEORIA E SIMULAZIONE

TESTO PRINCIPALE DEL CORSO:
V. Latora, V. Nicosia, G. Russo, "Complex Networks: Principles, Methods and Applications", Cambridge University press (2017)

TESTO UTILIZZATO PER PICCOLE PARTI DI PROGRAMMA:
A. Barrat, M. Barthelemy, A. Vespignani, "Dynamical processes on complex networks", Cambridge University Press (2008)

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

lementi di Teoria dei Campi. Gruppi di Galois e Ampliamenti di Galois. La Corrispondenza di Galois. Alcune applicazioni della Corrispondenza di Galois: Costruzioni con riga e compasso, Risolubilità delle equazioni polinomiali.

S. Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer Italia, (2008).

C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).
I. Stewart, Galois Theory. Chapman and Hall, (1989).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

- Richiami di Topologia: gruppo fondamentale di uno spazio topologico, rivestimenti;
- Introduzione alla Teoria delle Categorie e cenni di Algebra Omologia;
- Omologia simpliciale e singolare;
- Coomologia;
- Omologia persistente e applicazioni alla Topological Data Analysis.

1. Dispense del docente;
2. A. Hatcher: Algebraic Topology (disponibile online);

1. Fenomenologia, modelli. Esempi.

2. Alcune classi di EDO (Equazioni Differenziali Ordinarie) esattamente risolubili (equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazione di Bernoulli, equazione di Clairaut, equazioni differenziali esatte, equazioni a coefficienti costanti, equazioni Hamiltoniane ad un grado di libertà)

3. Teoria generale:
- Teoremi di esistenza e unicità (Lemmi di Gronwall; teorema di Picard, teorema di Peano).
- Intervalli di esistenza e soluzioni massimali.
- Dipendenza da dati iniziali e parametri.

4. Analisi qualitativa di alcune semplici classi di EDO. Spazio delle fasi.

5. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e teorema della forma normale di Jordan. Trasformata di Laplace.

6. Sistemi lineari a coefficienti variabili. Spazi di soluzione. Il wronskiano. Il caso periodico (teoria di Floquet).

7. Soluzioni periodiche e serie di Fourier.

8. Serie di potenze.

9. Stabilità.

10. Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine.

[AA] Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti, Differential Equations. A first course on ODE and a brief introduction to PDE
Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110652864

[S] Schaum's Outline of Differential Equations, 4th Edition 4th Edition 0071824855 · 9780071824859

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Problemi di ottimizzazione continua. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Principal component analysis.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, Keras, TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

1.Geometria Euclidea: Rudimenti di storia della matematica greca. Le costruzioni con riga e compasso. I problemi classici della matematica greca. Gli Elementi di Euclide.
2.La questione del V Postulato: Il tentativo di Posidonio. Enunciati equivalenti: Playfair, Wallis, la transitività del parallelismo. L’opera di Saccheri. Quadrilateri di Saccheri. Le tre ipotesi. Il Teorema di Saccheri-Lagrange e l’esclusione dell’ipotesi dell’angolo ottuso. La nascita della geometria non-euclidea in Bolyai e in Lobachewski.
3. Le simmetrie del piano: Simmetrie del piano e tipi di simmetrie. Caratterizzazione delle isometrie tramite l’immagine di una terna di punti non allineati. Il Teorema di Chasles. Gruppi discreti di isometrie. Rosoni, fregi e Mosaici. Il Teorema di addizione dell’angolo. Teorema di Leonardo e classificazione dei gruppi discreti finiti. Cenni della dimostrazione della classificazione dei gruppi di fregi. Il Teorema di restrizione cristallografica e la classificazione dei gruppi di mosaici.
4. La geometria di Gauss: La geometria della Sfera. Le geometrie localmente euclidee. Gruppi uniformemente discontinui di isometrie. Il Toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein. Classificazione dei gruppi uniformemente discontinui. Cenni della dimostrazione del Teorema di classificazione delle geometrie localmente euclidee
5.Moduli di geometrie sul Toro e geometria iperbolica. Geometrie simili. Geometrie simili sul Toro. La figura modulare. Il modello del semipiano superiore di Poincaré. Rette e distanza. Ciò che ripugna Saccheri e che non ripugnava Aristotele

R. Trudeau: "La rivoluzione non Euclidea" Bollati Boringhieri
V, Nikulin, I. Shafarevich "Geometries and groups" Springer ed.

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

I numeri complessi; studio di alcune mappe complesse; la sfera di Riemann; le mappe lineari fratte. Le lineari fratte conservano il birapporto e l'insieme dei cerchi e delle rette; i cerchi di Apollonio. Integrale lungo una curva e lunghezza di una curva; proprieta' dell'integrale; funzione indicatrice; somma formale di curve. Il teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; la formula di Cauchy. Il principio di Liouville. Principio di identita'; teorema della singolarita' eliminabile; convergenza quasi uniforme e sue proprieta'. Lemma di Morera; principio della media e del massimo; le funzioni armoniche localmente sono la parte reale di funzioni olomorfe. Teorema dei tre cerchi di Hadamard. La produttoria di Eulero per il seno. Funzioni armoniche e potenziale elettrico; principio della media per le funzioni armoniche, principio del massimo e unicita' per il problema di Dirichlet. Nucleo di Dirichlet; le funzioni che hanno la proprieta' della media sono armoniche. Principio di riflessione di Schwarz. Le serie di Laurent; residui e calcolo dei residui. Il teorema dell'indicatore logaritmico e il teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; una variante dell'indicatore logaritmico e la formula d'inversione di Lagrange; il limite quasi uniforme di funzioni univalenti e' univalente o costante. Il lemma di Schwarz; identificazione degli automorfismi del disco; la metrica iperbolica sul disco e le sue geodetiche; gli automorfismi del disco conservano la metrica iperbolica. Estensione analitica e teorema di monodromia. Accenno alle superfici di Riemann. Il teorema della mappa di Riemann; il piccolo toerema di Picard.

W. Rudin, Analisi reale e complessa.

J. B. Conway, Functions of one complex variable.

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

1. Teoria delle Curve Ellittiche
L’equazione di Weierstrass, La struttura di gruppo sui punti razionali, formule per la somma e la duplicazione. Generalità sulle intersezioni fra rette e curve in P2(K)
Risultati preparatori alla dimostrazione dell’associatività dei punti sulle curve ellittiche. Dimostrazione dell’associatività della somma per i punti di una curva ellittica. Altre equazioni per curve ellittiche, Equazione di Legendre, Equazioni cubiche, Equazioni quartiche, intersezioni di due superfici cubiche. L’invariante j, curve ellittiche in caratteristica 2, Endomorfismi, curve singolari, curve ellittiche modulo n.

2. Punti di Torsione
Punti di torsione, Polinomi di divisione. L’accoppiamento di Weil.

3. Curve ellittiche su campi finiti
L’endomorfismo di Frobenius. Il problema di determinare l’ordine del gruppo.Curve su sottocampi, Simboli di Legendre, Ordini dei punti, L’algoritmo ”Baby Step,Giant Step” di Shanks. Famiglie particolari di curve ellittiche. L’algoritmo di Schoof.

4. Crittosistemi sulle Curve Ellittiche.
Il problema del Logaritmo Discreto. Algoritmi per il calcolo del logaritmo discreto: Baby-Step Giant-Step e Polig-Hellman. Attacco MOV. Attacco sulle curve anomale. Scambio di Chiavi di Diffie-Hellman. Crittosistemi di Massey Omura e ElGamal. Schema di Firma di El Gamal. Crittosistemi sulle curve ellittiche basati sulproblema della fattorizzazione. Un crittosistema basato sull’accoppiamento di Weil. Fattorizzazione di numeri interi utilizzando le curve ellittiche. Utilizzo di Pari.

Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Crptography. Chapman & Hall (CRC) 2003.

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

Richiami sulla approssimazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie. Metodi ad una passo di tipo Eulero esplicito/implicito e loro convergenza.
Convergenza dei metodi numerici per problemi evolutivi, Teorema di Lax-Richtmyer.
L'equazione del trasporto: aspetti analitici. Formula di rappresentazione mediante caratteristiche. Metodi monotoni per l'equazione del trasporto: Upwind, Lax-Friedrichs.
Leggi di conservazione iperboliche scalari in una dimensione: aspetti analitici, cenni sulle soluzioni entropiche, condizione di Rankine-Hougoniot. Cenni sulla teoria della convergenza per le approssimazioni ai volumi finiti. Metodi ai volumi finiti monotoni: Godunov, Lax-Friedrichs, Rusanov.
Sistemi iperbolici lineari e nonlineari: aspetti analitici, decomposizione caratteristica. Schemi centrati monotoni per sistemi iperbolici.
Il sistema delle Acque Basse in una e due dimensioni. Approssimazione con schemi centrati, cenni sulle condizioni al bordo.
L'equazione del calore: aspetti analitici, dominio di dipendenza, regolarità. Approssimazione esplicita e implicita in una e due dimensioni mediante differenze seconde centrate e discretizzazione temporale di Eulero.
Modellistica dei fluidi incomprimibi: le equazioni di Navier-Stokes. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes), derivazione del sistema delle Acque Basse. Metodi numerici alle differenze basati sulla formulazione Vorticità-Streamfunction.

R. J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press

Materiale supplementare fornito dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Convergenza della cluster expansion per le espansioni di bassa e alta temperatura per la pressione del modello di Ising d-dimensionale
- La soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a h=0

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

II parte-
Modelli di meccanica statistica - Dinamiche stocastiche e loro applicazioni

Sono costruiti modelli matematici per studiare diversi problemi, come propagazione
di epidemie, problemi di campionamento, problemi di ottimizzazione, problemi fisici
legati all’interazione di molte particelle, con particolare attenzione alla loro simulazione
numerica. Le esercitazioni di laboratorio sono parte essenziale del corso.
Sono applicati modelli di meccanica statistica, come il modello di Ising, e strumenti di
probabilita’, come le catene di Markov, con richiami della teoria relativa.

S.Freidli and Y.Velenik : Statistical Mechanics of Lattice Systems -
A concrete mathematical introduction. In rete

O.H¨aggstr¨om: Finite Markov Chain and Algorithmic Applications,
London Mathematical Society-Student Texts 52

Richiami sulla approssimazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie. Metodi ad una passo di tipo Eulero esplicito/implicito e loro convergenza.
Convergenza dei metodi numerici per problemi evolutivi, Teorema di Lax-Richtmyer.
L'equazione del trasporto: aspetti analitici. Formula di rappresentazione mediante caratteristiche. Metodi monotoni per l'equazione del trasporto: Upwind, Lax-Friedrichs.
Leggi di conservazione iperboliche scalari in una dimensione: aspetti analitici, cenni sulle soluzioni entropiche, condizione di Rankine-Hougoniot. Cenni sulla teoria della convergenza per le approssimazioni ai volumi finiti. Metodi ai volumi finiti monotoni: Godunov, Lax-Friedrichs, Rusanov.
Sistemi iperbolici lineari e nonlineari: aspetti analitici, decomposizione caratteristica. Schemi centrati monotoni per sistemi iperbolici.
Il sistema delle Acque Basse in una e due dimensioni. Approssimazione con schemi centrati, cenni sulle condizioni al bordo.
L'equazione del calore: aspetti analitici, dominio di dipendenza, regolarità. Approssimazione esplicita e implicita in una e due dimensioni mediante differenze seconde centrate e discretizzazione temporale di Eulero.
Modellistica dei fluidi incomprimibi: le equazioni di Navier-Stokes. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes), derivazione del sistema delle Acque Basse. Metodi numerici alle differenze basati sulla formulazione Vorticità-Streamfunction.

R. J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press

Materiale supplementare fornito dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Convergenza della cluster expansion per le espansioni di bassa e alta temperatura per la pressione del modello di Ising d-dimensionale
- La soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a h=0

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

II parte-
Modelli di meccanica statistica - Dinamiche stocastiche e loro applicazioni

Sono costruiti modelli matematici per studiare diversi problemi, come propagazione
di epidemie, problemi di campionamento, problemi di ottimizzazione, problemi fisici
legati all’interazione di molte particelle, con particolare attenzione alla loro simulazione
numerica. Le esercitazioni di laboratorio sono parte essenziale del corso.
Sono applicati modelli di meccanica statistica, come il modello di Ising, e strumenti di
probabilita’, come le catene di Markov, con richiami della teoria relativa.

S.Freidli and Y.Velenik : Statistical Mechanics of Lattice Systems -
A concrete mathematical introduction. In rete

O.H¨aggstr¨om: Finite Markov Chain and Algorithmic Applications,
London Mathematical Society-Student Texts 52

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate. Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di
unità di misura. Dimensioni fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale. Strumenti
di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti di misura: Portata,
Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione degli strumenti.
Incertezza nella misurazioni. Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo A e
Tipo B. Analisi grafica dei dati Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi
preliminare dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi. Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni
indirette. Propagazione delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali
correlate. Definizione di coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per
grandezze correlate


Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento,
–Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa, studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore resistivo
– Studio della diffrazione, verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

il corso rivisita argomenti algebrici di base, fra cui:
divisibilità, algoritmo di Euclide,
frazioni continue, numeri di Fibonacci,
combinatoria, costruzioni con riga e compasso, cardinalità, reticoli e algebre di Boole

testi consigliati (non da acquistare)
Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
Papick, Algebra Connections
Materiale e dispense online

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

PROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Piattaforma Moodle e-Learning del Dipartimento con materiale supplementare

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Altri testi consigliati:
2) K. Huang, Meccanica Statistica, Zanichelli, 1997.
3) L. Peliti, Appunti di Meccanica Statistica, Bollati Boringhieri, 2003.
4) Joel L. Lebowitz, Statistical mechanics: A selective review of two central issues, Reviews of Modern Physics, 71, S346 (1999).

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

RETI (NETWORKS) E GRAFI
- Grafi, alberi e reti
- Misure di centralità, gradi e matrici adiacenti
- Grafi Random, modello di Erdős e Rényi

PICCOLI MONDI (SMALL WORLDS)
- Deefinizione di Piccolo Mondo
- Coefficiente di "Clustering"
- Modello di Watts-Strogatz

GRAFI RANDOM GENERALIZZATI
- Caratterizzazione statistica delle reti
- Distribuzione del grado di reti del mondo reale (Real World)
- Generalizzazione del modello di Erdős–Rényi
- Grafi random con distribuzioni del grado a legge di potenza

GRAFI CRESCENTI
- Evoluzione dinamica di grafi random
- Modello di Barabási–Albert

CORRELAZIONE TRA GRADI DEI NODI
- Correlazioni in una rete "Real World"
- Assortatività e disassortatività, comportamento "Rich Club"

RETI "PESATE"
- Oltre le reti puramente topologiche: intensità delle interazioni in un sistema complesso
- Il modello di Barrat-Barthélemy-Vespignani

INTRODUZIONE AI PROCESSI DINAMICI: TEORIA E SIMULAZIONE

TESTO PRINCIPALE DEL CORSO:
V. Latora, V. Nicosia, G. Russo, "Complex Networks: Principles, Methods and Applications", Cambridge University press (2017)

TESTO UTILIZZATO PER PICCOLE PARTI DI PROGRAMMA:
A. Barrat, M. Barthelemy, A. Vespignani, "Dynamical processes on complex networks", Cambridge University Press (2008)

Kerberos e Diameter
IP Security
Sicurezza nel web
Sistemi di autenticazione
Intrusion detection
Honey pot
Android security
Cloud security
Big data security
Analisi Forense di immagini digitali
Analisi e rilevazione di modifiche di dati multimediali
Tecniche di analisi statistica
Tecniche geometriche

Sono previste esercitazioni in Matlab su marchiatura digitale ed attacchi su sistemi di comunicazione

Stallings’ Cryptography and Network Security, Seventh Edition

USO DI PROGRAMMI DIDATTICI NELL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA: I SOFTWARE GEOGEBRA E MATHEMATICA.
COMANDI PER IL CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO, LA VISUALIZZAZIONE DI GRAFICI, CURVE E SUPERFICI E LA LORO ANIMAZIONE AL VARIARE DI PARAMETRI.
ESEMPI DI PROBLEMI: PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED ESEMPI DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE, APPROSSIMAZIONE DI PI GRECO E DI ALTRI NUMERI IRRAZIONALI, SOLUZIONI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI, SOLUZIONI DI SISTEMI, DETERMINAZIONE E VISUALIZZAZIONE DI PARTICOLARI LUOGHI GEOMETRICI, DERIVATA DI UNA FUNZIONE, CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE.

DISPENSE DEL DOCENTE SU UN ELENCO DI PROBLEMI DA VISUALIZZARE E RISOLVERE (SIMULANDO UN LABORATORIO SCOLASTICO) CON L'AIUTO DEL SOFTWARE MATHEMATICA O GEOGEBRA.

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

lementi di Teoria dei Campi. Gruppi di Galois e Ampliamenti di Galois. La Corrispondenza di Galois. Alcune applicazioni della Corrispondenza di Galois: Costruzioni con riga e compasso, Risolubilità delle equazioni polinomiali.

S. Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer Italia, (2008).

C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).
I. Stewart, Galois Theory. Chapman and Hall, (1989).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.

[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

1. Fenomenologia, modelli. Esempi.

2. Alcune classi di EDO (Equazioni Differenziali Ordinarie) esattamente risolubili (equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazione di Bernoulli, equazione di Clairaut, equazioni differenziali esatte, equazioni a coefficienti costanti, equazioni Hamiltoniane ad un grado di libertà)

3. Teoria generale:
- Teoremi di esistenza e unicità (Lemmi di Gronwall; teorema di Picard, teorema di Peano).
- Intervalli di esistenza e soluzioni massimali.
- Dipendenza da dati iniziali e parametri.

4. Analisi qualitativa di alcune semplici classi di EDO. Spazio delle fasi.

5. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e teorema della forma normale di Jordan. Trasformata di Laplace.

6. Sistemi lineari a coefficienti variabili. Spazi di soluzione. Il wronskiano. Il caso periodico (teoria di Floquet).

7. Soluzioni periodiche e serie di Fourier.

8. Serie di potenze.

9. Stabilità.

10. Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine.

[AA] Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti, Differential Equations. A first course on ODE and a brief introduction to PDE
Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110652864

[S] Schaum's Outline of Differential Equations, 4th Edition 4th Edition 0071824855 · 9780071824859

Teoria classica del problema di Dirichlet: principio della media, principio del massimo, formule di Green, metodo di Perron, rappresentazione delle soluzioni del problema di Dirichlet mediante il potenziale elettrico.

Spazi di Sobolev in una dimansione e in $n$ dimensioni, con i teoremi d'immersione.

Sistemi di equazioni ellittiche; soluzioni deboli; esistenza di soluzioni deboli grazie al teorema di Lax-Milgram.

Stime di Caccioppoli e regolarita' $W^{2,2}$ delle soluzioni dei sistemi ellittici.

Funzione massimale di Hardy-Littlewood; teorema di differenziazione di Lebesgue; spazi $L^p$ deboli e teorema d'interpolazione di Marcinkievitz.

Protter-Weinberger, Maximum principles in Differential Equations.

L. V. Ahlfors, Compes Analysis.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

M. Giaquinta, L. Martinazzi, An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmoinic functions and minimal graphs.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Introduzione alla statistica: campionamento casuale da una popolazione finita e infinita. Definizione di modello statistico e di statistica. Esempi di statistiche. Proprieta' delle statistiche: statistica sufficiente, minimale e completa.

Stima puntuale di parametri: metodo dei momenti, stimatore di massima verosimiglianza, stimatore di Bayes, algoritmo EM.

Valutazione di un stimatore: distorzione, consistenza e rischio quadratico. Stimatore UMVU e stimatori efficienti.

Intervallo di confidenza: metodo della quantita' pivotale, metodi asintotici e metodo delta.

Verifica di ipotese: definizione di verifica di ipotese, rapporto di verosimiglianza, dualita' con intervallo di confidenza e test uniformemente piu potente.

Metodi non parametrici: Test goodness-of-fit per variabile discrete e continue, tabella di contingenza e metodo di Kolmogorov Smirnov.

Altri argomenti: Analise di varianza (ANOVA), regressione lineare, regressione lineare generalizzata e regressione logistica.

Statistical Inference
Casella e Berger
Duxbury
Seconda edizione.

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze Note

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale

Sciami da raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269
Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli
Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Problemi di ottimizzazione continua. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Principal component analysis.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, Keras, TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

1.Geometria Euclidea: Rudimenti di storia della matematica greca. Le costruzioni con riga e compasso. I problemi classici della matematica greca. Gli Elementi di Euclide.
2.La questione del V Postulato: Il tentativo di Posidonio. Enunciati equivalenti: Playfair, Wallis, la transitività del parallelismo. L’opera di Saccheri. Quadrilateri di Saccheri. Le tre ipotesi. Il Teorema di Saccheri-Lagrange e l’esclusione dell’ipotesi dell’angolo ottuso. La nascita della geometria non-euclidea in Bolyai e in Lobachewski.
3. Le simmetrie del piano: Simmetrie del piano e tipi di simmetrie. Caratterizzazione delle isometrie tramite l’immagine di una terna di punti non allineati. Il Teorema di Chasles. Gruppi discreti di isometrie. Rosoni, fregi e Mosaici. Il Teorema di addizione dell’angolo. Teorema di Leonardo e classificazione dei gruppi discreti finiti. Cenni della dimostrazione della classificazione dei gruppi di fregi. Il Teorema di restrizione cristallografica e la classificazione dei gruppi di mosaici.
4. La geometria di Gauss: La geometria della Sfera. Le geometrie localmente euclidee. Gruppi uniformemente discontinui di isometrie. Il Toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein. Classificazione dei gruppi uniformemente discontinui. Cenni della dimostrazione del Teorema di classificazione delle geometrie localmente euclidee
5.Moduli di geometrie sul Toro e geometria iperbolica. Geometrie simili. Geometrie simili sul Toro. La figura modulare. Il modello del semipiano superiore di Poincaré. Rette e distanza. Ciò che ripugna Saccheri e che non ripugnava Aristotele

R. Trudeau: "La rivoluzione non Euclidea" Bollati Boringhieri
V, Nikulin, I. Shafarevich "Geometries and groups" Springer ed.

Introduzione alla statistica: campionamento casuale da una popolazione finita e infinita. Definizione di modello statistico e di statistica. Esempi di statistiche. Proprieta' delle statistiche: statistica sufficiente, minimale e completa.

Stima puntuale di parametri: metodo dei momenti, stimatore di massima verosimiglianza, stimatore di Bayes, algoritmo EM.

Valutazione di un stimatore: distorzione, consistenza e rischio quadratico. Stimatore UMVU e stimatori efficienti.

Intervallo di confidenza: metodo della quantita' pivotale, metodi asintotici e metodo delta.

Verifica di ipotese: definizione di verifica di ipotese, rapporto di verosimiglianza, dualita' con intervallo di confidenza e test uniformemente piu potente.

Metodi non parametrici: Test goodness-of-fit per variabile discrete e continue, tabella di contingenza e metodo di Kolmogorov Smirnov.

Altri argomenti: Analise di varianza (ANOVA), regressione lineare, regressione lineare generalizzata e regressione logistica.

Statistical Inference
Casella e Berger
Duxbury
Seconda edizione.

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Introduzione alla Systems Biology: cosa è la biologia computazionale; i ruoli della modellistica matematica e della bioinformatica; a cosa mira – quali sono i problemi; quali sono gli strumenti teorici utilizzati.

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare: conoscenza di base di genetica, proteomica e processi cellulari; ecologia ed evoluzione; cenni alla disponibilità di dati biologici in rete.

Richiamo di teoria della probabilità: variabili casuali discrete e continue; distribuzioni, entropia, inferenza, campionamento, stima di probabilità, l'algoritmo EM (Expectation Maximisation).

Richiamo di teoria dell’informazione: Shannon entropy e altre misure di entropia; misure di diversità (indice di Shannon-Wiener, indice di Simpson).

Introduzione ai processi stocastici: random walks, catene di Markov.

Introduzione al Machine Learning e al Pattern Recognition: supervised and unsupervised learning; metodi Bayesiani; tecniche non-parametriche; Neural Networks; metodi stocastici; clustering; k-means.

Analisi delle sequenze: Algoritmi di allineamento (e.g., BLAST); Hidden Markov Models (HMM); strumenti software disponibili in rete.

Richiamo di teoria dei grafi: notazione; tipi di grafi; rappresentazione; algoritmi sui grafi; proprietà statistiche delle reti; centralità; Motifs; Network clustering.
Biological Networks: reti di trasduzione del segnale; reti di regolazione genica; protein-protein interaction networks; reti metaboliche; strumenti software disponibili in rete.

Modelli bio-matematici; predizione mediante modelli teorici; modelli continui; richiami dei metodi numerici per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie; modelli discreti; modelli di spin (Ising models); Automi cellulari; Boolean networks; Agent-based models; data fitting e stima dei parametri; strumenti software disponibili.

Testi di Riferimento

• E.S. Allman, J.A. Rhodes. Mathematical Models in Biology: An Introduction (2004) Cambridge University Press.

• W.J. Ewens, G.R. Grant. Statistical Methods in Bioinformatics, An Introduction (2005) Springer Verlag.

• R. Durbin, S. Eddy, A. Krogh, G. Mitchison. Biological sequence analysis - Probabilistic models of proteins and nucleic acids (1998) Cambridge University Press.

• B.H. Junker, F. Schreiber (eds). Analysis of biological networks (2008) John Wiley & Sons.

• R.O. Duda, P.E. Hart, D.G. Stork. Pattern Classification (2001) John Wiley & Sons.

Approfondimenti di argomenti propedeutici alla preparazione della tesi; la selezione degli argomenti andrà concordata con il docente relatore.

Da scegliere in base all'argomento individuato

Congruenze e polinomi. Equazioni diofantee lineari in due (o più) indeterminate. Risoluzione di sistemi di congruenze lineari. Congruenze polinomiali. Congruenze polinomiali mod p: teorema di Lagrange. Approssimazione p-adica. Esistenza di radici primitive mod p. Indice relativamente ad una radice primitiva. Congruenze quadratiche. Residui quadratici. Simbolo di Legendre. Lemma di Gauss e legge di reciprocità quadratica. Simbolo di Jacobi. Interi somma di due quadrati. Lemma di Thue. Interi rappresentabili come somma di due, tre, quattro quadrati. Funzioni moltiplicative. Le funzioni ϕ, σ, τ e μ. La formula di inversione di Möbius. Studio di alcune equazioni diofantee.

D.M. Burton, Elementary Number theory, McGraw-Hill, (sesta edizione 2007)
G.H. Hardy e E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, (1979)
M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

1. Teoria delle Curve Ellittiche
L’equazione di Weierstrass, La struttura di gruppo sui punti razionali, formule per la somma e la duplicazione. Generalità sulle intersezioni fra rette e curve in P2(K)
Risultati preparatori alla dimostrazione dell’associatività dei punti sulle curve ellittiche. Dimostrazione dell’associatività della somma per i punti di una curva ellittica. Altre equazioni per curve ellittiche, Equazione di Legendre, Equazioni cubiche, Equazioni quartiche, intersezioni di due superfici cubiche. L’invariante j, curve ellittiche in caratteristica 2, Endomorfismi, curve singolari, curve ellittiche modulo n.

2. Punti di Torsione
Punti di torsione, Polinomi di divisione. L’accoppiamento di Weil.

3. Curve ellittiche su campi finiti
L’endomorfismo di Frobenius. Il problema di determinare l’ordine del gruppo.Curve su sottocampi, Simboli di Legendre, Ordini dei punti, L’algoritmo ”Baby Step,Giant Step” di Shanks. Famiglie particolari di curve ellittiche. L’algoritmo di Schoof.

4. Crittosistemi sulle Curve Ellittiche.
Il problema del Logaritmo Discreto. Algoritmi per il calcolo del logaritmo discreto: Baby-Step Giant-Step e Polig-Hellman. Attacco MOV. Attacco sulle curve anomale. Scambio di Chiavi di Diffie-Hellman. Crittosistemi di Massey Omura e ElGamal. Schema di Firma di El Gamal. Crittosistemi sulle curve ellittiche basati sulproblema della fattorizzazione. Un crittosistema basato sull’accoppiamento di Weil. Fattorizzazione di numeri interi utilizzando le curve ellittiche. Utilizzo di Pari.

Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Crptography. Chapman & Hall (CRC) 2003.

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

- Richiami di Topologia: gruppo fondamentale di uno spazio topologico, rivestimenti;
- Introduzione alla Teoria delle Categorie e cenni di Algebra Omologia;
- Omologia simpliciale e singolare;
- Coomologia;
- Omologia persistente e applicazioni alla Topological Data Analysis.

1. Dispense del docente;
2. A. Hatcher: Algebraic Topology (disponibile online);

Introduzione alla Teoria algebrica dei numeri:
Anelli degli interi in campi di numeri e fattorizzazione unica degli ideali.
Valori assoluti in un campo di numeri.

Altezza di Weil e Misura di Mahler:
Definizioni e proprietà.
Formula del prodotto.
Teorema di Northcott.
Teorema di Kroneker.

Equazioni di Thue:
Teorema di Thue sull’approssimazione diofantea.
Lemma di Siegel.
Le equazioni di Thue hanno un numero finito di soluzioni intere.

Dinamica aritmetica:
Punti (pre)periodici.
L’altezza canonica.
Funzioni razionali.

Equazioni diofantee in radici dell’unità:
Richiami sulle radici dell’unità e polinomi ciclotomici.
Il Teorema di Ihara-Serre-Tate.

Equidistribuzione:
Definizioni ed esempi.
Il Teorema di Bilu.
La congettura di Bogomolov.

Zannier - Lecture notes on Diophantine Analysis
Hindry, Silverman - Diophantine Geometry

Elementi di algebra lineare
Grandi matrici
Matrici a basso rango e ricostruzione delle soluzioni
Matrici speciali
Probabilità e statistica
Ottimizzazione
Imparare dai dati

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

I numeri complessi; studio di alcune mappe complesse; la sfera di Riemann; le mappe lineari fratte. Le lineari fratte conservano il birapporto e l'insieme dei cerchi e delle rette; i cerchi di Apollonio. Integrale lungo una curva e lunghezza di una curva; proprieta' dell'integrale; funzione indicatrice; somma formale di curve. Il teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; la formula di Cauchy. Il principio di Liouville. Principio di identita'; teorema della singolarita' eliminabile; convergenza quasi uniforme e sue proprieta'. Lemma di Morera; principio della media e del massimo; le funzioni armoniche localmente sono la parte reale di funzioni olomorfe. Teorema dei tre cerchi di Hadamard. La produttoria di Eulero per il seno. Funzioni armoniche e potenziale elettrico; principio della media per le funzioni armoniche, principio del massimo e unicita' per il problema di Dirichlet. Nucleo di Dirichlet; le funzioni che hanno la proprieta' della media sono armoniche. Principio di riflessione di Schwarz. Le serie di Laurent; residui e calcolo dei residui. Il teorema dell'indicatore logaritmico e il teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; una variante dell'indicatore logaritmico e la formula d'inversione di Lagrange; il limite quasi uniforme di funzioni univalenti e' univalente o costante. Il lemma di Schwarz; identificazione degli automorfismi del disco; la metrica iperbolica sul disco e le sue geodetiche; gli automorfismi del disco conservano la metrica iperbolica. Estensione analitica e teorema di monodromia. Accenno alle superfici di Riemann. Il teorema della mappa di Riemann; il piccolo toerema di Picard.

W. Rudin, Analisi reale e complessa.

J. B. Conway, Functions of one complex variable.

1. Algebra multilineare.Algebra esterna su uno spazio vettoriale, prodotto wedge, base standard edimensione dello spazio delle q-forme.2. Forme differenziali inRn.Forme liscie, operatore differenziale esterno, comologia di de Rham,orientazione e integrazione, lemma di Poincar ́e. Operatore di Hodge inRn.3. Elementi di algebra omologica.Complessi di catene e loro comologia, teorema fondamentaledell’algebra omologica (lemma del serpente), lemma del cinque.4. Integrazione su variet`a.Orientazione su una variet`a, integrazione delle n-forme, teorema di Stokes’.5. Comologia di de Rham.Successione di Mayer-Vietoris, comologia della sfera, teorema di invarianzadel dominio.6. Argomento di Mayer-Vietoris.Esistenza di un buon ricoprimento, finito-dimensionalit`a dellacomologia di de Rham, comologia a supporto compatto, duait`a di Poincar ́e per variet`a compatte, formuladi K ̈unneth per la comologia di un prodotto. Fibrati in fibre e teorema di Leray-Hirsch. Il duale diPoincar ́e di una sottovariet`a chiusa orientata.7. Teorema di de Rham.Complesso doppio, Comologia di Cech dei fasci. Invarianza topologica dellacomologia di de Rham.

[1]Raoul Bott, Loring W. Tu,Differential forms in algebraic topology.Springer, (1986).
[2]Marco Abate, Francesca Tovena,Geometria Differenziale.Springer, (2011).

Richiami sulla approssimazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie. Metodi ad una passo di tipo Eulero esplicito/implicito e loro convergenza.
Convergenza dei metodi numerici per problemi evolutivi, Teorema di Lax-Richtmyer.
L'equazione del trasporto: aspetti analitici. Formula di rappresentazione mediante caratteristiche. Metodi monotoni per l'equazione del trasporto: Upwind, Lax-Friedrichs.
Leggi di conservazione iperboliche scalari in una dimensione: aspetti analitici, cenni sulle soluzioni entropiche, condizione di Rankine-Hougoniot. Cenni sulla teoria della convergenza per le approssimazioni ai volumi finiti. Metodi ai volumi finiti monotoni: Godunov, Lax-Friedrichs, Rusanov.
Sistemi iperbolici lineari e nonlineari: aspetti analitici, decomposizione caratteristica. Schemi centrati monotoni per sistemi iperbolici.
Il sistema delle Acque Basse in una e due dimensioni. Approssimazione con schemi centrati, cenni sulle condizioni al bordo.
L'equazione del calore: aspetti analitici, dominio di dipendenza, regolarità. Approssimazione esplicita e implicita in una e due dimensioni mediante differenze seconde centrate e discretizzazione temporale di Eulero.
Modellistica dei fluidi incomprimibi: le equazioni di Navier-Stokes. Formulazioni approssimate (Eulero, Stokes), derivazione del sistema delle Acque Basse. Metodi numerici alle differenze basati sulla formulazione Vorticità-Streamfunction.

R. J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press

Materiale supplementare fornito dal docente.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Convergenza della cluster expansion per le espansioni di bassa e alta temperatura per la pressione del modello di Ising d-dimensionale
- La soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a h=0

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

II parte-
Modelli di meccanica statistica - Dinamiche stocastiche e loro applicazioni

Sono costruiti modelli matematici per studiare diversi problemi, come propagazione
di epidemie, problemi di campionamento, problemi di ottimizzazione, problemi fisici
legati all’interazione di molte particelle, con particolare attenzione alla loro simulazione
numerica. Le esercitazioni di laboratorio sono parte essenziale del corso.
Sono applicati modelli di meccanica statistica, come il modello di Ising, e strumenti di
probabilita’, come le catene di Markov, con richiami della teoria relativa.

S.Freidli and Y.Velenik : Statistical Mechanics of Lattice Systems -
A concrete mathematical introduction. In rete

O.H¨aggstr¨om: Finite Markov Chain and Algorithmic Applications,
London Mathematical Society-Student Texts 52