Il linguaggio degli insiemi
-Insiemi ed elementi
-Logica proposizionale
-Sottoinsiemi, unione, intersezione e complementare
-Insieme delle parti e partizioni
-Prodotto cartesiano

Corrispondenze e relazioni
-Corrispondenze
-Relazioni d'ordine
-Relazioni di equivalenza

Funzioni
-Generalità sulle funzioni
-Funzioni composte
-Funzioni inverse
-Relazione nucleo e teorema di decomposizione

Numeri naturali e Cardinalità
-L'insieme dei numeri naturali e l'induzione
-La cardinalità di un insieme

L'anello dei numeri interi
-Costruzione dell'insieme dei numeri interi
-Generalità sugli anelli
-La divisione euclidea
-Il Teorema fondamentale dell'Aritmetica

Gli anelli delle classi di resto
-Definizione e prime proprietà
-Congruenze lineari e sistemi di congruenze lineari
-Morfismi
-Il piccolo Teorema di Fermat e il Teorema di Eulero

Il campo dei numeri razionali
-Costruzione dell'insieme dei numeri razionali
-La notazione posizionale dei numeri razionali

I polinomi
-Generalità sui polinomi
-Radici, divisione e fattorizzazione dei polinomi
-Polinomi a coefficienti interi e razionali

I campi dei numeri reali e dei numeri complessi
-Cenni sulla costruzione dei reali
-La scrittura posizionale dei numeri reali
-Definizione del campo dei complessi
-Polinomi a coefficienti reali e complessi
-Numeri algebrici e numeri trascendenti
-Forma polare o trigonometrica dei numeri complessi
-Radici dell'unità e polinomi ciclotomici

Maggiori informazioni su: https://sites.google.com/site/al11020192020/

Dispense fornite dal docente.

G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Decibel-Zanichelli, (1996)

M. Fontana - S. Gabelli: Insiemi, numeri e polinomi. Primo ciclo di lezioni del corso di Algebra con esercizi svolti. CISU, (1989)

Maggiori informazioni su: https://sites.google.com/site/al11020192020/

PARTE 1: Il sistema dei numeri reali e suoi principali sottoinsiemi

• Insiemi, relazioni e funzioni.
• Assiomi dei numeri reali.
• Proprietà elementari dei campi ordinati.
• Insiemi e funzioni simmetriche. Valore assoluto e distanza.
• I numeri naturali . Sottrazione in N; principio del buon ordinamento e sue conseguenze.
• Successioni e teorema di ricorsione (dimostrazione facoltativa). Definizione ricorsiva di somme, prodotti e potenze. 
• Potenze ennesime, somma geometrica e formula per an- bn . Binomio di Newton.
• Insiemi finiti e infiniti.
• Numeri razionali. I razionali sono numerabili. Lemma di Gauss. 
• Estremo superiore e inferiore. Conseguenze elementari dell'assioma di completezza sui numeri interi. 
• Radici ennesime. Potenze con esponente razionale.
• Funzioni monotone.

PARTE 2: Teoria dei limiti
• Il sistema reale esteso R*. Intervalli e intorni. 
• Punti interni, isolati, di accumulazione. Definizione generale di limite. Unicità del limite.
• Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto.
• Limiti laterali e funzioni monotone. 
• Algebra dei limiti finiti.  Algebra dei limiti estesa.
• Alcuni limiti notevoli di successioni.
• Il numero di Nepero.
• Teorema ponte e caratterizzazione del sup/inf tramite successioni.
• Continuità:considerazioni generali; teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi.
• Classificazione delle discontinuità.
• Limiti per funzioni composte.
• Limiti per funzioni inverse. 
• Una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo ha inversa continua.
• Logaritmi.
• Limiti notevoli (esponenziali e logaritmi).

PARTE 3: Serie

• Serie numeriche: Proprietà elementari delle serie. Criteri del confronto. 
• Cenni sull'espansione decimale.
• Criteri di convergenza per serie a termini positivi
• Criteri per serie a termini reali (Abel-Dirichlet, Leibniz). 
• Serie esponenziale. Irrazionalità di e. Velocità di divergenza della serie armonica.
• Proprietà delle funzioni trigonometriche (in particolare dimostrazione del teorema di addizione del coseno).
• Funzioni periodiche. Proprietà di monotonia delle funzioni trigonometriche.
• Funzioni trigonometriche inverse. 

Luigi Chierchia: Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R
McGraw-Hill Education Collana: Collana di istruzione scientifica
Data di Pubblicazione: giugno 2019
EAN: 9788838695438 ISBN: 8838695431
Pagine: XI-374 Formato: brossura
https://www.mheducation.it/9788838695438-italy-corso-di-analisi-prima-parte

Testi di esercizi:
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

Introduzione ai diversi aspetti dello studio dell'informatica; il concetto di algoritmo; il calcolatore; linguaggi di programmazione.
Modello di Von Neumann, modello della macchina di Turing. Rappresentazione delle informazioni su di un calcolatore. Cenni sui sistemi operativi e sul sistema operativo Unix/Linux.
Algoritmi e loro proprietà; i linguaggi per la formalizzazione di algoritmi: diagrammi di flusso e pseudo-codifica. Introduzione alla programmazione, linguaggi di programmazione di alto livello. Programmazione strutturata.
Linguaggio C: tipi di dato, operatori ed espressioni, strutture di controllo, array e puntatori, strutture, liste, allocazione dinamica della memoria, funzioni, funzioni ricorsive, le direttive del preprocessore, input e output.
Algoritmi di ordinamento; strutture dati complesse, heap, liste, alberi, grafi; algoritmi elementari su grafi, visita di grafi, cammini ottimi su grafi. Cenni sulla complessità computazionale degli algoritmi; cenni sulla calcolabilità: problemi trattabili, intrattabili, la classe P, NP, NP-complete.

Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Introduzione agli algoritmi e strutture dati", terza edizione, McGraw-Hill, 2010.
A. Bellini, A. Guidi, "Linguaggio C", quarta edizione, McGraw-Hill, 2009.
M. Liverani, "Programmare in C", seconda edizione, Esculapio, 2013.

Richiami di Campi: definizioni ed esempi, sottocampi ed estensione di campi, campi algebricamente chiusi.
Spazi vettoriali su un campo: definizione e prime proprieta'.
Esempi di spazi vettoriali: lo spazio vettoriale standard (o numerico), gli spazi numerici infiniti, lo spazio dei polinomi, lo spazio delle funzioni da un insieme ad un campo , lo spazio delle funzioni continue reali, estensione di campi come spazi vettoriali, lo spazio delle matrici a coefficienti in un campo.
Sottospazi vettoriali: definizione e caratterizzazione tramite la chiusura per addizione vettoriale e moltiplicazione scalare, l'intersezione e la somma di sottospazi. Esempi di sottospazi: il sistema lineare omogeneo associato ad una matrice e il suo insieme di soluzioni come sottospazio vettoriale.
Costruzioni di spazi vettoriali: prodotto diretto e somma diretta esterna di una collezione di spazi vettoriali, famiglie indipendenti di sottospazi, la somma diretta interna di una famiglia indipendente di sottospazi, la somma diretta interna e' isomorfa alla somma diretta esterna.
Combinazioni lineari di vettori: ridotte, vuote, banali, nulle. Il sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e sue proprieta'. Sottoinsiemi generanti. Sottoinsiemi linearmente indipendenti e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Basi e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Esempi di basi. Proposizione: dati due insiemi I⊆S con I linearmente indipendente e S generante, allora esiste una base B tale che I⊆B⊆S (dimostrazione solo nel caso S finito). Corollario: ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni insieme linearmente indipendente e' contenuto in una base, ogni insieme generante contiene una base.
Teorema dell'invarianza della cardinalita' delle basi (con dimostrazione solo nel caso di dimensione finita): due basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'. La dimensione di uno spazio vettoriale.
Teorema di classificazione degli spazi vettoriali: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
Esercizi: come passare da un sottospazio di F^n dato in forma cartesiana ad una sua forma parametrica e come trovare una sua base,
come passare da un sottospazio di F^nn dato in forma parametrica ad una sua forma cartesiana; come calcolare la somma e l'intersezione di due sottospazi di F^n; come mostrare che un sottoinsieme I⊆Fn e' linearmente indipendente e come estendere I ad una base; come mostrare che un sottoinsieme S⊆Fn e' generante e come estrarre una base.
Formula di Grassmann per la dimensione della somma e dell'intersezione di due sottospazi.
Applicazioni lineari (o omomorfismi lineari) tra spazi vettoriali: monomorfismi, epimorfisimi, isomorfismi, operatori lineari (o endormorfismi). Esempi: l'inclusione di un sottospazio, la proiezione di una somma diretta su un fattore, l'applicazione lineare associata ad una matrice.
Proprieta' algebriche delle applicazioni lineari: Hom(V,W) e' uno spazio vettoriale, la composizione ∘:Hom(V,W)×Hom(W,U)→Hom(V,U) e' associativa e bilineare, data un'applicazione lineare biettiva l'inverso e' un'applicazione lineare biettiva. Proposizione: un'applicazione lineare e' univocamente determinata dai suoi valori su una base del dominio. Il nucleo e l' immagine di un'applicazione lineare.
Ogni applicazione lineare da F^n a F^m e' della forma \Phi_A per una matrice A. Proposizione: il nucleo di Φ_A e' l'insieme delle soluzioni associate al sistema lineare omogeneo con matrice associata A, l'immagine di Φ_A e' lo span delle colonne di A.
La moltiplicazione di matrici e le sue proprieta': associativita', bilinearita', elemento neutro. Il rango di una matrice: il rango per colonne coincide con il rango per righe. Proposizione (criterio di invertibilita'): una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha rango massimale se e solo se puo' essere traformata nella matrice identita' tramite operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Metodo di calcolo dell' inversa di una matrice.
Il Teorema di rango-nullita'. Criterio di isomorfismo: un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo se e solo se e' suriettivo. Matrici elementari per righe e per colonne. Formula per la loro inversa. Lemma: effettuare operazioni elementari sulle righe (risp. sulle colonne) equivale a moltiplicare a sinistra (risp. a destra) per matrici elementari per righe (risp. per colonne). Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se e' prodotto di matrici elementari per righe o per colonne. Matrici equivalenti: definizione e caratterizzazione tramite operazioni elementari sulle righe e sulle colonne. Teorema di classificazione delle matrici equivalenti: due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni matrice e' equivalente ad una matrice in forma canonica.
La matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base del dominio e una base del codominio. Le matrici di cambiamento base. Proprieta' delle matrici associate alle applicazioni lineari: formula di composizione e formula di cambiamento base. Corollario: il rango di un'applicazione lineare e' uguale al rango di una qualsiasi matrice che la rappresenta.
Applicazioni lineari equivalenti: tre definizioni equivalenti. Teorema di classificazione delle applicazioni lineari equivalenti: due applicazioni lineari sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni applicazione si puo' scrivere, rispetto ad oppurtune basi ordinate del dominio e del codominio, in forma canonica.
Il quoziente di uno spazio vettoriale V rispetto ad un suo sottospazio: la proiezione canonica e la sua proprieta' universale. Il teorema di corrispondenza: esiste una biezione canonica tra i sottogruppi del quoziente e i sottogruppi dello spazio originario che contengono il sottospazio.
Teorema: ogni complementare di un sottospazio e' canonicamente isomorfo al quoziente per tale sottospazio. La codimensione di un sottospazio e la sua relazione con la dimensione.
I Teorema di isomorfismo e suoi Corollari: una dimostrazione alternativa del Teorema di rangi-nullita'; la fattorizzazione canonica di un'applicazione lineare come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'iniezione; i monomorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un isomorfismo e di un'iniezione; gli epimorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un quoziente e di un isomorfismo.
II e III Teorema di isomorfismo.
La trasposta di matrici e sue proprieta' algebriche rispetto alla composizione e all'inverso.
I funzionali lineari e le loro proprieta'. Lo spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale. Esempi. L'insieme duale di una base. Teorema: data una base di V, l'insieme duale e' linearmente indipendente ed e' una base (chiamata base duale) se V ha dimensione finita. Corollario: uno spazio vettoriale ha dimensione finita se e solo se e' isomorfo al suo spazio vettoriale duale (con dimostrazione solo dell'implicazione se).
Gli annullatori e loro proprieta' (con speciale enfasi al caso di dimensione finita): gli annullatori rovesciano le inclusioni e scambiano sottospazi e quozienti (e dunque scambiano dimensione e codimensione). Gli annullatori negli spazi vettoriali numerici: come calcolare l'annullatore di un sottospazio dato in forma parametrica o cartesiana.
L'applicazioni lineare duale di un'applicazione lineare. Proprieta': la duale dell'inversa e' l'inversa della duale, il duale di una composizione e' la composizione dei duali. Il nucleo (risp. l'immagine) dell'applicazione duale e' l'annullatore dell'immagine (risp. del nucleo). Matrice di un'applicazione lineare duale.
La similitudine di matrici e operatori lineari. Lemma: la similitudine di operatori lineari in termini di matrici associate.
Il determinante di una matrice quadrata: formula di Leibniz. Esempi: matrici di ordine 2 e 3; matrici triangolari inferiori o superiori. Lemma: la trasposizione non cambia il determinante. Teorema: il determinante e' multilineare e alterno come funzione sulle righe (risp. colonne). Corollario: il comportamento del determinante rispetto all'eliminazione di Gauss-Jordan per righe (risp. colonne). Corollario: il determinante e' l'unica funzione dall'insieme della matrici quadrati di ordine n al campo che e' multilineare e alterno sulle righe (risp. colonne) e che vale 1 sulla matrice identita'. Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Il teorema di moltiplicativita' del determinante. Corollari: il determinante dell'inversa e' l'inversa del determinante; matrici simili hanno lo stesso determinante. Teorema (senza dimostrazione): calcolo del determinante usando sviluppo di Leibniz lungo una riga o una colonna. Corollario: coma calcolare l'inverso di una matrice in termini della matrice dei cofattori.
Richiami sull'anello dei polinomi a coefficienti in un campo: la divisione di Euclide, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, l'identita' di Bezout per il massimo comun divisore, la fattorizzazione unica in polinomi irriducibili, ogni ideale e' principale, polinomi irriducibili nel caso di coefficienti complessi o reali.
Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, i coefficienti del polinomio caratteristico sono gli unici invarianti polinomiali per similitudine (senza dimostrazione), il termine noto e' il determinante (a meno del segno) e il termine subdirettore e' l'opposto della traccia.
Polinomi applicati a operatori lineari e matrici quadrate. Il polinomio minimo di una matrice quadrata e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, come calcolare il polinomio minimo di un operatore in termini di una sua matrice. Teorema (senza dimostrazione): il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (formula di Cayley-Hamilton) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Esempio: polinomi caratteristico e minimo dei blocchi e multiblocchi di Jordan.
Sottospazi invarianti per un operatore: applicazione quoziente e complementari invarianti. Interpretazione in termini di matrici triangolari o diagonali a blocchi. Proposizione: il comportamento dei polinomi caratteristici e minimi rispetto ai sottospazi invarianti. Esempio: la matrice compagna associata ad un polinomio p(x) ha polinomio caratteristico uguale a p(x). Decomposizione primaria di un operatore.
Autovalori di un operatore lineare (o di una matrice quadrata) come radice del polinomio caratteristico. L'autospazio associato ad un autovalore di un operatore, l'autospazio generalizzato di indice k, l'autospazio generalizzato infinito. Alcuni invarianti associati ad un autovalore: la molteplicita' algebrica, la molteplicita' geometrica, la molteplicita' geometrica k-esima, la molteplicita' geometrica infinita, l'indice.
Esempio: gli autospazi generalizzati di un multiblocco di Jordan. Teorema: la molteplicita' algebrica di un autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica infinita; l'indice di un autovalore e' uguale alla molteplicita' dell'autovalore come radice del polinomio minimo; il sottospazio generalizzato infinito dell'autovalore λ e' uguale al sottospazio primario associato al fattore irriducibile x−λ del polinomio minimo; l'indice e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica.
(Sotto-)spazi Φ-cicli: il sottospazio Φ-ciclico generato da un vettore e il polinomio minimo di un operatore Φ rispetto ad un vettore.
Operatori ciclici. Proposizione: Φ e' ciclico se e solo se esiste una base ordinata rispetto a cui la matrice di Φ e' una matrice compagna di un polinomio p(x), che a posteriori coincide col polinomio minimo e col polinomio caratteristico di Φ.
Corollario: due operatori ciclici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico (risp. minimo). Proposizione: dato un operatore ciclico Φ, esiste una biezione tra i divisori el polinomio minimo di Φ e i sottospazi Φ-invarianti.
Gli operatori ciclici primari. Corollario: ogni operatore ciclico si decompone in maniera canonica come somma diretta di operatori ciclici primari. Teorema (senza dimostrazione) di decomposizione ciclica primaria: ogni operatore e' somma diretta di operatori ciclici primari che sono indecomponibili; i fattori ciclici primari sono unici a meno di similitudine. I divisori elementari di un operatore. Teorema (senza dimostrazione) di classificazione degli operatori a meno di similitudine : due operatori sono simili se e solo se hanno gli stessi divisori elementari. Corollario: il polinomio caratteristico e' il prodotto dei divisori elementari, il polinomio minimo e' il minimo comune multiplo dei divisori elementari. In particolare, il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico e hanno gli stessi fattori irriducibili. Corollario: un operatore Φ e' ciclico se e solo se il suo polinomio minimo coincide con quello caratteristico se e solo se i suoi divisori elementari sono a due a due coprimi se e solo se i suoi sottospazi primari sono ciclici. Corollario: dato un operatore Φ, esiste una base ordinata tale rispetto alla quale la matrice di Φ e' una matrice diagonale a blocchi con blocchi dati dalle matrici compagne associate ai suoi divisori elementari. Teorema di triangolarizzabilita' : un operatore Φ e' triangolarizzabile (superioremente o inferiormente) se e solo se il suo polinomio caratteristico (o equivalentemente il suo polinomio minimo) ha solo fattori irriducibili lineari. Teorema sulla forma canonica di Jordan : dato un operatore Φ tale che il suo polinomio caratteristico ha solo fattori irriducibili lineari, allora esiste una base ordinata rispetto alla quale la matrice di Φ si scrive come matrice diagonale a multiblocchi di Jordan. Due operatori i cui polinomi caratteristici hanno solo fattori irriducibili lineari sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan. Teorema di diagonalizzabilita' : un operatore Φ e' diagonalizzabile se e solo esiste una base fatta di autovettori per Φ se e solo se il polinomio caratteristico ha solo fattori lineari e per ogni autovalore la molteplicita' algebrica e quella geometrica coincidono se e solo se il suo polinomio minimo e' prodotto di fattori lineari distinti.

S. Roman: Advanced Linear Algebra. Springer, 2008.
S. H. Weintraub: A guide to Advanced Linear Algebra. Mathematical Association of America, 2011.
B. N. Cooperstein: Advanced Linear Algebra. 2nd Edition. Taylor and Francis Group, 2015.
E. Sernesi: Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000.
S. Axler: Linear Algebra Done Right. 2nd Edition. Undergraduate Text in Mathematics. Springer, 1997.

Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie. Serie di Taylor.

Luigi Chierchia, Corso di Analisi, prima parte, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; Dispense AA 2018-2019, libreria Efesto

Cinematica del punto materiale.
Dinamica del punto materiale.
Leggi di Newton.
Dinamica del centro di massa.
Invarianza galileiana.
Conservazione dell'impulso.
Forze conservative.
Lavoro.
Forze di attrito.
Dinamica dei solidi.
Momento delle forze e momento angolare.
Tensore d'inerzia.
Primo principio della Termodinamica.
Secondo principio della Termodinamica.
Reversibilità ed Entropia.

C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica - Meccanica Termodinamica. Casa Editrice Ambrosiana, (2016)

Gruppi: Gruppi di permutazioni, diedrali, ciclici. Sottogruppi. Classi laterali e teorema di Lagrange. Omomorfismi. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Teoremi di omomorfismo. Azioni di un gruppo su un insieme. Teoremi sulle orbite e sugli stabilizzatori. Teoremi di Sylow e loro applicazioni. Anelli: Anelli, domini, corpi e campi. Sottoanelli, sottocampi e ideali. Omomorfismi. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi e massimali. Campo dei quozienti di un dominio. Divisibilità in un dominio. Campi: Estensioni di campi (semplici, algebriche e trascendenti). Campo di spezzamento di un polinomio (cenni). Campi finiti.

G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra,un approccio algoritmico, Decibel -Zanichelli.
I. Herstein, Algebra - Editori Riuniti (2010)
D. Dikranjan - M.S. Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori.

1. Funzioni di n variabili reali
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza,
topologia standard, compattezza in Rn .

Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass.
Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate direzionali.
Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz. Funzioni
Ck, regola della catena . Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi
Matrici definite positive.
Prop: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti
critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.

2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle
funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach.
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10

3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite e Inversa .
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange .

4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.

Analisi Matematica II, Giusti - Analisi Matematica II, Chierchia

Geometria euclidea
Forme bilineari e forme quadratiche. Diagonalizzazione delle forme quadratiche. Prodotti scalari.
L'operazione di prodotto vettoriale. Spazi euclidei. Operatori unitari e isometrie. Isometrie di piani e di spazi
tridimensionali. Diagonalizzazione di operatori simmetrici. Il caso complesso.

Geometria proiettiva
Spazi proiettivi. Geometria affine e geometria proiettiva. Dualità. Cambiamenti di coordinate omogenee
e proiettività.

Curve algebriche piane
Generalità. Curve algebriche reali. Classificazione delle coniche proiettive. Classificazione di coniche affini
e coniche euclidee.

E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri (1989)

1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,
combinazioni, esempi.

2. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi.

3. Probabilita' condizionata e indipendenza. Probabilita' condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.

4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa.
Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.

5. Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, e gaussiana.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione
per la simulazione di variabili aleatorie continue.

6. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Leggi congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita' della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di
convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson. Legame tra distribuzione
esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di
variabili indipendenti.

7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.

Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilita'. Apogeo, (2007).



F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).

Fare riferimento alla pagina del corso

Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)
F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)

Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov.
Sistemi planari e sistemi meccanici unidimensionali. Moti centrali e problema dei due corpi.
Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi. Meccanica lagrangiana.
Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e terorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.

G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, disponibile online

G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Meccanica lagrangiana e hamiltoniana, disponibile online

Note del corso a cura della docente disponibili sul Team del corso.
James R. Munkres Topology Prentice Hall.

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti
(in tal caso indicato con [G]).

1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimosrtrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.

2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varieta'. Curve regolari e superfici regolari. ca
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali risin R^2).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).

3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso 'e esatta.
Insiemi stellati una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.


4. Serie e successioni di funzioni.([G])
Serie e successioni di funzioni : convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza . Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari.

5. Serie di Fourier ([G])
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza
di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue Convergenza puntuale
della serie di Fourier . Convergenza uniforme nel caso di funzioni C1.
Uguaglianza di Parseval.La serie di Fourier di una funzione C1 a tratti converge alla media del salto
neipunti di discontinuita'. Linearit`a della serie di Fourier.

6. Complementi
Convoluzione e regolarizzazione (par. 3.2). Teorema di Ascoli. Formula di Stirling. Le funzioni analitiche reali.

Analisi Matematica II, Giusti- Analisi Matematica II, Chierchia

Il linguaggio degli insiemi
-Insiemi ed elementi
-Logica proposizionale
-Sottoinsiemi, unione, intersezione e complementare
-Insieme delle parti e partizioni
-Prodotto cartesiano

Corrispondenze e relazioni
-Corrispondenze
-Relazioni d'ordine
-Relazioni di equivalenza

Funzioni
-Generalità sulle funzioni
-Funzioni composte
-Funzioni inverse
-Relazione nucleo e teorema di decomposizione

Numeri naturali e Cardinalità
-L'insieme dei numeri naturali e l'induzione
-La cardinalità di un insieme

L'anello dei numeri interi
-Costruzione dell'insieme dei numeri interi
-Generalità sugli anelli
-La divisione euclidea
-Il Teorema fondamentale dell'Aritmetica

Gli anelli delle classi di resto
-Definizione e prime proprietà
-Congruenze lineari e sistemi di congruenze lineari
-Morfismi
-Il piccolo Teorema di Fermat e il Teorema di Eulero

Il campo dei numeri razionali
-Costruzione dell'insieme dei numeri razionali
-La notazione posizionale dei numeri razionali

I polinomi
-Generalità sui polinomi
-Radici, divisione e fattorizzazione dei polinomi
-Polinomi a coefficienti interi e razionali

I campi dei numeri reali e dei numeri complessi
-Cenni sulla costruzione dei reali
-La scrittura posizionale dei numeri reali
-Definizione del campo dei complessi
-Polinomi a coefficienti reali e complessi
-Numeri algebrici e numeri trascendenti
-Forma polare o trigonometrica dei numeri complessi
-Radici dell'unità e polinomi ciclotomici

Maggiori informazioni su: https://sites.google.com/site/al11020192020/

Dispense fornite dal docente.

G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Decibel-Zanichelli, (1996)

M. Fontana - S. Gabelli: Insiemi, numeri e polinomi. Primo ciclo di lezioni del corso di Algebra con esercizi svolti. CISU, (1989)

Maggiori informazioni su: https://sites.google.com/site/al11020192020/

Introduzione ai diversi aspetti dello studio dell'informatica; il concetto di algoritmo; il calcolatore; linguaggi di programmazione.
Modello di Von Neumann, modello della macchina di Turing. Rappresentazione delle informazioni su di un calcolatore. Cenni sui sistemi operativi e sul sistema operativo Unix/Linux.
Algoritmi e loro proprietà; i linguaggi per la formalizzazione di algoritmi: diagrammi di flusso e pseudo-codifica. Introduzione alla programmazione, linguaggi di programmazione di alto livello. Programmazione strutturata.
Linguaggio C: tipi di dato, operatori ed espressioni, strutture di controllo, array e puntatori, strutture, liste, allocazione dinamica della memoria, funzioni, funzioni ricorsive, le direttive del preprocessore, input e output.
Algoritmi di ordinamento; strutture dati complesse, heap, liste, alberi, grafi; algoritmi elementari su grafi, visita di grafi, cammini ottimi su grafi. Cenni sulla complessità computazionale degli algoritmi; cenni sulla calcolabilità: problemi trattabili, intrattabili, la classe P, NP, NP-complete.

Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Introduzione agli algoritmi e strutture dati", terza edizione, McGraw-Hill, 2010.
A. Bellini, A. Guidi, "Linguaggio C", quarta edizione, McGraw-Hill, 2009.
M. Liverani, "Programmare in C", seconda edizione, Esculapio, 2013.

PARTE 1: Il sistema dei numeri reali e suoi principali sottoinsiemi

• Insiemi, relazioni e funzioni.
• Assiomi dei numeri reali.
• Proprietà elementari dei campi ordinati.
• Insiemi e funzioni simmetriche. Valore assoluto e distanza.
• I numeri naturali . Sottrazione in N; principio del buon ordinamento e sue conseguenze.
• Successioni e teorema di ricorsione (dimostrazione facoltativa). Definizione ricorsiva di somme, prodotti e potenze. 
• Potenze ennesime, somma geometrica e formula per an- bn . Binomio di Newton.
• Insiemi finiti e infiniti.
• Numeri razionali. I razionali sono numerabili. Lemma di Gauss. 
• Estremo superiore e inferiore. Conseguenze elementari dell'assioma di completezza sui numeri interi. 
• Radici ennesime. Potenze con esponente razionale.
• Funzioni monotone.

PARTE 2: Teoria dei limiti
• Il sistema reale esteso R*. Intervalli e intorni. 
• Punti interni, isolati, di accumulazione. Definizione generale di limite. Unicità del limite.
• Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto.
• Limiti laterali e funzioni monotone. 
• Algebra dei limiti finiti.  Algebra dei limiti estesa.
• Alcuni limiti notevoli di successioni.
• Il numero di Nepero.
• Teorema ponte e caratterizzazione del sup/inf tramite successioni.
• Continuità:considerazioni generali; teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi.
• Classificazione delle discontinuità.
• Limiti per funzioni composte.
• Limiti per funzioni inverse. 
• Una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo ha inversa continua.
• Logaritmi.
• Limiti notevoli (esponenziali e logaritmi).

PARTE 3: Serie

• Serie numeriche: Proprietà elementari delle serie. Criteri del confronto. 
• Cenni sull'espansione decimale.
• Criteri di convergenza per serie a termini positivi
• Criteri per serie a termini reali (Abel-Dirichlet, Leibniz). 
• Serie esponenziale. Irrazionalità di e. Velocità di divergenza della serie armonica.
• Proprietà delle funzioni trigonometriche (in particolare dimostrazione del teorema di addizione del coseno).
• Funzioni periodiche. Proprietà di monotonia delle funzioni trigonometriche.
• Funzioni trigonometriche inverse. 

Luigi Chierchia: Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R
McGraw-Hill Education Collana: Collana di istruzione scientifica
Data di Pubblicazione: giugno 2019
EAN: 9788838695438 ISBN: 8838695431
Pagine: XI-374 Formato: brossura
https://www.mheducation.it/9788838695438-italy-corso-di-analisi-prima-parte

Testi di esercizi:
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

Richiami di Campi: definizioni ed esempi, sottocampi ed estensione di campi, campi algebricamente chiusi.
Spazi vettoriali su un campo: definizione e prime proprieta'.
Esempi di spazi vettoriali: lo spazio vettoriale standard (o numerico), gli spazi numerici infiniti, lo spazio dei polinomi, lo spazio delle funzioni da un insieme ad un campo , lo spazio delle funzioni continue reali, estensione di campi come spazi vettoriali, lo spazio delle matrici a coefficienti in un campo.
Sottospazi vettoriali: definizione e caratterizzazione tramite la chiusura per addizione vettoriale e moltiplicazione scalare, l'intersezione e la somma di sottospazi. Esempi di sottospazi: il sistema lineare omogeneo associato ad una matrice e il suo insieme di soluzioni come sottospazio vettoriale.
Costruzioni di spazi vettoriali: prodotto diretto e somma diretta esterna di una collezione di spazi vettoriali, famiglie indipendenti di sottospazi, la somma diretta interna di una famiglia indipendente di sottospazi, la somma diretta interna e' isomorfa alla somma diretta esterna.
Combinazioni lineari di vettori: ridotte, vuote, banali, nulle. Il sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e sue proprieta'. Sottoinsiemi generanti. Sottoinsiemi linearmente indipendenti e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Basi e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Esempi di basi. Proposizione: dati due insiemi I⊆S con I linearmente indipendente e S generante, allora esiste una base B tale che I⊆B⊆S (dimostrazione solo nel caso S finito). Corollario: ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni insieme linearmente indipendente e' contenuto in una base, ogni insieme generante contiene una base.
Teorema dell'invarianza della cardinalita' delle basi (con dimostrazione solo nel caso di dimensione finita): due basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'. La dimensione di uno spazio vettoriale.
Teorema di classificazione degli spazi vettoriali: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
Esercizi: come passare da un sottospazio di F^n dato in forma cartesiana ad una sua forma parametrica e come trovare una sua base,
come passare da un sottospazio di F^nn dato in forma parametrica ad una sua forma cartesiana; come calcolare la somma e l'intersezione di due sottospazi di F^n; come mostrare che un sottoinsieme I⊆Fn e' linearmente indipendente e come estendere I ad una base; come mostrare che un sottoinsieme S⊆Fn e' generante e come estrarre una base.
Formula di Grassmann per la dimensione della somma e dell'intersezione di due sottospazi.
Applicazioni lineari (o omomorfismi lineari) tra spazi vettoriali: monomorfismi, epimorfisimi, isomorfismi, operatori lineari (o endormorfismi). Esempi: l'inclusione di un sottospazio, la proiezione di una somma diretta su un fattore, l'applicazione lineare associata ad una matrice.
Proprieta' algebriche delle applicazioni lineari: Hom(V,W) e' uno spazio vettoriale, la composizione ∘:Hom(V,W)×Hom(W,U)→Hom(V,U) e' associativa e bilineare, data un'applicazione lineare biettiva l'inverso e' un'applicazione lineare biettiva. Proposizione: un'applicazione lineare e' univocamente determinata dai suoi valori su una base del dominio. Il nucleo e l' immagine di un'applicazione lineare.
Ogni applicazione lineare da F^n a F^m e' della forma \Phi_A per una matrice A. Proposizione: il nucleo di Φ_A e' l'insieme delle soluzioni associate al sistema lineare omogeneo con matrice associata A, l'immagine di Φ_A e' lo span delle colonne di A.
La moltiplicazione di matrici e le sue proprieta': associativita', bilinearita', elemento neutro. Il rango di una matrice: il rango per colonne coincide con il rango per righe. Proposizione (criterio di invertibilita'): una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha rango massimale se e solo se puo' essere traformata nella matrice identita' tramite operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Metodo di calcolo dell' inversa di una matrice.
Il Teorema di rango-nullita'. Criterio di isomorfismo: un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo se e solo se e' suriettivo. Matrici elementari per righe e per colonne. Formula per la loro inversa. Lemma: effettuare operazioni elementari sulle righe (risp. sulle colonne) equivale a moltiplicare a sinistra (risp. a destra) per matrici elementari per righe (risp. per colonne). Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se e' prodotto di matrici elementari per righe o per colonne. Matrici equivalenti: definizione e caratterizzazione tramite operazioni elementari sulle righe e sulle colonne. Teorema di classificazione delle matrici equivalenti: due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni matrice e' equivalente ad una matrice in forma canonica.
La matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base del dominio e una base del codominio. Le matrici di cambiamento base. Proprieta' delle matrici associate alle applicazioni lineari: formula di composizione e formula di cambiamento base. Corollario: il rango di un'applicazione lineare e' uguale al rango di una qualsiasi matrice che la rappresenta.
Applicazioni lineari equivalenti: tre definizioni equivalenti. Teorema di classificazione delle applicazioni lineari equivalenti: due applicazioni lineari sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni applicazione si puo' scrivere, rispetto ad oppurtune basi ordinate del dominio e del codominio, in forma canonica.
Il quoziente di uno spazio vettoriale V rispetto ad un suo sottospazio: la proiezione canonica e la sua proprieta' universale. Il teorema di corrispondenza: esiste una biezione canonica tra i sottogruppi del quoziente e i sottogruppi dello spazio originario che contengono il sottospazio.
Teorema: ogni complementare di un sottospazio e' canonicamente isomorfo al quoziente per tale sottospazio. La codimensione di un sottospazio e la sua relazione con la dimensione.
I Teorema di isomorfismo e suoi Corollari: una dimostrazione alternativa del Teorema di rangi-nullita'; la fattorizzazione canonica di un'applicazione lineare come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'iniezione; i monomorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un isomorfismo e di un'iniezione; gli epimorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un quoziente e di un isomorfismo.
II e III Teorema di isomorfismo.
La trasposta di matrici e sue proprieta' algebriche rispetto alla composizione e all'inverso.
I funzionali lineari e le loro proprieta'. Lo spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale. Esempi. L'insieme duale di una base. Teorema: data una base di V, l'insieme duale e' linearmente indipendente ed e' una base (chiamata base duale) se V ha dimensione finita. Corollario: uno spazio vettoriale ha dimensione finita se e solo se e' isomorfo al suo spazio vettoriale duale (con dimostrazione solo dell'implicazione se).
Gli annullatori e loro proprieta' (con speciale enfasi al caso di dimensione finita): gli annullatori rovesciano le inclusioni e scambiano sottospazi e quozienti (e dunque scambiano dimensione e codimensione). Gli annullatori negli spazi vettoriali numerici: come calcolare l'annullatore di un sottospazio dato in forma parametrica o cartesiana.
L'applicazioni lineare duale di un'applicazione lineare. Proprieta': la duale dell'inversa e' l'inversa della duale, il duale di una composizione e' la composizione dei duali. Il nucleo (risp. l'immagine) dell'applicazione duale e' l'annullatore dell'immagine (risp. del nucleo). Matrice di un'applicazione lineare duale.
La similitudine di matrici e operatori lineari. Lemma: la similitudine di operatori lineari in termini di matrici associate.
Il determinante di una matrice quadrata: formula di Leibniz. Esempi: matrici di ordine 2 e 3; matrici triangolari inferiori o superiori. Lemma: la trasposizione non cambia il determinante. Teorema: il determinante e' multilineare e alterno come funzione sulle righe (risp. colonne). Corollario: il comportamento del determinante rispetto all'eliminazione di Gauss-Jordan per righe (risp. colonne). Corollario: il determinante e' l'unica funzione dall'insieme della matrici quadrati di ordine n al campo che e' multilineare e alterno sulle righe (risp. colonne) e che vale 1 sulla matrice identita'. Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Il teorema di moltiplicativita' del determinante. Corollari: il determinante dell'inversa e' l'inversa del determinante; matrici simili hanno lo stesso determinante. Teorema (senza dimostrazione): calcolo del determinante usando sviluppo di Leibniz lungo una riga o una colonna. Corollario: coma calcolare l'inverso di una matrice in termini della matrice dei cofattori.
Richiami sull'anello dei polinomi a coefficienti in un campo: la divisione di Euclide, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, l'identita' di Bezout per il massimo comun divisore, la fattorizzazione unica in polinomi irriducibili, ogni ideale e' principale, polinomi irriducibili nel caso di coefficienti complessi o reali.
Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, i coefficienti del polinomio caratteristico sono gli unici invarianti polinomiali per similitudine (senza dimostrazione), il termine noto e' il determinante (a meno del segno) e il termine subdirettore e' l'opposto della traccia.
Polinomi applicati a operatori lineari e matrici quadrate. Il polinomio minimo di una matrice quadrata e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, come calcolare il polinomio minimo di un operatore in termini di una sua matrice. Teorema (senza dimostrazione): il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (formula di Cayley-Hamilton) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Esempio: polinomi caratteristico e minimo dei blocchi e multiblocchi di Jordan.
Sottospazi invarianti per un operatore: applicazione quoziente e complementari invarianti. Interpretazione in termini di matrici triangolari o diagonali a blocchi. Proposizione: il comportamento dei polinomi caratteristici e minimi rispetto ai sottospazi invarianti. Esempio: la matrice compagna associata ad un polinomio p(x) ha polinomio caratteristico uguale a p(x). Decomposizione primaria di un operatore.
Autovalori di un operatore lineare (o di una matrice quadrata) come radice del polinomio caratteristico. L'autospazio associato ad un autovalore di un operatore, l'autospazio generalizzato di indice k, l'autospazio generalizzato infinito. Alcuni invarianti associati ad un autovalore: la molteplicita' algebrica, la molteplicita' geometrica, la molteplicita' geometrica k-esima, la molteplicita' geometrica infinita, l'indice.
Esempio: gli autospazi generalizzati di un multiblocco di Jordan. Teorema: la molteplicita' algebrica di un autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica infinita; l'indice di un autovalore e' uguale alla molteplicita' dell'autovalore come radice del polinomio minimo; il sottospazio generalizzato infinito dell'autovalore λ e' uguale al sottospazio primario associato al fattore irriducibile x−λ del polinomio minimo; l'indice e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica.
(Sotto-)spazi Φ-cicli: il sottospazio Φ-ciclico generato da un vettore e il polinomio minimo di un operatore Φ rispetto ad un vettore.
Operatori ciclici. Proposizione: Φ e' ciclico se e solo se esiste una base ordinata rispetto a cui la matrice di Φ e' una matrice compagna di un polinomio p(x), che a posteriori coincide col polinomio minimo e col polinomio caratteristico di Φ.
Corollario: due operatori ciclici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico (risp. minimo). Proposizione: dato un operatore ciclico Φ, esiste una biezione tra i divisori el polinomio minimo di Φ e i sottospazi Φ-invarianti.
Gli operatori ciclici primari. Corollario: ogni operatore ciclico si decompone in maniera canonica come somma diretta di operatori ciclici primari. Teorema (senza dimostrazione) di decomposizione ciclica primaria: ogni operatore e' somma diretta di operatori ciclici primari che sono indecomponibili; i fattori ciclici primari sono unici a meno di similitudine. I divisori elementari di un operatore. Teorema (senza dimostrazione) di classificazione degli operatori a meno di similitudine : due operatori sono simili se e solo se hanno gli stessi divisori elementari. Corollario: il polinomio caratteristico e' il prodotto dei divisori elementari, il polinomio minimo e' il minimo comune multiplo dei divisori elementari. In particolare, il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico e hanno gli stessi fattori irriducibili. Corollario: un operatore Φ e' ciclico se e solo se il suo polinomio minimo coincide con quello caratteristico se e solo se i suoi divisori elementari sono a due a due coprimi se e solo se i suoi sottospazi primari sono ciclici. Corollario: dato un operatore Φ, esiste una base ordinata tale rispetto alla quale la matrice di Φ e' una matrice diagonale a blocchi con blocchi dati dalle matrici compagne associate ai suoi divisori elementari. Teorema di triangolarizzabilita' : un operatore Φ e' triangolarizzabile (superioremente o inferiormente) se e solo se il suo polinomio caratteristico (o equivalentemente il suo polinomio minimo) ha solo fattori irriducibili lineari. Teorema sulla forma canonica di Jordan : dato un operatore Φ tale che il suo polinomio caratteristico ha solo fattori irriducibili lineari, allora esiste una base ordinata rispetto alla quale la matrice di Φ si scrive come matrice diagonale a multiblocchi di Jordan. Due operatori i cui polinomi caratteristici hanno solo fattori irriducibili lineari sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan. Teorema di diagonalizzabilita' : un operatore Φ e' diagonalizzabile se e solo esiste una base fatta di autovettori per Φ se e solo se il polinomio caratteristico ha solo fattori lineari e per ogni autovalore la molteplicita' algebrica e quella geometrica coincidono se e solo se il suo polinomio minimo e' prodotto di fattori lineari distinti.

S. Roman: Advanced Linear Algebra. Springer, 2008.
S. H. Weintraub: A guide to Advanced Linear Algebra. Mathematical Association of America, 2011.
B. N. Cooperstein: Advanced Linear Algebra. 2nd Edition. Taylor and Francis Group, 2015.
E. Sernesi: Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000.
S. Axler: Linear Algebra Done Right. 2nd Edition. Undergraduate Text in Mathematics. Springer, 1997.

Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie. Serie di Taylor.

Luigi Chierchia, Corso di Analisi, prima parte, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; Dispense AA 2018-2019, libreria Efesto

Cinematica del punto materiale.
Dinamica del punto materiale.
Leggi di Newton.
Dinamica del centro di massa.
Invarianza galileiana.
Conservazione dell'impulso.
Forze conservative.
Lavoro.
Forze di attrito.
Dinamica dei solidi.
Momento delle forze e momento angolare.
Tensore d'inerzia.
Primo principio della Termodinamica.
Secondo principio della Termodinamica.
Reversibilità ed Entropia.

C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica - Meccanica Termodinamica. Casa Editrice Ambrosiana, (2016)

Gruppi: Gruppi di permutazioni, diedrali, ciclici. Sottogruppi. Classi laterali e teorema di Lagrange. Omomorfismi. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Teoremi di omomorfismo. Azioni di un gruppo su un insieme. Teoremi sulle orbite e sugli stabilizzatori. Teoremi di Sylow e loro applicazioni. Anelli: Anelli, domini, corpi e campi. Sottoanelli, sottocampi e ideali. Omomorfismi. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi e massimali. Campo dei quozienti di un dominio. Divisibilità in un dominio. Campi: Estensioni di campi (semplici, algebriche e trascendenti). Campo di spezzamento di un polinomio (cenni). Campi finiti.

G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra,un approccio algoritmico, Decibel -Zanichelli.
I. Herstein, Algebra - Editori Riuniti (2010)
D. Dikranjan - M.S. Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori.

1. Funzioni di n variabili reali
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza,
topologia standard, compattezza in Rn .

Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass.
Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate direzionali.
Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz. Funzioni
Ck, regola della catena . Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi
Matrici definite positive.
Prop: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti
critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.

2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle
funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach.
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10

3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite e Inversa .
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange .

4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.

Analisi Matematica II, Giusti - Analisi Matematica II, Chierchia

Geometria euclidea
Forme bilineari e forme quadratiche. Diagonalizzazione delle forme quadratiche. Prodotti scalari.
L'operazione di prodotto vettoriale. Spazi euclidei. Operatori unitari e isometrie. Isometrie di piani e di spazi
tridimensionali. Diagonalizzazione di operatori simmetrici. Il caso complesso.

Geometria proiettiva
Spazi proiettivi. Geometria affine e geometria proiettiva. Dualità. Cambiamenti di coordinate omogenee
e proiettività.

Curve algebriche piane
Generalità. Curve algebriche reali. Classificazione delle coniche proiettive. Classificazione di coniche affini
e coniche euclidee.

E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri (1989)

1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,
combinazioni, esempi.

2. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi.

3. Probabilita' condizionata e indipendenza. Probabilita' condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.

4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa.
Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.

5. Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, e gaussiana.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione
per la simulazione di variabili aleatorie continue.

6. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Leggi congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita' della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di
convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson. Legame tra distribuzione
esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di
variabili indipendenti.

7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.

Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilita'. Apogeo, (2007).



F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).

Fare riferimento alla pagina del corso

Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)
F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)

Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov.
Sistemi planari e sistemi meccanici unidimensionali. Moti centrali e problema dei due corpi.
Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi. Meccanica lagrangiana.
Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e terorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.

G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, disponibile online

G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Meccanica lagrangiana e hamiltoniana, disponibile online

Note del corso a cura della docente disponibili sul Team del corso.
James R. Munkres Topology Prentice Hall.

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti
(in tal caso indicato con [G]).

1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimosrtrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.

2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varieta'. Curve regolari e superfici regolari. ca
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali risin R^2).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).

3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso 'e esatta.
Insiemi stellati una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.


4. Serie e successioni di funzioni.([G])
Serie e successioni di funzioni : convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza . Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari.

5. Serie di Fourier ([G])
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza
di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue Convergenza puntuale
della serie di Fourier . Convergenza uniforme nel caso di funzioni C1.
Uguaglianza di Parseval.La serie di Fourier di una funzione C1 a tratti converge alla media del salto
neipunti di discontinuita'. Linearit`a della serie di Fourier.

6. Complementi
Convoluzione e regolarizzazione (par. 3.2). Teorema di Ascoli. Formula di Stirling. Le funzioni analitiche reali.

Analisi Matematica II, Giusti- Analisi Matematica II, Chierchia

Legge di Coulomb e campo elettrostatico. Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico, teorema di Stokes, dipolo elettrico. Flusso del campo elettrico e legge di Gauss, Equazioni di Maxwell per l'elettrostatica. Conduttori e condensatori. Dielettrici, vettore induzione dielettrica ed equazioni di Maxwell in elettrostatica in presenza di dielettrici. Corrente elettrica, legge di Ohm, reti elettriche. Campo magnetico, legge di Gauss, forza magnetica. Sorgenti di campo, legge di Ampere, equazioni di Maxwell della magnetostatica nel vuoto. Proprieta' magnetiche della materia, equazioni generali della magnetostatica e campo H. Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo, legge di Faraday, legge di Ampere-Maxwell, equazioni di Maxwell nel vuoto e nella materia con cariche e correnti. Oscillazioni e correnti alternate, circuiti RLC. Le Equazioni di Maxwell, potenziali vettore e scalare, scelta di Gauge, onde piane, operatore di D'Alembert e equazione delle onde, campo di radiazione pura. Relativita' ristretta, principio di relatività' di Einstein e trasformazioni di Lorentz, Spazio di Minkowski, quadrivettori e invariati relativistici. Riflessione e rifrazione delle onde. Interferenza e diffrazione, interferenza da piu' sorgenti, diffrazione da una fenditura e reticolo di diffrazione.

LIBRO DI TESTO:

MAZZOLDI P., NIGRO M., VOCI C. "FISICA" VOLUME II [EDISES]

APPUNTI, PRESENTAZIONI E ESERCIZI pubblicati sul sito del corso
http://webusers.fis.uniroma3.it/~gallop/