Università Roma Tre

I numeri complessi; studio di alcune mappe complesse; la sfera di Riemann; le mappe lineari fratte. Le lineari fratte conservano il birapporto e l'insieme dei cerchi e delle rette; i cerchi di Apollonio. Integrale lungo una curva e lunghezza di una curva; proprieta' dell'integrale; funzione indicatrice; somma formale di curve. Il teorema di Cauchy sui rettangoli e sulle curve qualunque; la formula di Cauchy. Il principio di Liouville. Principio di identita'; teorema della singolarita' eliminabile; convergenza quasi uniforme e sue proprieta'. Lemma di Morera; principio della media e del massimo; le funzioni armoniche localmente sono la parte reale di funzioni olomorfe. Teorema dei tre cerchi di Hadamard. La produttoria di Eulero per il seno. Funzioni armoniche e potenziale elettrico; principio della media per le funzioni armoniche, principio del massimo e unicita' per il problema di Dirichlet. Nucleo di Dirichlet; le funzioni che hanno la proprieta' della media sono armoniche. Principio di riflessione di Schwarz. Le serie di Laurent; residui e calcolo dei residui. Il teorema dell'indicatore logaritmico e il teorema di Rouche'. Le mappe olomorfe sono aperte; una variante dell'indicatore logaritmico e la formula d'inversione di Lagrange; il limite quasi uniforme di funzioni univalenti e' univalente o costante. Il lemma di Schwarz; identificazione degli automorfismi del disco; la metrica iperbolica sul disco e le sue geodetiche; gli automorfismi del disco conservano la metrica iperbolica. Estensione analitica e teorema di monodromia. Accenno alle superfici di Riemann. Il teorema della mappa di Riemann; il piccolo toerema di Picard.

W. Rudin, Analisi reale e complessa.

J. B. Conway, Functions of one complex variable.