Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in form elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

CONGRUENZE E POLINOMI. EQUAZIONI DIOFANTEE LINEARI IN DUE (O PIÙ) INDETERMINATE. RISOLUZIONE DI SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI. CONGRUENZE POLINOMIALI. CONGRUENZE POLINOMIALI MOD P: TEOREMA DI LAGRANGE. APPROSSIMAZIONE P-ADICA. ESISTENZA DI RADICI PRIMITIVE MOD P. INDICE RELATIVAMENTE AD UNA RADICE PRIMITIVA. CONGRUENZE QUADRATICHE. RESIDUI QUADRATICI. SIMBOLO DI LEGENDRE. LEMMA DI GAUSS E LEGGE DI RECIPROCITÀ QUADRATICA. SIMBOLO DI JACOBI. INTERI SOMMA DI DUE QUADRATI. LEMMA DI THUE. INTERI RAPPRESENTABILI COME SOMMA DI DUE, TRE, QUATTRO QUADRATI. FUNZIONI MOLTIPLICATIVE. LA FORMULA DI INVERSIONE DI MÖBIUS. STUDIO DI ALCUNE EQUAZIONI DIOFANTEE. FRAZIONI CONTINUE.

M. FONTANA, APPUNTIDEL CORSO TN1 (ARGOMENTI DELLA TEORIA CLASSICA DEI NUMERI), HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/FONTANA/DIDATTICA/FONTANA_DIDATTICA.HTML DISPENSE.
D.M. BURTON: ELEMENTARY NUMBER THEORY, MCGRAW-HILLINTERNATIONAL EDITION, 6TH EDITION (2007), 434 PP.
G.A. JONES AND J.M. JONES, ELEMENTARY NUMBER THEORY, SPRINGER, 1ST EDITION (1998), 200 PP.
H. DAVENPORT, ARITMETICA SUPERIORE.UN?INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI NUMERI, ZANICHELLI, (1994), 199 PP.
G.H. HARDY AND E.M. WRIGHT, AN INTRODUCTION TO THE THEORY OH NUMBERS, THE CLARENDON PRESS, OXFORD UNIVERSITY, 5TH EDITION (1979), XVI+426 PP.
W.J. LEVEQUE, FUNDAMENTALS OF NUMBER THEORY, DOVER PUBLICATIONS, (1996)
K.H. ROSEN. ELEMENTARY NUMBER THEORY AND ITS APPLICATIONS, ADDISON-WESLEY, 6TH EDITION (2011), XV+752 PP.

Introduzione: Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado, anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi, estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi, il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici, campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois: Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppo di Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell'esistenza dell'elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois: Gruppi di Galois come sottogruppi di $S_n$, sottogruppi transitivi di $S_n$, caratterizzazione dell'irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in $A_n$, Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale
a $4$, esempi di polinomi con gruppo di Galois $S_p$.

Campi ciclotomici: Definizioni, gruppo di Galois, sottocampi reali massimali, sottocampi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti: Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti. Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con $p$ elementi.

Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti del piano costruibili, numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Introduzione: Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado, anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi, estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi, il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici, campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois: Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppo di Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell'esistenza dell'elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois: Gruppi di Galois come sottogruppi di $S_n$, sottogruppi transitivi di $S_n$, caratterizzazione dell'irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in $A_n$, Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale
a $4$, esempi di polinomi con gruppo di Galois $S_p$.

Campi ciclotomici: Definizioni, gruppo di Galois, sottocampi reali massimali, sottocampi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti: Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti. Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con $p$ elementi.

Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti del piano costruibili, numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).

1. Integrazione astratta
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.

"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in form elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

MECCANICA LAGRANGIANA E MECCANICA HAMILTONIANA. PRINCIPI VARIAZIONALI. SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI. TEOREMA KAM.

[1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.
DISPONIBILE IN RETE: http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2016-2017/FM410/testo.html
[3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996)
[4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979)
[5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980)

Spazi affini
Topologia di Zariski. Chiusi affini ed ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Spazi topologici noetheriani. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Funzioni regolari su chiusi affini. Applicazioni regolari, isomorfismi. Aperti principali. Esempi. Le proiezioni sono aperte. Morfismi finiti.

Varietà
Spazi proiettivi e topologia di Zariski su essi. Varietà quasi-proiettive. Applicazioni razionali e regolari. Ipersuperfici proiettive. Equivalenza birazionale. Aperti principali e chiusi affini. Varietà affini. Dimensione di varietà quasi-proiettive. Morfismi finiti e genericamente finiti. Caratterizzazioni dell'equivalenza birazionale. Caratterizzazione di morfismi genericamente finiti. Insiemi costruibili e teorema di Chevalley. Ogni varietà à birazionale ad un'ipersuperficie.

Geometria locale
L'anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente. Spazio tangente. Punti singolari e non singolari.

L. Caporaso
Introduzione alla geometria algebrica
Appunti del corso disponibili su richiesta all'autrice

I. Shafarevich
Basic Algebraic geometry
Springer-Verlag, Berlin, 1994

MECCANICA QUANTISTICA: CRISI DELLA FISICA CLASSICA. ONDE E PARTICELLE. VETTORI DI STATO ED OPERATORI. MISURE ED OSSERVABILI. OPERATORE DI POSIZIONE. TRASLAZIONI E IMPULSO. EVOLUZIONE TEMPORALE ED EQUAZIONE DI SCHRODINGER. PARITA'. PROBLEMI UNIDIMENSIONALI. OSCILLATORE ARMONICO. SIMMETRIE E LEGGI DI CONSERVAZIONE. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO.

J.J. SAKURAI, J. NAPOLITANO. MECCANICA QUANTISTICA MODERNA. SECONDA EDIZIONE, ZANICHELLI, BOLOGNA, 2014

1) Introduzione alla teoria dell'informazione

- Codici a correzione d'errore. Canale binario simmetrico.
Codici a blocco. Codici di Hamming. $(7,4)$-Hamming.
Matrice di generazione del codice nel caso lineare.
Decodifica nel caso del codice $(7,4)$-Hamming. Sindromi.
Decodifica mediante sindromi. Efficenza dei codici.
Capacità di un canale. Codici simmetrici. Rappresentazione grafica
associata ad un codice.

- Probabilità. Spazi di probabilità. Probabilità discreta.
Probabilità a posteriori. Principio di massima
verosimiglianza. Definizione di entropia. Contenuto informativo
secondo Shannon. Ridondanza. Entropia congiunta. Regola di
decomposizione per il calcolo dell'entropia. Disugualgianza di Gibbs.
Disuguaglianza di Jensen.
- Inferenza.

([1] capp. 1, 2, 3)

2) Compressione Dati

- Teorema di codifica della sorgente. Misura del contenuto d'informazione
di una variabile aleatoria. Contenuto informativo grezzo. Contenuto informativo
e compressione con perdita. Contenuto informativo essenziale. Teorema di Shannon.
Insiemi di tipicità. Principio di equipartizione asintotica.

- Codici Simbolici. Codifica senza perdita di informazione.
Codici prefissi. Decodifica univoca. Disuguaglianza di Kraft.
Codici ottimali. Codifica di Huffman.

- Codici Flusso. Codici aritmetici. Modello Bayesiano.
Codici Huffman con intestazione. Codici aritmetici con modello
predittivo di Laplace. Codici aritmetici con modello predittivo
di Dirichlet. Codifica Lempel-Ziv.

([1] capp. 4,5,6)

3) Codifica di canale in presenza di rumore

- Variabili aleatorie dipendenti. Entropia congiunta.
Entropia Condizionata. Mutua informazione. Mutua informazione
condizionata.

- Comunicazione su canali in presenza di rumore. Canale discreto
senza memoria (DMC). Esempi: canale binario simmetrico (BSC), canale
binario con cancellazione (BEC), la telescrivente con rumore (NT),
lo zeta-channel (Z). Informazione trasportata da un canale.

- Il teorema di codifica della sorgente nel caso con rumore.
Decodifica ottimale. Probabilità di errore sul blocco e in media sul
singolo bit. Sequenze tipiche e insiemi di tipicità
congiunta. Decodifica mediante insiemi di tipicità. Valutazione
dell'informazione nel caso di utilizzo di un canale oltre la
capacità.

- Codici a correzione d'errore e applicazioni.

([1] capp. 8,9,10,11)

4) Ulteriori codici

- Codici Hash.
- Codici Lineari.

([1] capp. 12,14)

[1] David J. C. MacKay, Information Theory, Inference and Learning Algorithms. (2004) Cambridge University Press;
[2] R. Blahut, Principles and Practice of Information Theory, (1987) Addison Wesley.
[3] Thomas and Cover, Elements of Information Theory, (1991) Wiley;

Struttura temporale dello scambio di importi, il capitale e l’interesse: scambio di importi, tempo, prezzo, prezzo del tempo, convenzione per misurare il tempo, contratti differiti e diritti, operazioni con scadenzario fisso, operazioni di investimento/indebitamento regolari, leggi finanziarie, la legge degli interessi semplici, la legge degli interessi composti, definizioni fondamentali basate sulla funzione valore, fattori tassi e intensità, intensità istantanea.
I contratti, lo scambio, i prezzi: prezzi sul mercato primario e secondario, alcuni tipi si contratti obbligazionari, titoli a cedola nulla (ZCB), titoli a cedola fissa (CB), rateo, corso tel quel, corso secco. I rischi: tempo,incertezza, rischio, il rischio di credito per mutui e obbligazioni,
La valutazione in condizioni di certezza:
la legge esponenziale: la funzione esponenziale come legge di equivalenza finanziaria, tassi e intensità equivalenti in legge esponenziale e lineare, valutazione di una operazione finanziaria in base alla legge esponenziale, equità, proprietà funzionali della legge esponenziale, scomposizione di operazioni finanziarie;
rendite e piani d’ammortamento: definizioni, valore attuale di rendite a rate constanti, rendita immediata posticipata di durata m, rendita perpetua posticipata, rendita immediata anticipata di durata m, rendita perpetua anticipata, rendite differite di n anni, rendita perpetua differita posticipata, rendita perpetua differita anticipata. Le operazioni di rendita nell’aspetto, rendita posticipata a rata costante, rendita anticipata a rata costante, rendita posticipata a quote capitale constanti, il piano d’ammortamento, ammortamento a rimborso unico;
tasso interno di rendimento: il caso di pagamenti periodici, teorema di Cartesio, caso di uno ZCB, caso di una operazione di investimento, caso di una operazione finanziaria composta da tre importi, caso di un CB quotato alla pari, il metodo di Newton, il TAEG;
teoria delle leggi di equivalenza finanziaria: la funzione valore in un contratto a pronti, la funzione valore in un contratto a termine, la proprietà di uniformità nel tempo, fattori di sconto e di capitalizzazione, ipotesi di coerenza tra contratti a pronti e contratti a termine, la proprietà di scindibilità, tassi e intensità di interesse, tassi equivalenti, l’intensità istantanea d’interesse, forma integrale del fattore di sconto, leggi uniformi, leggi scindibili, teorema di Cantelli, intensità di rendimento a scadenza (yield to maturity), capitalizzazione lineare e iperbolica, linearità del valore attuale.
Le operazioni finanziarie nel mercato:
funzione valore e prezzi di mercato: le ipotesi caratteristiche del mercato, mercato perfetto, il principio di non arbitraggio, la proprietà di assenza di arbitraggio, legge del prezzo unico, titocli a cedola nulla unitari, teorema di decrescenza rispetto alla scadenza, titoli a cedola nulla non unitari, teorema di indipendenza dall’importo, portafogli di ZCB con diversa scadenza, teorema di linearità del prezzo, contratti a termine (forward), teorema dei prezzi impliciti, tassi impliciti, considerazioni sugli effetti fiscali, caso dei Buoni Ordinati del Tesoro (BOT );
la struttura per scadenza dei tassi di interesse:le strutture per scadenza a pronti, le strutture per scadenza implicite, relazione di dominanza tra la struttura dei tassi impliciti e la struttura dei tassi a pronti, scadenzari discreti, scadenzari discreti con modello continuo, tasso di parità, strutture rischiose e credit spread;
indice temporali e indici di variabilità: indici temporali di flusso di pagamenti, scadenza e vita a scadenza, la duration, il caso di rendite a rate costanti, momenti del secondo ordine, duration e dispersione di portafogli, indici di variabilità di un flusso di pagamenti, analisi di sensitività del prezzo, semielasticità, elasticità, convexity, “regola del pollice”;
la misurazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse: metodi basati sul tasso interno di rendimento, metodi basati sull’algebra lineare, metodi basati sul tasso di parità, tasso swap come tasso di parità, metodi basati sulla stima di un modello, modello Masera, modello Nelson –Siegel-Svensson;
valutazione di arbitraggio di piani a tasso variabile: operazioni finanziarie aleatorie, coupon bond a tasso variabile, effetti dell’indicizzazione perfetta delle quote interesse, il titolo di reinvestimento, la valutazione dello ZCB stocastico, logica del portafoglio replicante, valutazione della singola cedola indicizzata, valutazione del flusso di cedole indicizzate, valutazione del coupon bond a tasso variabile all’emissione e in essere, equivalenza con una strategia roll-over;
contratti interest rate sensitive (cenni): la valutazione di contratti dipendenti dai tassi di interesse nominali, richiami sulla teoria della struttura per scadenza in condizioni di certezza, modelli della struttura per scadenza in condizioni di certezza, esempi di contratti IRS, modelli stocastici per contratti IRS, una classe di modelli uni variati nel tempo continuo, le ipotesi di base, la dinamica dei contratti IRS, l’argomentazione di hedging, misure di rischiosità, il modello di Vasicek.

Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Manuale di finanza. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni. Il Mulino, 2005
Allevi, E., Bosi, G., Riccardi, R., Zuanon, M., Matematica finanziaria e attuariale, Pearson, 2017
Luenberger, D., G., Introduzione alla matematica finanziaria, Apogeo, 2015
Cesari, R., Introduzione alla Finanza Matematica. Mercati azionari, rischi e portafogli, McGraw-Hill, 2012
Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Manuale di finanza. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni. Il Mulino, 2005
Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F. Modelli stocastici e contratti derivati. Il Mulino, 2005
Naccarato, A., Pierini, A., “BEKK element-by-element estimation of a volatility matrix, A portfolio simulation”, in Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance, (editors Perna, C., Sibillo, M.), Springer, 2014
Dispense degli esercizi (consegnate a lezione).

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Outline del corso; Introduzione e generalita'; Bioinformatica e algoritmi; La biologia computazionale nella clinica e nell'industria farmaceutica; Farmacocinetica e farmacodinamica;

Introduzione alla Systems Biology: cosa e' la biologia computazionale; I ruoli della modellistica matematica e della bioinformatica; a cosa mira; quali sono i problemi; Strumenti teorici utilizzati della bio-matematica e della bioinformatica.

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare (prima parte): conoscenza di base di genetica, proteomica e processi cellulari; Ecologia ed evoluzione; le molecola base; i legami molecolari; i cromosomi; ll DNA e la sua replicazione;

Introduzione alla biologia molecolare e cellulare (seconda parte); genomica; Il dogma centrale della biologia; Il progetto genoma; la struttura del genoma umanol Analisi dei geni; la trascrizione del DNA; i virus;

Laboratorio: generazione di numeri casuali; le funzioni srand48 e drand48; generazione casuale di stringhe nucleotidiche di lunghezza arbitraria (program1.c); generazione casuale di stringhe aminoacidiche di lunghezza arbitraria (program2.c);

Introduzione alle teoria dell'informazione; Shannon Entropy; Conditional Entropy; Mutual Information; Indici di diversita' biologica; Indice di Shannon; True diversity; Reny index;

Laboratorio: il codice genetico; Programma in C di trascrizione sequenza DNA e traduzione in proteine;

Introduzione ai processi stocastici; definizione base; esempi; modello di code; processo di Bernoulli e di Poisson; Processi Markoviani; i processi stocastici in bioinformatica e bio-matematica; l'autocorrelazione; Cenni ai Random Walks e all'algoritmo BLAST di sequence alignment come processo stocastico e principale algoritmo per la consultazione di database di sequenze biologiche;

Laboratorio: sviluppo di un algoritmo in C per il calcolo della Shannon Entropy di un testo in inglese (o in italiano) qualsiasi (e.g., http://www.textfiles.com/etext/)

Cammini casuali. L'algoritmo BLAST per l'allineamento di sequenze come cammino casuale; Laboratorio: implementazione in C di diversi algoritmi per la generazione di un random walk in 1D e 2D su reticolo e in R o R^2 segnale e calcolo del mean square displacement;

Confrontare sequenze: similarita' e omologia; pairwise alignment; distanza di editing; scoring matrices PAM e BLOSUM; Algoritmo di Needleman-Wunsch; allineamento locale; Algoritmo di Smith-Waterman; algoritmo BLAST;

Laboratorio: implementazione in C di un algoritmo per la generazione di un segnale con rumore e calcolo del correlogramma in presenza o assenza di un vero segnale;

Multiple Sequence Alignment; sequenza di consenso; algoritmi star alignment; ClustalW; entropy e circular sum scoring functions;

Banche dati biologiche; motivazioni; formato dati; tassonomia; DB primari; DB secondari; NCBI, EMBL, DDBJ; NCBI EBI-Entrez; Exact matching/string searching: generalita'; l'agoritmo di Knuth-Morris-Pratt;

Exact matching/string searching: l'agoritmo di Boyer-Moore;

Esercitazione su una implementazione dell'algoritmo di exact matching Knuth-Morris-Pratt. Esercitazione su banche dati biologiche; database primari; database secondari; NCBI, EMBL, DDBJ; NCBI EBI-Entrez; Uso dell'algoritmo BLAST

Phylogenetic Analysis; alberi filogenetici; dimensione dello spazio di ricerca di algoritmi filogenetici; Metodi di costruzione di alberi filogenetici; Dati usati per l'analisi filogenetica; L'algoritmo Unweighted Pair Group Method with Arithmetic mean (UPGMA); l'algoritmo Neighbor Joining Method; Hidden Markov Models; Decoding; the Viterbi Algorithm; Evaluation;

Laboratorio: completamento dell'esercizio su mutazione, selezione ed evoluzione di stringhe nucleotidiche (genotipo) tradotte in stringhe aminoacidiche (fenotipo); La selezione viene fatta in base alla presenza di determinate sottostringhe nel fenotipo che ne determina il valore di fitness; Dettagli implementatitvi, visualizzazione del criterio di convergenza e dei risultati, discussione, etc.;

Machine Learning; generalita'; supervised e unsupervised learning; model selection; undefitting; overfitting; Polynomial curve fitting; machine learning come stima dei parametri ed il problema dell'overfitting; suddivisione del training set in testing e testing; concetto di bias e variance trade-off; Artificial Neural Networks; definizone; il percettrone di Rosenblatt; l'algoritmo di apprendimento del percettrone; il multi-layer perceptron;

Laboratorio: completamento dell'implementazione in ANSI C dell'algoritmo evolutivo di stringhe nucleotidiche (genotipo) tradotte, mediante l'utilizzo del codice genetico, in stringhe aminoacidiche (fenotipo);

Hidden Markov Models; The Forward Algorithm; The Backward Algorithm; Posterior Decoding; Learning; Baum-Welch Algorithm; Uso di Hidden Markov Models per l'analisi di bio-sequenze; gene finding;

Artificial Neural Networks; l'algoritmo di error-back propagation per l'apprendimento del MLP; tipi di neural networks; convolution networks; reinforcement networks; unsupervised learning e self-organising maps; Cenni introduttivi alla teoria dei grafi; rappresentazione, terminologia, concetti; cammini; cicli; connettivita'; distanza; componenti connesse; distanza;

Cenni introduttivi alla teoria dei grafi; visita breadth-first search; depth-first search; algoritmo di Dijkstra; six-degree of separation; small world networks; misure di centralita'; degree centrality; eigenvector centrality; betweennes centrality; closeness centrality; La network biology; generalita'; concetti; tipi di dati biologici usati per costruire le reti; network biology e network medicine; problemi e algoritmi usati; misure di centralita'; random networks; scale-free networks; preferential attachment; scale-free network in biologia;

Laboratorio: completamento dell'esercizio sull'algoritmo evolutivo; Dettagli implementatitvi, visualizzazione del criterio di convergenza e dei risultati, discussione, etc.;

Modelli bio-matematici; predizione mediante modelli teorici; il paradigma itertativo della modellistica matematica; data-driven models; modelli di crescita di popolazione limitata e non; derivazione analitica ed esempi; crescita logistica; modelli ecologici limitati dalla densita'; Il modello di Lotka-Volterra; l'esperimento di Huffaker e Kenneth; il modello epidemico SIR e alcune sue varianti; Il modello di Perelson per la HAART; l'applicazione Java Populus per la soluzione di modelli continui di dinamica delle popolazione; cenni ai metodi di risoluzione numerica dei sistemi di equazioni differentiali;

Modelli discreti; modelli di spin (Ising models); Automi cellulari; Boolean networks; Agent-based models; data fitting e stima dei parametri; strumenti software disponibili; Automi cellulari; introduzione e storia; definizione; l'automa 1-dimensionale; classificazione di Wolfram; l'automa 2-dimensionale; il Game of Life di Conway; Software disponibile per la simulazione di CA; hardware dedicato (CA-Machine); il modello preda-predatore come automa cellulare bidimensionale; relazione con il sistema di equazioni alle derivare ordinarie; modelli stocastici; CA stocastici come sistemi dinamici discreti stochastici e processi stocastici; esempio di CA: Belousov-Zabotonsky reactions;

[-] E.S. Allman, J.A. Rhodes. Mathematical Models in Biology: An Introduction (2004) Cambridge University Press.
[-] W.J. Ewens, G.R. Grant. Statistical Methods in Bioinformatics, An Introduction (2005) Springer Verlag.
[-] R. Durbin, S. Eddy, A. Krogh, G. Mitchison. Biological sequence analysis - Probabilistic models of proteins and nucleic acids (1998) Cambridge University Press.

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

1. Probabilit\`a

Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.
Introduzione alla teoria della misura.
Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicit\`a della misura.
Misure di probabilit\`a. Lemma di Borel--Cantelli 1.
Variabili aleatorie. Misurabilita'. Legge
e funzione di distribuzione di una variabile
aleatoria. Indipendenza. Lemma di Borel--Cantelli 2.
Legge 0--1 per variabili aleatorie indipendenti.

2. Integrazione, valore atteso

Cenni sulla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale. Teorema di convergenza monotona.
Aspettazione
di variabili aleatorie. Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme $L_p$.
Disuguaglianze di H\"older e Cauchy-Schwarz.
Disuguaglianza di Markov.
Esempi di legge debole e legge forte dei grandi numeri.
Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini.
Leggi congiunte.

3. Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza

Attesa condizionata
rispetto a una sotto $\sigma$--algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza
e unicit\`a dell'aspettazione condizionata.
Densit\`a di probabilit\`a condizionata.
Filtrazioni. Processi stocastici a tempo
discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d'arresto.
Teorema di Doob sullo ``optional stopping''.
Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di arresto.
Tempi di uscita da un intervallo
per passeggiate aleatorie.
Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^1$. Teorema di convergenza per martingale limitate in $L^2$. Esempi e problemi con martingale.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.

4. Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale

Funzioni caratteristiche.
Teorema di inversione per funzioni caratteristiche.
Convergenza in distribuzione.
Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di
funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.
Diversi modi di convergenza per variabili aleatorie.
Esempi e controesempi.

D. Williams.
Probability with martingales
Cambridge University Press, 1991


R. Durrett
Probability: Theory and Examples
Thomson, 2000

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

CONGRUENZE E POLINOMI. EQUAZIONI DIOFANTEE LINEARI IN DUE (O PIÙ) INDETERMINATE. RISOLUZIONE DI SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI. CONGRUENZE POLINOMIALI. CONGRUENZE POLINOMIALI MOD P: TEOREMA DI LAGRANGE. APPROSSIMAZIONE P-ADICA. ESISTENZA DI RADICI PRIMITIVE MOD P. INDICE RELATIVAMENTE AD UNA RADICE PRIMITIVA. CONGRUENZE QUADRATICHE. RESIDUI QUADRATICI. SIMBOLO DI LEGENDRE. LEMMA DI GAUSS E LEGGE DI RECIPROCITÀ QUADRATICA. SIMBOLO DI JACOBI. INTERI SOMMA DI DUE QUADRATI. LEMMA DI THUE. INTERI RAPPRESENTABILI COME SOMMA DI DUE, TRE, QUATTRO QUADRATI. FUNZIONI MOLTIPLICATIVE. LA FORMULA DI INVERSIONE DI MÖBIUS. STUDIO DI ALCUNE EQUAZIONI DIOFANTEE. FRAZIONI CONTINUE.

M. FONTANA, APPUNTIDEL CORSO TN1 (ARGOMENTI DELLA TEORIA CLASSICA DEI NUMERI), HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/FONTANA/DIDATTICA/FONTANA_DIDATTICA.HTML DISPENSE.
D.M. BURTON: ELEMENTARY NUMBER THEORY, MCGRAW-HILLINTERNATIONAL EDITION, 6TH EDITION (2007), 434 PP.
G.A. JONES AND J.M. JONES, ELEMENTARY NUMBER THEORY, SPRINGER, 1ST EDITION (1998), 200 PP.
H. DAVENPORT, ARITMETICA SUPERIORE.UN?INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI NUMERI, ZANICHELLI, (1994), 199 PP.
G.H. HARDY AND E.M. WRIGHT, AN INTRODUCTION TO THE THEORY OH NUMBERS, THE CLARENDON PRESS, OXFORD UNIVERSITY, 5TH EDITION (1979), XVI+426 PP.
W.J. LEVEQUE, FUNDAMENTALS OF NUMBER THEORY, DOVER PUBLICATIONS, (1996)
K.H. ROSEN. ELEMENTARY NUMBER THEORY AND ITS APPLICATIONS, ADDISON-WESLEY, 6TH EDITION (2011), XV+752 PP.

Principi di Progettazione Object Oriented
Astrazione, Polimorfismo, Ereditrarieta, Aggregazione
Modelli di Progettazione Object Oriented ed UML
Diagrammi UML Use Case, Sequence, Class e Object, Deployment
Analisi e Sviluppo Software per Java Virtual Machine: I/O, Stream, Networking
Calcolo (Scientifico, Real-time,...) Efficiente Distribuito e Multithreading e Concorrenza in ambito Cloud e Mobile

Manuale di Java 9 De Sio Cesari Claudio Hoepli Informatica

Sotto il titolo generico del Corso si inquadreranno sia metodi asintotici
(metodi perturbativi) che metodi numerici, soprattutto per equazioni
differenziali ordinarie e alle derivate parziali, con applicazioni. Tra i primi
rientrano i cosiddetti problemi di ``perturbazione singolare''. Si
considerera anche il caso delle equazioni alle differenze. Le due categorie
di metodi, asintotici e numerici, sono in genere insegnati e utilizzati
separatamente. Qui si cerchera di ultilizzarli entrambi, anche
congiuntamente, in uno stesso problema. Si tratta infatti di due metodologie
fondamentali per la Matematica Applicata.

Metodi asintotici:

Introduzione all'analisi asintotica. Serie asintotiche. Perturbazioni
regolari e perturbazioni singolari di equazioni differenziali ordinarie e
sistemi.

Si parte dalla definizione di successione e serie asintotica (in particolare
di potenze) e delle loro propriet\`a tipiche. Si considera anche il caso di
perturbazioni di equazioni algebriche.

Si considerano poi le perturbazioni regolari di equazioni differenzaili
ordinarie, quindi le perturbazioni singolari delle medesime. Il caso di certe
equazioni alle derivate parziali e' trattato soprattutto in modo formale.

Si considera la cosiddetta approssimazione asintotica di WKB o di
Liouville-Green. Si presentano anche alcune estensioni al caso di equazioni
alle differenze.

Metodi numerici:

Risoluzione numerica, con vari metodi, di equazioni differenziali ordinarie
e sistemi, e di alcune equazioni alle derivate parziali. Questo sara' fatto
in gran parte nelle ore di Laboratorio di calcolo, utilizzando MATLAB e
Mathematica.

John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation
Theory, Lecture Notes, https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf,
2004.

R.E. O'Malley, Jr., Introduction to Singular
Perturbations, Academic Press, New York and London, 1974

D. R. Smith, Singular-Perturbation Theory. An introduction
with applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
ds and Applications, Volume 181

D. Trigiante and V. Lakshmikantham, Theory of Difference
Equations: Numerical Methods and Applications, Elsevier Science, Vol. 181,
1988.

Appunti in rete del docente.

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

Introduzione alla programmazione in Python e/o Julia

1. Python oppure Julia? Getting started
2. Sintassi del linguaggio attraverso esempi

Geometria poliedrale

3. Spazi lineari e affini
4. Insiemi convessi, coordinate affini e convesse
5. Complessi cellulari

Informatica grafica elementare

6. Trasformazioni affini
7. Strutture gerarchiche e grafi della scena

Introduzione al calcolo geometrico

8. Rappresentazioni parametriche
9. Curve, superfici, solidi
10. Funzioni polinomiali e razionali
11. Superfici prodotto tensore
12. Modellazione dei solidi e del movimento

A. Paoluzzi, Geometric Programming for Computer-Aided Design, Wiley, 2003. (free download from uniroma3.it domain)
https://github.com/cvdlab-courses/ggpl
https://github.com/plasm-language/pyplasm
https://github.com/cvdlab/lar-cc