Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Teoria delle varieta` algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e variet`di Veronese e di Segre,.
Prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varieta` algebriche.

Divisori, sistemi lineari e morfismi di variet` proiettive.
Complementi di algebra commutativa.

I. Shafarevich. Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso. Introduzione alla geometria algebrica . Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

Testi: V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Categorie.
Complessi simpliciali astratti e geometrici.
Omologia singolare e simpliciale.
Coomologia.
Teoremi di dualità .
Omologia persistente e analisi dei dati.
Elementi di topologia differenziale.
Forme differenziali e coomologia di de Rham

Allen Hatcher: Algebraic topology Cambridge University press.
Vidit Nanda: Computational Algebraic Topology - Lecture notes
James R. Munkres : Topology Prentice Hall.
Raoul Bott, Loring W. Tu,Differential forms in algebraic topology.Springer, (1986).
Marco Abate, Francesca Tovena,Geometria Differenziale.Springer, (2011).

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

1. Teoria generale:
- Teoremi di esistenza e unicità (Lemmi di Gronwall; teorema di Picard, teorema di Peano).
- Intervalli di esistenza e soluzioni massimali.
- Dipendenza da dati iniziali e parametri.

2. Analisi qualitativa di alcune semplici classi di EDO. Spazio delle fasi.

3. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e teorema della forma normale di Jordan.

4. Sistemi lineari a coefficienti variabili. Spazi di soluzione. Il wronskiano.

5. Sistemi Hamiltoniani e meccanica celeste (introduzione)

6. Soluzioni periodiche e serie di Fourier.



10. Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine.

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems , Graduate Studies in Mathematics Volume 140, American Mathematical Society, 2011

Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti, Differential Equations. A first course on ODE and a brief introduction to PDE
Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110652864

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Teoria delle varieta` algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e variet`di Veronese e di Segre,.
Prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varieta` algebriche.

Divisori, sistemi lineari e morfismi di variet` proiettive.
Complementi di algebra commutativa.

I. Shafarevich. Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso. Introduzione alla geometria algebrica . Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure, osservabili e relazione di indeterminazione. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Problemi unidimensionali. Parità. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

ITALIANO

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Zanichelli

§I. Teoria relativistica dei campi

Il gruppo di Poincaré. Simmetrie globali e simmetrie locali. Primo e secondo teorema di Noether e leggi di conservazione. I tensori canonici energia-impulso e momento angolare. Improvements. Argomento di Belinfante e tensore energia-impulso simmetrico. Simmetrie locali e grandezze conservate.

§II. La gravità come teoria di campo relativistica

Particelle e campi in Relatività Speciale. Rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincaré: metodo delle rappresentazioni indotte. Particelle a massa nulla: ISO(D-2) gruppo di stabilità e invarianza di gauge. Ricostruzione della Relatività Generale. Lagrangiana di Fierz-Pauli. Metodo di Nöther e costruzione perturbativa dei vertici. Costruzione di Nöther della lagrangiana di Yang-Mills. Il vertice cubico gravitazionale trasverso e traceless. Principio di Equivalenza di Weinberg dall'invarianza relativistica della matrice S. Spin e segno delle forze statiche.

§III. Elementi di geometria differenziale

Spazi topologici. Varietà. Diffeomorfismi. Spazi tangenti e vettori. Basi coordinate. Operatori derivativi su varietà. Connessione di Levi-Civita. Torsione. Forme differenziali: definizione, prodotto esterno, derivate ​​interna ed esterna duale di Hodge. Derivata di Lie e formula di Cartan. Teoria di Yang-Mills nel linguaggio delle forme. Tensore di Weyl. Tensori di Riemann e Weyl in varie dimensioni: conteggio delle componenti per irreps di GL(D). Trasformazioni conformi del tensore metrico. Spazi conformemente piatti. Campi scalari accoppiati in modo conforme.

§IV. Formulazione di Cartan-Weyl e accoppiamento minimale di fermioni alla gravità

Sistemi inerziali locali. Il vielbein. Trasformazioni di Lorentz locali. La connessione di spin. Il postulato del vielbein. Vincolo di torsione e formulazione del secondo ordine. Contorsione. Curvatura di Lorentz. Gravità come teoria di gauge dell'algebra di Poincaré. Connessione sull'algebra di Poincaré. Trasformazioni di Poincaré locali. Torsione e curvatura sull'algebra di Poincaré. Formulazione del primo ordine e azione di Cartan-Weyl. Relazione tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi. Spinori su varietà curve. Materia fermionica minimamente accoppiata. Lagrangiana di Dirac.

§V. Spazi massimamente simmetrici

Spazi omogenei e isotropi. Caratterizzazione di spazi massimamente simmetrici: costante di curvatura e segnatura. MSS come soluzioni di vuoto delle equazioni di Einstein con costante cosmologica. Costruzione da immersione in spazi pseudolorentziani in dimensione D+1: metrica e coefficienti di Christoffel.

§ VI. Il buco nero di Schwarzschild

Spazi a simmetria sferica. La soluzione di Schwarzschild. Il teorema di Birkhoff. Singolarità, definizioni e criteri: singolarità di curvatura e incompletezza geodetica. Caduta libera verso l'orizzonte. Le coordinate della tartaruga. Estensione di uno spazio-tempo. Coordinate di Eddington-Finkelstein. Orizzonte degli eventi, buchi neri e buchi bianchi. Coordinate di Kruskal-Szekeres. Estensione massimale della soluzione di Schwarzschild. Diagramma di Kruskal e buchi neri eterni. (A)dS-Schwarzschild.

§ VII. Buchi neri più generali

Diagrammi conformi. Orizzonti degli eventi. Buchi neri di Reissner-Nordström e di Kerr. Termodinamica dei buchi neri.

§ VII. Energia gravitazionale

Grandezze conservate nelle teorie di gauge: l'esempio della teoria di Yang-Mills. Conservazione covariante e conservazione ordinaria. Equazioni di Einstein-Hilbert per metriche asintoticamente piatte. Il tensore energia-impulso gravitazionale. Il superpotenziale. Energia e quantità di moto nella formulazione ADM. Esempio: energia ADM della soluzione di Schwarzschild. Il teorema dell'energia positiva (senza dimostrazione). Background generico con vettori di Killing. Radiazione di quadrupolo.

§VIII. Simmetrie asintotiche

Nozione generale di gruppo di simmetria asintotica. L'esempio della teoria di Maxwell nello spazio piatto. Formalismo dello spazio delle fasi covariante. Spaziotempo asintoticamente piatto e supertraslazioni di Bondi-van der Burg-Metzner-Sachs. Applicazioni: teoremi soffici ed effetti memoria.

Nota: alcuni argomenti possono essere assegnati come problemi, come alternativa all'esame orale

-Carroll S, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley 2014/Cambridge University Press, 2019)
-Wald R, General Relativity (The University of Chicago Press, 1984)
-Weinberg S, Gravitation and Cosmology - principles and applications of the general theory of relativity, (John Wiley \& Sons, 1972)

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Appunti del docente - Slide del corso a cura del docente

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Ottimizzazione di modelli. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting. Bagging.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Analisi delle componenti principali.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, e TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

La matematica nella scuola secondaria: programmi, nodi concettuali e nodi critici; la matematica dei matematici e la matematica per il cittadino.
Dall'esercizio al problem solving. Teorie didattiche e didatti. Guido e Emma Castelnuovo. Croce, Gentile e la matematica. Metodologie didattiche.
Legislazione scolastica.

Battaglini Frank, Di Martino, Natalini, Rosolini "Didattica della matematica", Mondadori Università

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

Testi: V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Categorie.
Complessi simpliciali astratti e geometrici.
Omologia singolare e simpliciale.
Coomologia.
Teoremi di dualità .
Omologia persistente e analisi dei dati.
Elementi di topologia differenziale.
Forme differenziali e coomologia di de Rham

Allen Hatcher: Algebraic topology Cambridge University press.
Vidit Nanda: Computational Algebraic Topology - Lecture notes
James R. Munkres : Topology Prentice Hall.
Raoul Bott, Loring W. Tu,Differential forms in algebraic topology.Springer, (1986).
Marco Abate, Francesca Tovena,Geometria Differenziale.Springer, (2011).

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

1. Teoria generale:
- Teoremi di esistenza e unicità (Lemmi di Gronwall; teorema di Picard, teorema di Peano).
- Intervalli di esistenza e soluzioni massimali.
- Dipendenza da dati iniziali e parametri.

2. Analisi qualitativa di alcune semplici classi di EDO. Spazio delle fasi.

3. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e teorema della forma normale di Jordan.

4. Sistemi lineari a coefficienti variabili. Spazi di soluzione. Il wronskiano.

5. Sistemi Hamiltoniani e meccanica celeste (introduzione)

6. Soluzioni periodiche e serie di Fourier.



10. Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine.

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems , Graduate Studies in Mathematics Volume 140, American Mathematical Society, 2011

Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti, Differential Equations. A first course on ODE and a brief introduction to PDE
Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110652864

Grafi: definizioni di base. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

I testi adottati saranno in lingua inglese. Vedere sotto.

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

Richiami sulle proprietà elementari dei gruppi. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi di permutazioni e semplicità dei gruppi alterni. Azioni di gruppi. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati, gruppi liberi, gruppi nilpotenti e gruppi risolubili. Trattandosi di un corso avanzato si possono anche inserire altri argomenti su richesta della classe.

A. Machì, Gruppi. Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, SPRINGER VERLAG (2007).
M. Artin, Algebra, BOLLATI BORINGHIERI (1997).

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

Sistemi dinamici lineari. Oscillatore armonico forzato con o senza
attrito. Teoremi di stabilità. Risonanza parametrica. Catena di
oscillatori armonici accoppiati: limite del continuo e equazioni della
corda vibrante. Diffusione elastica classica. Integrali primi nascosti
nel problema dei due corpi e nel problema dell'oscillatore armonico
tridimensionale.

V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori
Riuniti, Roma, 1979 G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P.
Boringhieri, Torino, 1986 G. Gentile, Introduzione ai sistemi
dinamici, 1 (Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e
alcune applicazioni) e
2 (Meccanica lagrangiana e hamiltoniana) L.D. Landau, E.M. Lifshitz,
Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

Uso di programmi didattici nell'insegnamento della matematica: i software GeoGebra e Mathematica.
Comandi per il calcolo simbolico e numerico, la visualizzazione di grafici, curve e superfici e la loro animazione al variare di parametri.
Esempi di problemi: proprietà dei triangoli nella geometria euclidea ed esempi di geometrie non euclidee, approssimazione di pi greco e di altri numeri irrazionali, soluzioni di equazioni e disequazioni, soluzioni di sistemi, determinazione e visualizzazione di particolari luoghi geometrici, derivata di una funzione, calcolo approssimato di aree.

Dispense del docente su un elenco di problemi da visualizzare e risolvere (simulando un laboratorio scolastico) con l'aiuto del software Mathematica o GeoGebra.

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Grafi: definizioni di base. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

I testi adottati saranno in lingua inglese. Vedere sotto.

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dispense del docente

PROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Piattaforma Moodle e-Learning del Dipartimento con materiale supplementare

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Argomenti Parte A

• Coordinate e Telescopi
• Elementi di Spettroscopia
• Stelle ed Evoluzione Stellare • Galassie
• Nuclei Galattici Attivi

Programma A

- Panoramica generale
- Coordinate celesti (1.3)
- Telescopi e potere risolutivo (6.1)
- Distanza di parallasse (3.1)
- Flusso, luminosità, magnitudini apparenti ed assolute, colori (3.2, 3.3, 3.6)
- Il corpo nero (3.4, 3.5)
- Diagramma di Hertzsprung-Russel (8.2)
- Ammassi aperti e globulari: posizione, popolazioni stellari e diagramma HR (13.3)
- Nane bianche, Novae e SuperNovae (cenni in 15 e 16)
- La classificazione delle galassie (24.1)
- La curva di rotazione delle galassie e la materia oscura (25.3)
- Il centro della Galassia ed il suo Black Hole (25.4)
- Legge di Hubble ed espansione dell’Universo (27.2)
- Probabilità di collisione tra stelle e tra galassie (dispense)
- Buchi Neri: cenni di Relatività Generale (cenni nel 17)
- Nuclei Galattici Attivi (28.1, 28.2, 28.3)

Argomenti Parte B

• Struttura ed evoluzione stellare
• Elementi di Spettroscopia
• Distanze ed espansione dell’Universo • Galassie
• GRB e onde gravitazionali

Programma B

- Dischi di Accrescimento ed emissione X nei Nuclei Galattici Attivi (28.2)
- Stelle di Neutroni e Pulsars (cenni in 16.6, 16.7)
- Gamma Ray Bursts (dispense)
- Onde Gravitazionali (dispense)
- Spettroscopia: eq. di Boltzmann-eccitazione e di Saha-ionizzazione (8.1)
- Spettroscopia: misure di velocità, temperatura e densità (8.5)
- Eq. di struttura delle stelle, tempo e instabilità di Kelvin-Helmholtz (11.1-4)
- Le reazioni nucleari dell’idrogeno (11.3)
- Massa di Jeans del collasso gravitazionale, tempo di free-fall e Initial Mass Function (12.2, 12.3)
- La Via Lattea (25.1, 25.2)
- La metallicità (25.2)
- Transito di Venere e misura della distanza Terra-Sole (dispense)
- Scala delle distanze (27.1)
- Legge di Hubble, espansione dell’Universo (27.2)
- Gruppo Locale, Ammassi di Galassie, Struttura su Larga Scala dell’Universo (27.3)
- Il Big Bang e la radiazione di fondo (brevi cenni in 29.2 e dispense)


Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics II ed.- B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley” (copie delle edizioni precedenti sono disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo). Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

La copia delle dispense lezioni può essere scaricata dal sito web del corso.

Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics, II ed. - B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley ” (copie disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo. Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

1. I temi della logica
2. Logica classica: proposizioni, dimostrazioni
3. Logica classica: connettivi
4. Logica classica: tipi, variabili, quantificatori
5. Logica classica del primo ordine
6. Classi e insiemi
7. Codificazione, digitalizzazione, algebra di Boole
8. Macchina di Turing
9. Assiomatizzazione e formalizzazione della logica classica del primo ordine
10. La logica e le altre discipline

V. Michele Abrusci, LOGICA - Lezioni di primo livello, Quarta edizione, Wolters Kluwer, 2018

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

Richiami sulle proprietà elementari dei gruppi. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi di permutazioni e semplicità dei gruppi alterni. Azioni di gruppi. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati, gruppi liberi, gruppi nilpotenti e gruppi risolubili. Trattandosi di un corso avanzato si possono anche inserire altri argomenti su richesta della classe.

A. Machì, Gruppi. Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, SPRINGER VERLAG (2007).
M. Artin, Algebra, BOLLATI BORINGHIERI (1997).

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

Dispense a cura del docente

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Teoria delle varieta` algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e variet`di Veronese e di Segre,.
Prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varieta` algebriche.

Divisori, sistemi lineari e morfismi di variet` proiettive.
Complementi di algebra commutativa.

I. Shafarevich. Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso. Introduzione alla geometria algebrica . Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

Testi: V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Categorie.
Complessi simpliciali astratti e geometrici.
Omologia singolare e simpliciale.
Coomologia.
Teoremi di dualità .
Omologia persistente e analisi dei dati.
Elementi di topologia differenziale.
Forme differenziali e coomologia di de Rham

Allen Hatcher: Algebraic topology Cambridge University press.
Vidit Nanda: Computational Algebraic Topology - Lecture notes
James R. Munkres : Topology Prentice Hall.
Raoul Bott, Loring W. Tu,Differential forms in algebraic topology.Springer, (1986).
Marco Abate, Francesca Tovena,Geometria Differenziale.Springer, (2011).

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

1. Teoria generale:
- Teoremi di esistenza e unicità (Lemmi di Gronwall; teorema di Picard, teorema di Peano).
- Intervalli di esistenza e soluzioni massimali.
- Dipendenza da dati iniziali e parametri.

2. Analisi qualitativa di alcune semplici classi di EDO. Spazio delle fasi.

3. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e teorema della forma normale di Jordan.

4. Sistemi lineari a coefficienti variabili. Spazi di soluzione. Il wronskiano.

5. Sistemi Hamiltoniani e meccanica celeste (introduzione)

6. Soluzioni periodiche e serie di Fourier.



10. Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine.

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems , Graduate Studies in Mathematics Volume 140, American Mathematical Society, 2011

Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti, Differential Equations. A first course on ODE and a brief introduction to PDE
Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110652864

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Anelli e ideali, ideali massimali e ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson, spettro di un anello. Moduli, moduli finitamente generati e Lemma di Nakayama, successioni esatte, prodotto tensoriale, restrizione ed estensione degli scalari. Anelli e moduli di frazioni, localizzazione. Decomposizione primaria. Dipendenza integrale e valutazioni. Condizioni sulle catene. Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert, Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Cenni di teoria della dimensione.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1996.
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.
A. Gathmann, Commutative Algebra, Lecture notes.

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Teoria delle varieta` algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e variet`di Veronese e di Segre,.
Prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varieta` algebriche.

Divisori, sistemi lineari e morfismi di variet` proiettive.
Complementi di algebra commutativa.

I. Shafarevich. Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso. Introduzione alla geometria algebrica . Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure, osservabili e relazione di indeterminazione. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Problemi unidimensionali. Parità. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

ITALIANO

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Zanichelli

§I. Teoria relativistica dei campi

Il gruppo di Poincaré. Simmetrie globali e simmetrie locali. Primo e secondo teorema di Noether e leggi di conservazione. I tensori canonici energia-impulso e momento angolare. Improvements. Argomento di Belinfante e tensore energia-impulso simmetrico. Simmetrie locali e grandezze conservate.

§II. La gravità come teoria di campo relativistica

Particelle e campi in Relatività Speciale. Rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincaré: metodo delle rappresentazioni indotte. Particelle a massa nulla: ISO(D-2) gruppo di stabilità e invarianza di gauge. Ricostruzione della Relatività Generale. Lagrangiana di Fierz-Pauli. Metodo di Nöther e costruzione perturbativa dei vertici. Costruzione di Nöther della lagrangiana di Yang-Mills. Il vertice cubico gravitazionale trasverso e traceless. Principio di Equivalenza di Weinberg dall'invarianza relativistica della matrice S. Spin e segno delle forze statiche.

§III. Elementi di geometria differenziale

Spazi topologici. Varietà. Diffeomorfismi. Spazi tangenti e vettori. Basi coordinate. Operatori derivativi su varietà. Connessione di Levi-Civita. Torsione. Forme differenziali: definizione, prodotto esterno, derivate ​​interna ed esterna duale di Hodge. Derivata di Lie e formula di Cartan. Teoria di Yang-Mills nel linguaggio delle forme. Tensore di Weyl. Tensori di Riemann e Weyl in varie dimensioni: conteggio delle componenti per irreps di GL(D). Trasformazioni conformi del tensore metrico. Spazi conformemente piatti. Campi scalari accoppiati in modo conforme.

§IV. Formulazione di Cartan-Weyl e accoppiamento minimale di fermioni alla gravità

Sistemi inerziali locali. Il vielbein. Trasformazioni di Lorentz locali. La connessione di spin. Il postulato del vielbein. Vincolo di torsione e formulazione del secondo ordine. Contorsione. Curvatura di Lorentz. Gravità come teoria di gauge dell'algebra di Poincaré. Connessione sull'algebra di Poincaré. Trasformazioni di Poincaré locali. Torsione e curvatura sull'algebra di Poincaré. Formulazione del primo ordine e azione di Cartan-Weyl. Relazione tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi. Spinori su varietà curve. Materia fermionica minimamente accoppiata. Lagrangiana di Dirac.

§V. Spazi massimamente simmetrici

Spazi omogenei e isotropi. Caratterizzazione di spazi massimamente simmetrici: costante di curvatura e segnatura. MSS come soluzioni di vuoto delle equazioni di Einstein con costante cosmologica. Costruzione da immersione in spazi pseudolorentziani in dimensione D+1: metrica e coefficienti di Christoffel.

§ VI. Il buco nero di Schwarzschild

Spazi a simmetria sferica. La soluzione di Schwarzschild. Il teorema di Birkhoff. Singolarità, definizioni e criteri: singolarità di curvatura e incompletezza geodetica. Caduta libera verso l'orizzonte. Le coordinate della tartaruga. Estensione di uno spazio-tempo. Coordinate di Eddington-Finkelstein. Orizzonte degli eventi, buchi neri e buchi bianchi. Coordinate di Kruskal-Szekeres. Estensione massimale della soluzione di Schwarzschild. Diagramma di Kruskal e buchi neri eterni. (A)dS-Schwarzschild.

§ VII. Buchi neri più generali

Diagrammi conformi. Orizzonti degli eventi. Buchi neri di Reissner-Nordström e di Kerr. Termodinamica dei buchi neri.

§ VII. Energia gravitazionale

Grandezze conservate nelle teorie di gauge: l'esempio della teoria di Yang-Mills. Conservazione covariante e conservazione ordinaria. Equazioni di Einstein-Hilbert per metriche asintoticamente piatte. Il tensore energia-impulso gravitazionale. Il superpotenziale. Energia e quantità di moto nella formulazione ADM. Esempio: energia ADM della soluzione di Schwarzschild. Il teorema dell'energia positiva (senza dimostrazione). Background generico con vettori di Killing. Radiazione di quadrupolo.

§VIII. Simmetrie asintotiche

Nozione generale di gruppo di simmetria asintotica. L'esempio della teoria di Maxwell nello spazio piatto. Formalismo dello spazio delle fasi covariante. Spaziotempo asintoticamente piatto e supertraslazioni di Bondi-van der Burg-Metzner-Sachs. Applicazioni: teoremi soffici ed effetti memoria.

Nota: alcuni argomenti possono essere assegnati come problemi, come alternativa all'esame orale

-Carroll S, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley 2014/Cambridge University Press, 2019)
-Wald R, General Relativity (The University of Chicago Press, 1984)
-Weinberg S, Gravitation and Cosmology - principles and applications of the general theory of relativity, (John Wiley \& Sons, 1972)

Uso di programmi didattici nell'insegnamento della matematica: i software GeoGebra e Mathematica.
Comandi per il calcolo simbolico e numerico, la visualizzazione di grafici, curve e superfici e la loro animazione al variare di parametri.
Esempi di problemi: proprietà dei triangoli nella geometria euclidea ed esempi di geometrie non euclidee, approssimazione di pi greco e di altri numeri irrazionali, soluzioni di equazioni e disequazioni, soluzioni di sistemi, determinazione e visualizzazione di particolari luoghi geometrici, derivata di una funzione, calcolo approssimato di aree.

Dispense del docente su un elenco di problemi da visualizzare e risolvere (simulando un laboratorio scolastico) con l'aiuto del software Mathematica o GeoGebra.

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Appunti del docente - Slide del corso a cura del docente

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Ottimizzazione di modelli. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting. Bagging.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Analisi delle componenti principali.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, e TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

La matematica nella scuola secondaria: programmi, nodi concettuali e nodi critici; la matematica dei matematici e la matematica per il cittadino.
Dall'esercizio al problem solving. Teorie didattiche e didatti. Guido e Emma Castelnuovo. Croce, Gentile e la matematica. Metodologie didattiche.
Legislazione scolastica.

Battaglini Frank, Di Martino, Natalini, Rosolini "Didattica della matematica", Mondadori Università

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

Testi: V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Categorie.
Complessi simpliciali astratti e geometrici.
Omologia singolare e simpliciale.
Coomologia.
Teoremi di dualità .
Omologia persistente e analisi dei dati.
Elementi di topologia differenziale.
Forme differenziali e coomologia di de Rham

Allen Hatcher: Algebraic topology Cambridge University press.
Vidit Nanda: Computational Algebraic Topology - Lecture notes
James R. Munkres : Topology Prentice Hall.
Raoul Bott, Loring W. Tu,Differential forms in algebraic topology.Springer, (1986).
Marco Abate, Francesca Tovena,Geometria Differenziale.Springer, (2011).

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

1. Teoria generale:
- Teoremi di esistenza e unicità (Lemmi di Gronwall; teorema di Picard, teorema di Peano).
- Intervalli di esistenza e soluzioni massimali.
- Dipendenza da dati iniziali e parametri.

2. Analisi qualitativa di alcune semplici classi di EDO. Spazio delle fasi.

3. Sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e teorema della forma normale di Jordan.

4. Sistemi lineari a coefficienti variabili. Spazi di soluzione. Il wronskiano.

5. Sistemi Hamiltoniani e meccanica celeste (introduzione)

6. Soluzioni periodiche e serie di Fourier.



10. Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine.

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems , Graduate Studies in Mathematics Volume 140, American Mathematical Society, 2011

Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti, Differential Equations. A first course on ODE and a brief introduction to PDE
Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110652864

Grafi: definizioni di base. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

I testi adottati saranno in lingua inglese. Vedere sotto.

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Richiami sulle proprietà elementari dei gruppi. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi di permutazioni e semplicità dei gruppi alterni. Azioni di gruppi. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati, gruppi liberi, gruppi nilpotenti e gruppi risolubili. Trattandosi di un corso avanzato si possono anche inserire altri argomenti su richesta della classe.

A. Machì, Gruppi. Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, SPRINGER VERLAG (2007).
M. Artin, Algebra, BOLLATI BORINGHIERI (1997).

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

Uso di programmi didattici nell'insegnamento della matematica: i software GeoGebra e Mathematica.
Comandi per il calcolo simbolico e numerico, la visualizzazione di grafici, curve e superfici e la loro animazione al variare di parametri.
Esempi di problemi: proprietà dei triangoli nella geometria euclidea ed esempi di geometrie non euclidee, approssimazione di pi greco e di altri numeri irrazionali, soluzioni di equazioni e disequazioni, soluzioni di sistemi, determinazione e visualizzazione di particolari luoghi geometrici, derivata di una funzione, calcolo approssimato di aree.

Dispense del docente su un elenco di problemi da visualizzare e risolvere (simulando un laboratorio scolastico) con l'aiuto del software Mathematica o GeoGebra.

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Grafi: definizioni di base. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

I testi adottati saranno in lingua inglese. Vedere sotto.

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dispense del docente

PROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Piattaforma Moodle e-Learning del Dipartimento con materiale supplementare

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Argomenti Parte A

• Coordinate e Telescopi
• Elementi di Spettroscopia
• Stelle ed Evoluzione Stellare • Galassie
• Nuclei Galattici Attivi

Programma A

- Panoramica generale
- Coordinate celesti (1.3)
- Telescopi e potere risolutivo (6.1)
- Distanza di parallasse (3.1)
- Flusso, luminosità, magnitudini apparenti ed assolute, colori (3.2, 3.3, 3.6)
- Il corpo nero (3.4, 3.5)
- Diagramma di Hertzsprung-Russel (8.2)
- Ammassi aperti e globulari: posizione, popolazioni stellari e diagramma HR (13.3)
- Nane bianche, Novae e SuperNovae (cenni in 15 e 16)
- La classificazione delle galassie (24.1)
- La curva di rotazione delle galassie e la materia oscura (25.3)
- Il centro della Galassia ed il suo Black Hole (25.4)
- Legge di Hubble ed espansione dell’Universo (27.2)
- Probabilità di collisione tra stelle e tra galassie (dispense)
- Buchi Neri: cenni di Relatività Generale (cenni nel 17)
- Nuclei Galattici Attivi (28.1, 28.2, 28.3)

Argomenti Parte B

• Struttura ed evoluzione stellare
• Elementi di Spettroscopia
• Distanze ed espansione dell’Universo • Galassie
• GRB e onde gravitazionali

Programma B

- Dischi di Accrescimento ed emissione X nei Nuclei Galattici Attivi (28.2)
- Stelle di Neutroni e Pulsars (cenni in 16.6, 16.7)
- Gamma Ray Bursts (dispense)
- Onde Gravitazionali (dispense)
- Spettroscopia: eq. di Boltzmann-eccitazione e di Saha-ionizzazione (8.1)
- Spettroscopia: misure di velocità, temperatura e densità (8.5)
- Eq. di struttura delle stelle, tempo e instabilità di Kelvin-Helmholtz (11.1-4)
- Le reazioni nucleari dell’idrogeno (11.3)
- Massa di Jeans del collasso gravitazionale, tempo di free-fall e Initial Mass Function (12.2, 12.3)
- La Via Lattea (25.1, 25.2)
- La metallicità (25.2)
- Transito di Venere e misura della distanza Terra-Sole (dispense)
- Scala delle distanze (27.1)
- Legge di Hubble, espansione dell’Universo (27.2)
- Gruppo Locale, Ammassi di Galassie, Struttura su Larga Scala dell’Universo (27.3)
- Il Big Bang e la radiazione di fondo (brevi cenni in 29.2 e dispense)


Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics II ed.- B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley” (copie delle edizioni precedenti sono disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo). Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

La copia delle dispense lezioni può essere scaricata dal sito web del corso.

Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics, II ed. - B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley ” (copie disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo. Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

1. I temi della logica
2. Logica classica: proposizioni, dimostrazioni
3. Logica classica: connettivi
4. Logica classica: tipi, variabili, quantificatori
5. Logica classica del primo ordine
6. Classi e insiemi
7. Codificazione, digitalizzazione, algebra di Boole
8. Macchina di Turing
9. Assiomatizzazione e formalizzazione della logica classica del primo ordine
10. La logica e le altre discipline

V. Michele Abrusci, LOGICA - Lezioni di primo livello, Quarta edizione, Wolters Kluwer, 2018

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Cenni sulla teoria dei grafi: grafo, grafo orientato, albero, albero libero e con radice, connessione, connessione forte, aciclicità; isomorfismi tra grafi, planarità, Teorema di Kuratowski, formula di Eulero; colorazione di grafi, cammini euleriani, circuiti hamiltoniani.
Richiami sulla teoria degli algoritmi e sulla complessità computazionale: classi di complessità, la classe dei problemi NP, NP-completi, NP-hard. Problemi di decisione, di ricerca, di enumerazione e di ottimizzazione; problemi di programmazione non lineare, di programmazione convessa, di programmazione lineare e di programmazione lineare intera; problemi di ottimizzazione combinatoria. Richiami sugli elementi di calcolo combinatorio.
Problemi di ottimizzazione su grafi: visita di grafi, verifica di proprietà fondamentali, connessione, presenza di cicli, componenti fortemente connesse, ordinamento topologico di un grafo. Albero ricoprente di costo minimo (algoritmi di Kruskal e di Prim). Cammini di costo minimo (algoritmi di Dijkstra e di Bellman-Ford, tecnica della programmazione dinamica, algoritmo di Floyd-Warshall, calcolo della chiusura transitiva di un grafo). Reti di flusso e calcolo del massimo flusso su una rete, teorema del flusso massimo e del taglio minimo, algoritmo di Ford-Fulkerson, algoritmo di Edmonds-Karp, algoritmi di preflusso, algoritmi "push-relabel".
Problemi di partizionamento di grafi, alberi e cammini in componenti connesse, funzioni obiettivo e tecniche algoritmiche.
Problema del matrimonio stabile, generalizzazioni e applicazioni del problema, algoritmo di Gale e Shapley.
Codici di Huffman.
Laboratorio di programmazione per l'implementazione degli algoritmi in linguaggio Python e con l'ausilio del software Mathematica.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, "Introduzione agli algoritmi", McGraw–Hill (Terza edizione)

Dispense e altro materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sul sito web del corso (http://www.mat.uniroma3.it/users/liverani/IN440) e sulla piattaforma Microsoft Teams

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

Richiami sulle proprietà elementari dei gruppi. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi di permutazioni e semplicità dei gruppi alterni. Azioni di gruppi. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati, gruppi liberi, gruppi nilpotenti e gruppi risolubili. Trattandosi di un corso avanzato si possono anche inserire altri argomenti su richesta della classe.

A. Machì, Gruppi. Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, SPRINGER VERLAG (2007).
M. Artin, Algebra, BOLLATI BORINGHIERI (1997).

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

Dispense a cura del docente

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Periodicita' della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'.
Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa.
Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
Esempi e proprieta' di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprieta'. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.
E. Freitag, R. Busam: Complex Analysis, Springer.

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate. Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di
unità di misura. Dimensioni fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale. Strumenti
di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti di misura: Portata,
Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione degli strumenti.
Incertezza nella misurazioni. Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo A e
Tipo B. Analisi grafica dei dati Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi
preliminare dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi. Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni
indirette. Propagazione delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali
correlate. Definizione di coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per
grandezze correlate


Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento,
–Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa, studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore resistivo
– Studio della diffrazione
- verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

1. Teoria atomica e struttura dell’atomo. Atomi, molecole, moli; peso atomico e peso molecolare. Atomo di Rutherford, atomo di Bohr, teoria quantistica, numeri quantici e livelli energetici; atomi polielettronici, sistema periodico.

2. Legame chimico. Legame ionico. Legame covalente: Legame σ e legame π. Molecole poliatomiche. Struttura molecolare. Ibridizzazione e risonanza. Orbitale molecolare. Legame metallico. Forze intermolecolari.

3. Nomenclatura. Ossidi, idrossidi, acidi, sali, ioni.

4. Reazioni Chimiche. Bilanciamento delle reazioni chimiche.

5. Stati di aggregazione. Stato gassoso e leggi dei gas.

6. Termodinamica. Materia, energia, calore. Primo e secondo principio. Entalpia, entropia, energia libera.

7. Stato solido: solidi ionici, molecolari, metallici, covalenti. Conduttori, semiconduttori, isolanti.

8. Liquidi ed amorfi. Cambiamenti di stato e diagrammi di stato.

9. Soluzioni. Concentrazione delle soluzioni. Proprietà colligative. Soluzioni di elettroliti.

10. Cinetica chimica. Velocità delle reazioni chimiche. Costante di velocità. Influenza della temperatura sulla velocità: equazione di Arrhenius. Catalizzatori.

11. Equilibrio chimico. Costante di equilibrio e costanti di velocità. Costante di equilibrio ed energia libera. Equilibri in fase gassosa ed eterogenea. Principio di Le Chatelier. Equazione di Van’t Hoff.

12. Equilibri in soluzione. Equilibri acido base: Acidi e basi, pH, costanti di dissociazione, acidi poliprotici, idrolisi, tamponi; titolazioni acido-base, indicatori.

13. Equilibri di precipitazione: solubilità e prodotto di solubilità, effetto dello ione a comune.

14. Elettrochimica. Pile, potenziali elettrodici, equazione di Nernst.

15. Laboratorio. Titolazioni acido-base e misure di pH.

Sugli argomenti svolti verranno effettuate nel corso delle lezioni esercitazioni numeriche.
Sono previste due esercitazioni di laboratorio che si svolgeranno nei locali del CeDiC (Via della Vasca Navale 79).

M. Schiavello, L. Palmisano “Fondamenti di Chimica”. EdiSES
P. Giannoccaro, S. Doronzo “Elementi di Stechiometria” EdiSES
Tavola periodica
Diapositive e dispense online

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

Testi: V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

Relazioni e funzioni
I numeri naturali
L'anello degli interi e i polinomi
Le classi di resto
Gruppi

G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Decibel-Zanichelli, (1996)

I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti, (2003)

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Parte I

Invito

Fisica fondamentale come teoria del moto. La rivoluzione del XX secolo: Meccanica Quantistica, Relatività Speciale e Generale, Teoria Quantistica dei Campi. La sfida della gravità quantistica.
Costanti fondamentali: h, c e G. Il cubo delle teorie.

Introduzione: lo stato della fisica alla fine del XIX secolo

Precessione del perielio di Mercurio. La scoperta della radioattività. Michelson e Morley e la velocità della luce. Radiazione di corpo nero. Effetto fotoelettrico. Diffusione Compton. Lunghezza d'onda Compton. De Broglie e le onde della materia. Davisson e Germer e diffrazione elettronica. Indizi negletti: equivalenza di massa inerziale e massa gravitazionale. Azione a distanza. Affinità tra forza gravitostaticha e forza elettrostatica.

Intermezzo matematico: Onde.

Parte II: Relatività Speciale

Sistemi di riferimento e osservatori. Relatività galileiana. Principi di meccanica newtoniana. Trasformazioni galileiane. Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche.
L'ipotesi dell'etere e l'esperimento di Michelson-Morley. Costanza di c e principi di Relatività Speciale. Diagrammi spazio-temporali. Simultaneità. Boost di Lorentz. c come velocità massima di ogni segnale. Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi. L'esempio dei muoni atmosferici. Invarianza dell'intervallo spazio-temporale. Spazio di Minkowski. Intervalli temporali, nulli e spaziali. Tempo proprio. Struttura causale dello spazio di Minkowski. Composizione delle velocità. Effetti Doppler. Il paradosso dei gemelli. Il paradosso del garage. Dilatazione del tempo e effetti gravitazionali. Isometrie nello spazio di Minkowski: pseudo-ortogonalità e trasformazioni di Lorentz. Quadrivettori: velocità e accelerazione relativistiche. Dinamica relativistica: principio di azione. Energia, quantità di moto e conservazione del quadrimpulso. Relazione di dispersione. Particelle di massa nulla. Forza relativistica. Formulazione covariante dell'elettromagnetismo: tensore di Maxwell ed equazioni inomogenee. La forza di Lorentz. Equazioni di Maxwell omogenee: il potenziale vettore; invarianza di gauge e suo significato.

Parte III: Meccanica Quantistica

Spin e qubits. Esperimenti di Stern-Gerlach. Stati fisici. Stati di spin: base e normalizzazione. Fasi globali. Notazione di Dirac: bra e ket. Principi della MQ: stati, osservabili, misure, interpretazione probabilistica. Matrici di Pauli e osservabili di spin. Spettro dell'operatore di spin lungo una direzione arbitraria. Evoluzione temporale. Operatore U(t, t_0). Unitarietà e suo significato. Equazione di Schrödinger. Hamiltoniano. Evoluzione temporale dei valori medi. Meccanica classica e parentesi di Poisson. Leggi di conservazione. Spin in un campo magnetico. Osservabili compatibili e incompatibili. Il principio di indeterminazione. Sistemi di due qubits. Stati prodotto e stati entangled. Stati di singoletto e tripletto. Osservabili su sistemi composti. Stati puri e stati misti: la matrice densità. Entanglement e matrice di densità. Test dell'entanglement. Onde e particelle. Operatori di posizione e quantità di moto e loro autofunzioni. Cenni sulla quantizzazione canonica. Hamiltoniano delle particelle libere e suo spettro. Formulazione quantistica della seconda legge di Newton. L'oscillatore armonico. Operatori di creazione e annichilazione. Livelli energetici. Regioni classicamente proibite: l'effetto tunnel. Verso la meccanica quantistica relativistica.

Intermezzi matematici: Spazi vettoriali complessi. Prodotto scalare. Operatori hermitiani. Prodotti esterni e proiettori. Relazione di completezza. Operatori con spettro continuo.

-Susskind L and Friedman A, Meccanica quantistica -- Raffaello Cortina Editore 2015
-Susskind L and Friedman A, Relatività ristretta e teoria classica dei campi -- Raffaello Cortina Editore 2018

l corso si propone di introdurre gli studenti all'insegnamento della matematica nella scuola secondaria di primo e secondo grado, attraverso un approccio storico-epistemologico ai concetti di base della matematica elementare (aritmetica, geometria, algebra, probabilità, funzioni). In particolare verranno trattati gli argomenti: l'insegnamento della matematica e la sua evoluzione; sistemi numerici; gli assiomi e i postulati di Euclide; le geometrie non euclidee e localmente euclidee; le costruzioni geometriche con riga e compasso e le macchine matematiche; elementi di storia del calcolo infinitesimale. Cenni alle indicazioni nazionali.

GIORGIO ISRAEL, ANA MILLÁN GASCA, Pensare in matematica, Zanichelli, 2012.
ANA MILLÁN GASCA, All'inizio fu lo scriba, Mimesis, 2004
ENRICO GIUSTI, Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri, 2002

Grafi: definizioni di base. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

I testi adottati saranno in lingua inglese. Vedere sotto.

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Richiami sulle proprietà elementari dei gruppi. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi di permutazioni e semplicità dei gruppi alterni. Azioni di gruppi. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finitamente generati, gruppi liberi, gruppi nilpotenti e gruppi risolubili. Trattandosi di un corso avanzato si possono anche inserire altri argomenti su richesta della classe.

A. Machì, Gruppi. Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, SPRINGER VERLAG (2007).
M. Artin, Algebra, BOLLATI BORINGHIERI (1997).