Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Mappe razionali e morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche. Varietà localmente fattoriali e varietà normali; normalizzazione.
Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

1) R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
2) I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
3) J. Harris, Algebraic geometry (a first course), Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
4) Note del corso di Lucia Caporaso

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Mappe razionali e morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche. Varietà localmente fattoriali e varietà normali; normalizzazione.
Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

1) R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
2) I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
3) J. Harris, Algebraic geometry (a first course), Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
4) Note del corso di Lucia Caporaso

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Calcolo in spazi di Banach, derivazione, Teorema della Funzione Implicita;
Teoria della biforcazione, metodo di Ljapunov-Schmidt;
Esistenza di soluzioni di energia minima, coercività, semi-continuità inferiore;
Teorema di passo montano, soluzioni di tipo sella;
Grado topologico, Teoremi di Linking;
Categoria di Ljusternik-Schnirelmann, esistenza di infinite soluzioni.

A. Ambrosetti, A. Malchiodi - "Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problem" - Cambridge
P. Rabinowitz - "Minimax methods in critical point theory with application to differential equations" - American Mathematical Society

Alcune tecniche di Analisi nonlineare.

P. Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations.

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

I. Teoria elementare (Incluso: Numeri complessi e piano complesso. Convergenza. Insiemi nel piano complesso. Funzioni sul piano complesso. Funzioni continue. Funzioni olomorfe. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve).
II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni (Incluso: teorema di Goursat; formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz). Il teorema di Cauchy in domini semplicemente connessi.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo (Incluso: zeri e poli; singolarità isolate. Principio dell'argomento. Teorema di Rouché).
IV. Trasformazioni conformi (Incluso: mappe elementari e trasformazioni lineari fratte); teorema della mappa di Riemann.
V. Serie di Laurent; fratti parziali e prodotti canonici.

[S] Complex Analysis. Elias M. Stein, Rami Shakarchi Princeton University Press 2003, ISBN 10: 1400831156 / ISBN 13: 9781400831159

[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

I parte. Elementi di teoria ergodica.
Partizioni. Frequenze di visita e moti simbolici. Moti quasi-periodici e proprietà ergodiche.
Teorema di Birkhoff. Sistemi ergodici e sistemi mescolanti. Potenziali e loro energie.
Misure di Gibbs: esistenza e unicità. Misure di Gibbs su Z_+.
Proprietà variazionali delle misure di Gibbs. Applicazioni espansive sull'intervallo.

II parte. Sistemi iperbolici.
Sistemi iperbolici. Sistemi di Anosov. Esempio del gatto di Arnold. Pavimenti di Markov.
Dinamica simbolica per sistemi iperbolici. Codifica della misura di volume e
della sua restrizione a Z_+. Foliazioni stabili e instabili. Misura SRB.
Stabilità strutturale e perturbazioni del gatto di Arnold.
Serie perturbative e tecniche diagrammatiche per la funzione di coniugazione
e per i coefficienti di espansione e di contrazione. Gatti di Arnold accoppiati.

III parte. Sincronizzazione in sistemi caotici.
Sistemi parzialmente iperbolici in presenza di interazioni dissipative.
Costruzione di un attrattore locale, coniugazione con il sistema linearizzato
e calcolo degli esponenti di Ljapunov. Studio delle correlazioni.

G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile
Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion
Springer, Berlin, 2004.

I parte. Elementi di teoria ergodica.
Partizioni. Frequenze di visita e moti simbolici. Moti quasi-periodici e proprietà ergodiche.
Teorema di Birkhoff. Sistemi ergodici e sistemi mescolanti. Potenziali e loro energie.
Misure di Gibbs: esistenza e unicità. Misure di Gibbs su Z_+.
Proprietà variazionali delle misure di Gibbs. Applicazioni espansive sull'intervallo.

II parte. Sistemi iperbolici.
Sistemi iperbolici. Sistemi di Anosov. Esempio del gatto di Arnold. Pavimenti di Markov.
Dinamica simbolica per sistemi iperbolici. Codifica della misura di volume e
della sua restrizione a Z_+. Foliazioni stabili e instabili. Misura SRB.
Stabilità strutturale e perturbazioni del gatto di Arnold.
Serie perturbative e tecniche diagrammatiche per la funzione di coniugazione
e per i coefficienti di espansione e di contrazione. Gatti di Arnold accoppiati.

III parte. Sincronizzazione in sistemi caotici.
Sistemi parzialmente iperbolici in presenza di interazioni dissipative.
Costruzione di un attrattore locale, coniugazione con il sistema linearizzato
e calcolo degli esponenti di Ljapunov. Studio delle correlazioni.

G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile
Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion
Springer, Berlin, 2004.

Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Mappe razionali e morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche. Varietà localmente fattoriali e varietà normali; normalizzazione.
Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

1) R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
2) I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
3) J. Harris, Algebraic geometry (a first course), Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
4) Note del corso di Lucia Caporaso

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure, osservabili e relazione di indeterminazione. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Problemi unidimensionali. Parità. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

ITALIANO

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Zanichelli

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

§I. Teoria relativistica dei campi

Il gruppo di Poincaré. Simmetrie globali e simmetrie locali. Primo e secondo teorema di Noether e leggi di conservazione. I tensori canonici energia-impulso e momento angolare. Improvements. Argomento di Belinfante e tensore energia-impulso simmetrico. Simmetrie locali e grandezze conservate.

§II. La gravità come teoria di campo relativistica

Particelle e campi in Relatività Speciale. Rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincaré: metodo delle rappresentazioni indotte. Particelle a massa nulla: ISO(D-2) gruppo di stabilità e invarianza di gauge. Ricostruzione della Relatività Generale. Lagrangiana di Fierz-Pauli. Metodo di Nöther e costruzione perturbativa dei vertici. Costruzione di Nöther della lagrangiana di Yang-Mills. Il vertice cubico gravitazionale trasverso e traceless. Principio di Equivalenza di Weinberg dall'invarianza relativistica della matrice S. Spin e segno delle forze statiche.

§III. Elementi di geometria differenziale

Spazi topologici. Varietà. Diffeomorfismi. Spazi tangenti e vettori. Basi coordinate. Operatori derivativi su varietà. Connessione di Levi-Civita. Torsione. Forme differenziali: definizione, prodotto esterno, derivate ​​interna ed esterna duale di Hodge. Derivata di Lie e formula di Cartan. Teoria di Yang-Mills nel linguaggio delle forme. Tensore di Weyl. Tensori di Riemann e Weyl in varie dimensioni: conteggio delle componenti per irreps di GL(D). Trasformazioni conformi del tensore metrico. Spazi conformemente piatti. Campi scalari accoppiati in modo conforme.

§IV. Formulazione di Cartan-Weyl e accoppiamento minimale di fermioni alla gravità

Sistemi inerziali locali. Il vielbein. Trasformazioni di Lorentz locali. La connessione di spin. Il postulato del vielbein. Vincolo di torsione e formulazione del secondo ordine. Contorsione. Curvatura di Lorentz. Gravità come teoria di gauge dell'algebra di Poincaré. Connessione sull'algebra di Poincaré. Trasformazioni di Poincaré locali. Torsione e curvatura sull'algebra di Poincaré. Formulazione del primo ordine e azione di Cartan-Weyl. Relazione tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi. Spinori su varietà curve. Materia fermionica minimamente accoppiata. Lagrangiana di Dirac.

§V. Spazi massimamente simmetrici

Spazi omogenei e isotropi. Caratterizzazione di spazi massimamente simmetrici: costante di curvatura e segnatura. MSS come soluzioni di vuoto delle equazioni di Einstein con costante cosmologica. Costruzione da immersione in spazi pseudolorentziani in dimensione D+1: metrica e coefficienti di Christoffel.

§ VI. Il buco nero di Schwarzschild

Spazi a simmetria sferica. La soluzione di Schwarzschild. Il teorema di Birkhoff. Singolarità, definizioni e criteri: singolarità di curvatura e incompletezza geodetica. Caduta libera verso l'orizzonte. Le coordinate della tartaruga. Estensione di uno spazio-tempo. Coordinate di Eddington-Finkelstein. Orizzonte degli eventi, buchi neri e buchi bianchi. Coordinate di Kruskal-Szekeres. Estensione massimale della soluzione di Schwarzschild. Diagramma di Kruskal e buchi neri eterni. (A)dS-Schwarzschild.

§ VII. Buchi neri più generali

Diagrammi conformi. Orizzonti degli eventi. Buchi neri di Reissner-Nordström e di Kerr. Termodinamica dei buchi neri.

§ VII. Energia gravitazionale

Grandezze conservate nelle teorie di gauge: l'esempio della teoria di Yang-Mills. Conservazione covariante e conservazione ordinaria. Equazioni di Einstein-Hilbert per metriche asintoticamente piatte. Il tensore energia-impulso gravitazionale. Il superpotenziale. Energia e quantità di moto nella formulazione ADM. Esempio: energia ADM della soluzione di Schwarzschild. Il teorema dell'energia positiva (senza dimostrazione). Background generico con vettori di Killing. Radiazione di quadrupolo.

§VIII. Simmetrie asintotiche

Nozione generale di gruppo di simmetria asintotica. L'esempio della teoria di Maxwell nello spazio piatto. Formalismo dello spazio delle fasi covariante. Spaziotempo asintoticamente piatto e supertraslazioni di Bondi-van der Burg-Metzner-Sachs. Applicazioni: teoremi soffici ed effetti memoria.

Nota: alcuni argomenti possono essere assegnati come problemi, come alternativa all'esame orale

-Carroll S, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley 2014/Cambridge University Press, 2019)
-Wald R, General Relativity (The University of Chicago Press, 1984)
-Weinberg S, Gravitation and Cosmology - principles and applications of the general theory of relativity, (John Wiley \& Sons, 1972)

Lo scopo del corso è fornire allo studente gli elementi cognitivi generali che sottendono alla realizzazione di sistemi di acquisizione, controllo e monitoraggio degli esperimenti di Fisica Nucleare e Subnucleare.
Il corso è articolato sui seguenti argomenti:
- Introduzione ai sistemi di DAQ
- Parallelismo e Pipelining
- Derandomizzazione
- DAQ e Trigger
- Trasmissione Dati
- Front End Electronics
- Trigger
- Architettura Sistemi di Calcolo
- Sistemi Real Time
- Real Time Operating Systems
- Linguaggio C
- Linguaggio HDL rudimenti e simulazione
- Protocolli di Rete TCP/IP
- Achitetture DAQ
- Event Building
- VME Bus
- Run Control
- Farming
- Archiviazione Dati

Dispense preparate dal docente sulla base delle slide presentate a lezione, disponibili sul sito Moodle predisposto dall'Ateneo:
https://matematicafisica.el.uniroma3.

Architetture parallele inclusi sistemi a memoria condivisa, a memoria distribuita e GPGPU
Pattern per la programmazione parallela: problemi embarassingly parallel; work farm; partitioning; reduce; stencil
Valutazione delle prestazioni di programmi paralleli: speedup, efficienza, scalabilità
Programmazione di architetture a memoria condivisa con OpenMP
Programmazione di architetture a memoria distribuita con MPI
Programmazione di GPU con CUDA
Cenni a Linguaggi di Programmazione innovativi per HPC (OpenACC, Rust + libraries, SIMD, OpenCL, ...)

Peter Pacheco, Matthew Malensek, An Introduction to Parallel Programming, 2nd ed., Morgan Kaufmann, 2021, ISBN 9780128046050

CUDA C++ programming guide

Appunti del docente - Slide del corso a cura del docente

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Appunti del docente - Slide del corso a cura del docente

- Curve affini e proiettive
- Cubiche e curve ellittiche
- Legge di gruppo e equazioni di curve ellittiche
- Isogenie
- Punti di torsione
- Curve ellittiche su campi finiti e il teorema di Hasse
- Richiami di Crittosistemi simmetrici e a chiave pubblica
- Algoritmi sulle curve ellittiche: Double and Add e l'algoritmo di Schoof
- Algoritmi di chiave pubblica e firma digitale su curve ellittiche
- Pairing di Weil e Identity based elliptic cryptosystems

Dispense del Docente

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Ottimizzazione di modelli. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting. Bagging.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Analisi delle componenti principali.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, e TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

La matematica nella scuola secondaria: programmi, nodi concettuali e nodi critici; la matematica dei matematici e la matematica per il cittadino.
Dall'esercizio al problem solving. Teorie didattiche e didatti. Guido e Emma Castelnuovo. Croce, Gentile e la matematica. Metodologie didattiche.
Legislazione scolastica

Battaglini Frank, Di Martino, Natalini, Rosolini "Didattica della matematica", Mondadori Università

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Calcolo in spazi di Banach, derivazione, Teorema della Funzione Implicita;
Teoria della biforcazione, metodo di Ljapunov-Schmidt;
Esistenza di soluzioni di energia minima, coercività, semi-continuità inferiore;
Teorema di passo montano, soluzioni di tipo sella;
Grado topologico, Teoremi di Linking;
Categoria di Ljusternik-Schnirelmann, esistenza di infinite soluzioni.

A. Ambrosetti, A. Malchiodi - "Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problem" - Cambridge
P. Rabinowitz - "Minimax methods in critical point theory with application to differential equations" - American Mathematical Society

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Elementi di Algebra Lineare: Spazi di Hilbert, Prodotti e prodotti tensore, matrici, spazi complessi e prodotto scalare, grafi, somma dei cammini nel grafo.

Funzioni booleane, quantum bits e fattibilità computazionale.

Matrici speciali: Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Computazioni reversibili e matrici di permutazione, matrici diagonali, riflessioni.

Vettori di inizializzazione, controllo e copia di stati di base.

Algoritmi: Phil Algorithm, Deutsch’s Algorithm, Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

I parte. Elementi di teoria ergodica.
Partizioni. Frequenze di visita e moti simbolici. Moti quasi-periodici e proprietà ergodiche.
Teorema di Birkhoff. Sistemi ergodici e sistemi mescolanti. Potenziali e loro energie.
Misure di Gibbs: esistenza e unicità. Misure di Gibbs su Z_+.
Proprietà variazionali delle misure di Gibbs. Applicazioni espansive sull'intervallo.

II parte. Sistemi iperbolici.
Sistemi iperbolici. Sistemi di Anosov. Esempio del gatto di Arnold. Pavimenti di Markov.
Dinamica simbolica per sistemi iperbolici. Codifica della misura di volume e
della sua restrizione a Z_+. Foliazioni stabili e instabili. Misura SRB.
Stabilità strutturale e perturbazioni del gatto di Arnold.
Serie perturbative e tecniche diagrammatiche per la funzione di coniugazione
e per i coefficienti di espansione e di contrazione. Gatti di Arnold accoppiati.

III parte. Sincronizzazione in sistemi caotici.
Sistemi parzialmente iperbolici in presenza di interazioni dissipative.
Costruzione di un attrattore locale, coniugazione con il sistema linearizzato
e calcolo degli esponenti di Ljapunov. Studio delle correlazioni.

G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile
Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion
Springer, Berlin, 2004.

I. Teoria elementare (Incluso: Numeri complessi e piano complesso. Convergenza. Insiemi nel piano complesso. Funzioni sul piano complesso. Funzioni continue. Funzioni olomorfe. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve).
II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni (Incluso: teorema di Goursat; formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz). Il teorema di Cauchy in domini semplicemente connessi.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo (Incluso: zeri e poli; singolarità isolate. Principio dell'argomento. Teorema di Rouché).
IV. Trasformazioni conformi (Incluso: mappe elementari e trasformazioni lineari fratte); teorema della mappa di Riemann.
V. Serie di Laurent; fratti parziali e prodotti canonici.

[S] Complex Analysis. Elias M. Stein, Rami Shakarchi Princeton University Press 2003, ISBN 10: 1400831156 / ISBN 13: 9781400831159

[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974.

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità, riflessività e uniforme convessità.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986);
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010);
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991);

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Anelli degli interi in campi di numeri.
Fattorizzazione unica degli ideali negli anelli degli interi.
Gruppo delle classi.
Gruppo delle unità.
Ultimo Teorema di Fermat per primi regolari
Campi locali.

Dispense del Docente.
Marcus, D. Number fields, 3rd Ed Springer-Verlag. 1977.
Samuel, P. Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris. 1971.
Schoof, R. Algebraic Number Theory, dispense Università di Roma Tor Vergata, 2003.
Milne, J. Algebraic Number Theory, Lecture Notes, 2017.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

Sistemi dinamici lineari. Oscillatore armonico forzato con o senza
attrito. Teoremi di stabilità. Risonanza parametrica. Catena di
oscillatori armonici accoppiati: limite del continuo e equazioni della
corda vibrante. Diffusione elastica classica. Integrali primi nascosti
nel problema dei due corpi e nel problema dell'oscillatore armonico
tridimensionale.

V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori
Riuniti, Roma, 1979 G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P.
Boringhieri, Torino, 1986 G. Gentile, Introduzione ai sistemi
dinamici, 1 (Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e
alcune applicazioni) e
2 (Meccanica lagrangiana e hamiltoniana) L.D. Landau, E.M. Lifshitz,
Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976

Angoli di Eulero. Equazioni di Eulero per la dinamico del corpo
rigido. Integrabilità del corpo rigido con un punto non sottoposto a
forze. Trottola di Lagrange. Teorema di Arnold-Liouville. Variabili
azione-angolo per l'oscillatore armonico e per il problema dei due
corpi. Formulazione in variabili azione-angolo del problema dei 3
corpi ristretto. Calcolo della precessione del perielio di Mercurio.
Cenni alla teoria KAM sulla convergenza della teoria delle
perturbazioni classica. Cenni alla teoria statistica del moto:
sistemi integrabili, quasi-integrabili e caotici. Dimostrazione del
riempimento denso e uniforme del toro da parte del flusso
quasi-periodico irrazionale. Frequenze di visita.

V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori
Riuniti, Roma, 1979 G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P.
Boringhieri, Torino, 1986 G. Gentile, Introduzione ai sistemi
dinamici, 1 (Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e
alcune applicazioni) e
2 (Meccanica lagrangiana e hamiltoniana) L.D. Landau, E.M. Lifshitz,
Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Testo principale: D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

PROCESSI STOCASTICI, MOTO BROWNIANO, INTEGRALI STOCASTICI, EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE. FORMULA DI ITO. FORMULE DI FEYNMANN-KAC E APPLICAZIONI. TEMPI DI MARKOV E SOLUZIONE PROBABILISTICA DEL PROBLEMA DI DIRICHLET.

P. Morters, Y. Peres: Bronian Motion, Cambridge 2010
T. Liggett, Continuous time Markov processes: an introduction, AMS 2010
L.C. Evans:Introduction to stochastic differential equations, AMS 2014,
J.F. Le Gall: Brownian motion, martingales, and stochastic calculus, Springer 2016

1. Problemi di ottimizzazione e di ottimizzazione combinatoria. Enumerazione delle soluzioni.
2. Fondamenti di analisi degli algoritmi. Trattabilità computazionale. Ordine asintotico di crescita.
3. Grafi. Connettività ed attraversamento. Bipartizioni. Connettività in grafi diretti. Grafi diretti aciclici ed ordinamento topologico.
4. Algoritmi avidi. Schedulazione di intervalli. Caching ottimo. Cammini minimi in un grafo. Albero ricoprente a costo minimo.
5. Divide et impera. Il mergesort. Conteggio di inversioni. Coppia di punti più vicina.
6. Programmazione dinamica. Schedulazione di intervalli pesati. Principi della programmazione dinamica. Somme di sottoinsiemi e problema della bisaccia. Cammini minimi tra tutte le coppie. Cammini minimi e protocollo basato su vettori delle distanze.
7. Flussi di rete. Flusso massimo e algoritmo di Ford-Fulkerson. Flussi massimi e tagli minimi in una rete. Cammini aumentanti. Abbinamenti bipartiti. Cammini disgiunti in grafi diretti e non diretti.
8. Intrattabilità computazionale. Riduzioni tempo-polinomiali. Riduzioni attraverso "gadget". Certificazione efficiente e definizione di NP. Problemi NP-completi. Problemi di copertura, impaccamento, partizionamento, sequenziamento, numerici. Altri esempi.

Jon Kleinberg, Eva Tardos. Algorithm Design. Pearson Education, 2013.

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F Cesarone (2020), Computational Finance. MATLAB oriented modeling, Routledge-Giappichelli Studies in Business and Management, ISBN 978-0-367-49303-5
https://www.giappichelli.it/computational-finance

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

Uso di programmi didattici nell'insegnamento della matematica: i software GeoGebra e Mathematica.
Comandi per il calcolo simbolico e numerico, la visualizzazione di grafici, curve e superfici e la loro animazione al variare di parametri.
Esempi di problemi: proprietà dei triangoli nella geometria euclidea ed esempi di geometrie non euclidee, approssimazione di pi greco e di altri numeri irrazionali, soluzioni di equazioni e disequazioni, soluzioni di sistemi, determinazione e visualizzazione di particolari luoghi geometrici, derivata di una funzione, calcolo approssimato di aree.

Dispense del docente su un elenco di problemi da visualizzare e risolvere (simulando un laboratorio scolastico) con l'aiuto del software Mathematica o GeoGebra.

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Teoria dei fasci e suo utilizzo in ambito schematico

Prefasci e fasci, fascio associato a un prefascio, relazione tra iniettività e biettività sulle spighe
e analoghe proprietà sulle sezioni. La categoria degli spazi anellati. Schemi. Esempi. Prodotti
fibrati. Fasci algebrici su uno schema. Fasci quasi-coerenti e fasci coerenti.

Coomologia dei fasci

Algebra omologica nella categoria dei moduli su un anello. Fasci fiacchi.
La coomologia dei fasci utilizzando la risoluzione canonica con fasci fiacchi.

Coomologia dei fasci quasi-coerenti e coerenti su uno schema.

Coomologia di Cech e coomologia ordinaria. Coomologia dei fasci quasi-coerenti su uno schema affine. La coomologia dei fasci O(n) sullo spazio proiettivo. Fasci coerenti sullo spazio proiettivo. Caratteristica di Eulero-Poincaré.

Fasci invertibili e sistemi lineari

Incollamento di fasci. Fasci invertibili e loro descrizione. Il gruppo di Picard.
Morfismi in uno spazio proiettivo. Sistemi lineari.

Note Prof. Lopez, Prof. Sernesi
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes, Springer Verlag (2000).
U. Gortz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I, Viehweg + Teubner (2010).

PROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Piattaforma Moodle e-Learning del Dipartimento con materiale supplementare

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Argomenti Parte A

• Coordinate e Telescopi
• Elementi di Spettroscopia
• Stelle ed Evoluzione Stellare • Galassie
• Nuclei Galattici Attivi

Programma A

- Panoramica generale
- Coordinate celesti (1.3)
- Telescopi e potere risolutivo (6.1)
- Distanza di parallasse (3.1)
- Flusso, luminosità, magnitudini apparenti ed assolute, colori (3.2, 3.3, 3.6)
- Il corpo nero (3.4, 3.5)
- Diagramma di Hertzsprung-Russel (8.2)
- Ammassi aperti e globulari: posizione, popolazioni stellari e diagramma HR (13.3)
- Nane bianche, Novae e SuperNovae (cenni in 15 e 16)
- La classificazione delle galassie (24.1)
- La curva di rotazione delle galassie e la materia oscura (25.3)
- Il centro della Galassia ed il suo Black Hole (25.4)
- Legge di Hubble ed espansione dell’Universo (27.2)
- Probabilità di collisione tra stelle e tra galassie (dispense)
- Buchi Neri: cenni di Relatività Generale (cenni nel 17)
- Nuclei Galattici Attivi (28.1, 28.2, 28.3)

Argomenti Parte B

• Struttura ed evoluzione stellare
• Elementi di Spettroscopia
• Distanze ed espansione dell’Universo • Galassie
• GRB e onde gravitazionali

Programma B

- Dischi di Accrescimento ed emissione X nei Nuclei Galattici Attivi (28.2)
- Stelle di Neutroni e Pulsars (cenni in 16.6, 16.7)
- Gamma Ray Bursts (dispense)
- Onde Gravitazionali (dispense)
- Spettroscopia: eq. di Boltzmann-eccitazione e di Saha-ionizzazione (8.1)
- Spettroscopia: misure di velocità, temperatura e densità (8.5)
- Eq. di struttura delle stelle, tempo e instabilità di Kelvin-Helmholtz (11.1-4)
- Le reazioni nucleari dell’idrogeno (11.3)
- Massa di Jeans del collasso gravitazionale, tempo di free-fall e Initial Mass Function (12.2, 12.3)
- La Via Lattea (25.1, 25.2)
- La metallicità (25.2)
- Transito di Venere e misura della distanza Terra-Sole (dispense)
- Scala delle distanze (27.1)
- Legge di Hubble, espansione dell’Universo (27.2)
- Gruppo Locale, Ammassi di Galassie, Struttura su Larga Scala dell’Universo (27.3)
- Il Big Bang e la radiazione di fondo (brevi cenni in 29.2 e dispense)


Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics II ed.- B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley” (copie delle edizioni precedenti sono disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo). Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

La copia delle dispense lezioni può essere scaricata dal sito web del corso.

Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics, II ed. - B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley ” (copie disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo. Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

1. I temi della logica
2. Logica classica: proposizioni, dimostrazioni
3. Logica classica: connettivi
4. Logica classica: tipi, variabili, quantificatori
5. Logica classica del primo ordine
6. Classi e insiemi
7. Codificazione, digitalizzazione, algebra di Boole
8. Macchina di Turing
9. Assiomatizzazione e formalizzazione della logica classica del primo ordine
10. La logica e le altre discipline

V. Michele Abrusci, LOGICA - Lezioni di primo livello, Quarta edizione, Wolters Kluwer, 2018

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546

1. Problemi di ottimizzazione e di ottimizzazione combinatoria. Enumerazione delle soluzioni.
2. Fondamenti di analisi degli algoritmi. Trattabilità computazionale. Ordine asintotico di crescita.
3. Grafi. Connettività ed attraversamento. Bipartizioni. Connettività in grafi diretti. Grafi diretti aciclici ed ordinamento topologico.
4. Algoritmi avidi. Schedulazione di intervalli. Caching ottimo. Cammini minimi in un grafo. Albero ricoprente a costo minimo.
5. Divide et impera. Il mergesort. Conteggio di inversioni. Coppia di punti più vicina.
6. Programmazione dinamica. Schedulazione di intervalli pesati. Principi della programmazione dinamica. Somme di sottoinsiemi e problema della bisaccia. Cammini minimi tra tutte le coppie. Cammini minimi e protocollo basato su vettori delle distanze.
7. Flussi di rete. Flusso massimo e algoritmo di Ford-Fulkerson. Flussi massimi e tagli minimi in una rete. Cammini aumentanti. Abbinamenti bipartiti. Cammini disgiunti in grafi diretti e non diretti.
8. Intrattabilità computazionale. Riduzioni tempo-polinomiali. Riduzioni attraverso "gadget". Certificazione efficiente e definizione di NP. Problemi NP-completi. Problemi di copertura, impaccamento, partizionamento, sequenziamento, numerici. Altri esempi.

Jon Kleinberg, Eva Tardos. Algorithm Design. Pearson Education, 2013.

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Testo principale: D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

1. Introduzione al corso
2. Lab: Bash, Python
3. Modelli continui per la dinamica delle popolazioni: exponential growth, logistic growth
4. Dinamica nonlineare: punti di equilibrio e stabilità, phase portrait, linearizzazione, biforcazione
5. Lab:Introduzione al Python
6. Modelli continui per la dinamica delle popolazioni: insect outbreak (modello di Ludwig)
7. Lab: metodo di Eulero e Runge-Kutta per l'integrazione numerica di ODE, caso esponenziale e logistico, streamplot Lab: studio del modello di insect outbreak e del modello Lotka-Volterra
8. Modelli Epidemici SIS e SIR con ODE
9. Lab: analisi dei sistemi SIS e SIR: confronto ODE vs Networks
10. Introduzione alle Reti e modello di grafo Random
11. Modello di Erdos-Renyii e epidemi sulle reti
12. Epidemia SIR tramite bond percolation su reti di tipo ER
13. Epidemie sulle reti il Configuration Model
14. Lezione-Seminario con PhD. Stefano Guarino "Metodi numerici per il calcolo della threshold epidemica"
15. Crash course on Biology 1
16. Lab: esempi/esercizi di epidemie sulle reti ER, CM, reali
17. Lab: introduzione agli algoritmi - algoritmi sulle reti (BFS, APSP)
18. Crash course on Biology 2
19. Crash course on Biology 3,
20. Lab: introduzione agli algoritmi
21. DNA Sequencing Techniques, Sanger, NGS
22. Whole genome Sequencing, grafi Euleriani ed Hamiltoniani
23. Whole genome Sequencing via grafi di De Brujin
24. Algoritmi di String searching, Knuth-Morris-Pratt
25. Confronto di Sequenze, distanza tra sequenze, matrici PAM e Blosum
26. Lab: introduzione a BLAST e implementazione di KMP
27. Algoritmi di allinemamento pairwise, programmazione dinamica, Needlman-Wunsch, BLAST
28. Allinemamento globale e locale, Smith-Waterman, BLAST
29. Lab: KMP, BLAST
30. Allineamenti multipli (Durbin cap. 6)
31. Algoritmi di allinemanto e Analisi Filogenetica, Alberi filogenetici, UPGMA, Neighbour-Join (Durbin cap. 7)

• Python:https://github.com/steguar/DAIL/blob/main/Lecture_1/Lecture_1_Python_crash_ course.ipynb
• Mathematical Biology, J.D. Murray (Population models - Epidemic models)
• Population Ecologies: First Principles Deborah Goldberg and John H.Vandermeer
(Simple population models, CAP1)
• Non Linear Dynamics and Chaos, S. Strogatz (Stability of dynamical systems)
• Computational Physics, M. Newman (Euler and RK methods)
• Networks, M. Newman (ER and CM random graphs, Epidemics on Networks)
• Understanding Bioinformatics, Marketa Zvelebil & Jeremy O. Baum
• Biological sequence analysis, R. Durbin et al. (CAP 1,2,6,7)
• Bioinformatics Algorithms: an Active Learning Approach, Pavel A. Pevzner and Phillip Compeau
• Bioinformatics - an Introduction, Jeremy Ramsden
• Understanding Bioinformatics, Marketa Zvelebil, Jeremy O. Baum
• Biological Sequence Analysis: Probabilistic Models of Proteins and Nucleic Acids
• Statistical Methods in Bioinformatics, An Introduction, Warren J. Ewens , Gregory Grant

PROCESSI STOCASTICI, MOTO BROWNIANO, INTEGRALI STOCASTICI, EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE. FORMULA DI ITO. FORMULE DI FEYNMANN-KAC E APPLICAZIONI. TEMPI DI MARKOV E SOLUZIONE PROBABILISTICA DEL PROBLEMA DI DIRICHLET.

P. Morters, Y. Peres: Bronian Motion, Cambridge 2010
T. Liggett, Continuous time Markov processes: an introduction, AMS 2010
L.C. Evans:Introduction to stochastic differential equations, AMS 2014,
J.F. Le Gall: Brownian motion, martingales, and stochastic calculus, Springer 2016

Anelli degli interi in campi di numeri.
Fattorizzazione unica degli ideali negli anelli degli interi.
Gruppo delle classi.
Gruppo delle unità.
Ultimo Teorema di Fermat per primi regolari
Campi locali.

Dispense del Docente.
Marcus, D. Number fields, 3rd Ed Springer-Verlag. 1977.
Samuel, P. Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris. 1971.
Schoof, R. Algebraic Number Theory, dispense Università di Roma Tor Vergata, 2003.
Milne, J. Algebraic Number Theory, Lecture Notes, 2017.

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

Dispense a cura del docente

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Mappe razionali e morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche. Varietà localmente fattoriali e varietà normali; normalizzazione.
Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

1) R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
2) I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
3) J. Harris, Algebraic geometry (a first course), Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
4) Note del corso di Lucia Caporaso

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Calcolo in spazi di Banach, derivazione, Teorema della Funzione Implicita;
Teoria della biforcazione, metodo di Ljapunov-Schmidt;
Esistenza di soluzioni di energia minima, coercività, semi-continuità inferiore;
Teorema di passo montano, soluzioni di tipo sella;
Grado topologico, Teoremi di Linking;
Categoria di Ljusternik-Schnirelmann, esistenza di infinite soluzioni.

A. Ambrosetti, A. Malchiodi - "Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problem" - Cambridge
P. Rabinowitz - "Minimax methods in critical point theory with application to differential equations" - American Mathematical Society

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

I. Teoria elementare (Incluso: Numeri complessi e piano complesso. Convergenza. Insiemi nel piano complesso. Funzioni sul piano complesso. Funzioni continue. Funzioni olomorfe. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve).
II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni (Incluso: teorema di Goursat; formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz). Il teorema di Cauchy in domini semplicemente connessi.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo (Incluso: zeri e poli; singolarità isolate. Principio dell'argomento. Teorema di Rouché).
IV. Trasformazioni conformi (Incluso: mappe elementari e trasformazioni lineari fratte); teorema della mappa di Riemann.
V. Serie di Laurent; fratti parziali e prodotti canonici.

[S] Complex Analysis. Elias M. Stein, Rami Shakarchi Princeton University Press 2003, ISBN 10: 1400831156 / ISBN 13: 9781400831159

[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974.

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

I parte. Elementi di teoria ergodica.
Partizioni. Frequenze di visita e moti simbolici. Moti quasi-periodici e proprietà ergodiche.
Teorema di Birkhoff. Sistemi ergodici e sistemi mescolanti. Potenziali e loro energie.
Misure di Gibbs: esistenza e unicità. Misure di Gibbs su Z_+.
Proprietà variazionali delle misure di Gibbs. Applicazioni espansive sull'intervallo.

II parte. Sistemi iperbolici.
Sistemi iperbolici. Sistemi di Anosov. Esempio del gatto di Arnold. Pavimenti di Markov.
Dinamica simbolica per sistemi iperbolici. Codifica della misura di volume e
della sua restrizione a Z_+. Foliazioni stabili e instabili. Misura SRB.
Stabilità strutturale e perturbazioni del gatto di Arnold.
Serie perturbative e tecniche diagrammatiche per la funzione di coniugazione
e per i coefficienti di espansione e di contrazione. Gatti di Arnold accoppiati.

III parte. Sincronizzazione in sistemi caotici.
Sistemi parzialmente iperbolici in presenza di interazioni dissipative.
Costruzione di un attrattore locale, coniugazione con il sistema linearizzato
e calcolo degli esponenti di Ljapunov. Studio delle correlazioni.

G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile
Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion
Springer, Berlin, 2004.

Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Topologia e Geometria delle Superfici – Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loro orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno, teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare. Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale, applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali. Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’: curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali `e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’: punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo. Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.

Testi consigliati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sulla bacheca elettronica del corso

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Mappe razionali e morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche. Varietà localmente fattoriali e varietà normali; normalizzazione.
Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

1) R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
2) I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
3) J. Harris, Algebraic geometry (a first course), Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
4) Note del corso di Lucia Caporaso

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure, osservabili e relazione di indeterminazione. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger. Problemi unidimensionali. Parità. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

ITALIANO

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Zanichelli

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

§I. Teoria relativistica dei campi

Il gruppo di Poincaré. Simmetrie globali e simmetrie locali. Primo e secondo teorema di Noether e leggi di conservazione. I tensori canonici energia-impulso e momento angolare. Improvements. Argomento di Belinfante e tensore energia-impulso simmetrico. Simmetrie locali e grandezze conservate.

§II. La gravità come teoria di campo relativistica

Particelle e campi in Relatività Speciale. Rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincaré: metodo delle rappresentazioni indotte. Particelle a massa nulla: ISO(D-2) gruppo di stabilità e invarianza di gauge. Ricostruzione della Relatività Generale. Lagrangiana di Fierz-Pauli. Metodo di Nöther e costruzione perturbativa dei vertici. Costruzione di Nöther della lagrangiana di Yang-Mills. Il vertice cubico gravitazionale trasverso e traceless. Principio di Equivalenza di Weinberg dall'invarianza relativistica della matrice S. Spin e segno delle forze statiche.

§III. Elementi di geometria differenziale

Spazi topologici. Varietà. Diffeomorfismi. Spazi tangenti e vettori. Basi coordinate. Operatori derivativi su varietà. Connessione di Levi-Civita. Torsione. Forme differenziali: definizione, prodotto esterno, derivate ​​interna ed esterna duale di Hodge. Derivata di Lie e formula di Cartan. Teoria di Yang-Mills nel linguaggio delle forme. Tensore di Weyl. Tensori di Riemann e Weyl in varie dimensioni: conteggio delle componenti per irreps di GL(D). Trasformazioni conformi del tensore metrico. Spazi conformemente piatti. Campi scalari accoppiati in modo conforme.

§IV. Formulazione di Cartan-Weyl e accoppiamento minimale di fermioni alla gravità

Sistemi inerziali locali. Il vielbein. Trasformazioni di Lorentz locali. La connessione di spin. Il postulato del vielbein. Vincolo di torsione e formulazione del secondo ordine. Contorsione. Curvatura di Lorentz. Gravità come teoria di gauge dell'algebra di Poincaré. Connessione sull'algebra di Poincaré. Trasformazioni di Poincaré locali. Torsione e curvatura sull'algebra di Poincaré. Formulazione del primo ordine e azione di Cartan-Weyl. Relazione tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi. Spinori su varietà curve. Materia fermionica minimamente accoppiata. Lagrangiana di Dirac.

§V. Spazi massimamente simmetrici

Spazi omogenei e isotropi. Caratterizzazione di spazi massimamente simmetrici: costante di curvatura e segnatura. MSS come soluzioni di vuoto delle equazioni di Einstein con costante cosmologica. Costruzione da immersione in spazi pseudolorentziani in dimensione D+1: metrica e coefficienti di Christoffel.

§ VI. Il buco nero di Schwarzschild

Spazi a simmetria sferica. La soluzione di Schwarzschild. Il teorema di Birkhoff. Singolarità, definizioni e criteri: singolarità di curvatura e incompletezza geodetica. Caduta libera verso l'orizzonte. Le coordinate della tartaruga. Estensione di uno spazio-tempo. Coordinate di Eddington-Finkelstein. Orizzonte degli eventi, buchi neri e buchi bianchi. Coordinate di Kruskal-Szekeres. Estensione massimale della soluzione di Schwarzschild. Diagramma di Kruskal e buchi neri eterni. (A)dS-Schwarzschild.

§ VII. Buchi neri più generali

Diagrammi conformi. Orizzonti degli eventi. Buchi neri di Reissner-Nordström e di Kerr. Termodinamica dei buchi neri.

§ VII. Energia gravitazionale

Grandezze conservate nelle teorie di gauge: l'esempio della teoria di Yang-Mills. Conservazione covariante e conservazione ordinaria. Equazioni di Einstein-Hilbert per metriche asintoticamente piatte. Il tensore energia-impulso gravitazionale. Il superpotenziale. Energia e quantità di moto nella formulazione ADM. Esempio: energia ADM della soluzione di Schwarzschild. Il teorema dell'energia positiva (senza dimostrazione). Background generico con vettori di Killing. Radiazione di quadrupolo.

§VIII. Simmetrie asintotiche

Nozione generale di gruppo di simmetria asintotica. L'esempio della teoria di Maxwell nello spazio piatto. Formalismo dello spazio delle fasi covariante. Spaziotempo asintoticamente piatto e supertraslazioni di Bondi-van der Burg-Metzner-Sachs. Applicazioni: teoremi soffici ed effetti memoria.

Nota: alcuni argomenti possono essere assegnati come problemi, come alternativa all'esame orale

-Carroll S, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley 2014/Cambridge University Press, 2019)
-Wald R, General Relativity (The University of Chicago Press, 1984)
-Weinberg S, Gravitation and Cosmology - principles and applications of the general theory of relativity, (John Wiley \& Sons, 1972)

Lo scopo del corso è fornire allo studente gli elementi cognitivi generali che sottendono alla realizzazione di sistemi di acquisizione, controllo e monitoraggio degli esperimenti di Fisica Nucleare e Subnucleare.
Il corso è articolato sui seguenti argomenti:
- Introduzione ai sistemi di DAQ
- Parallelismo e Pipelining
- Derandomizzazione
- DAQ e Trigger
- Trasmissione Dati
- Front End Electronics
- Trigger
- Architettura Sistemi di Calcolo
- Sistemi Real Time
- Real Time Operating Systems
- Linguaggio C
- Linguaggio HDL rudimenti e simulazione
- Protocolli di Rete TCP/IP
- Achitetture DAQ
- Event Building
- VME Bus
- Run Control
- Farming
- Archiviazione Dati

Dispense preparate dal docente sulla base delle slide presentate a lezione, disponibili sul sito Moodle predisposto dall'Ateneo:
https://matematicafisica.el.uniroma3.

Architetture parallele inclusi sistemi a memoria condivisa, a memoria distribuita e GPGPU
Pattern per la programmazione parallela: problemi embarassingly parallel; work farm; partitioning; reduce; stencil
Valutazione delle prestazioni di programmi paralleli: speedup, efficienza, scalabilità
Programmazione di architetture a memoria condivisa con OpenMP
Programmazione di architetture a memoria distribuita con MPI
Programmazione di GPU con CUDA
Cenni a Linguaggi di Programmazione innovativi per HPC (OpenACC, Rust + libraries, SIMD, OpenCL, ...)

Peter Pacheco, Matthew Malensek, An Introduction to Parallel Programming, 2nd ed., Morgan Kaufmann, 2021, ISBN 9780128046050

CUDA C++ programming guide

Appunti del docente - Slide del corso a cura del docente

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Appunti del docente - Slide del corso a cura del docente

- Curve affini e proiettive
- Cubiche e curve ellittiche
- Legge di gruppo e equazioni di curve ellittiche
- Isogenie
- Punti di torsione
- Curve ellittiche su campi finiti e il teorema di Hasse
- Richiami di Crittosistemi simmetrici e a chiave pubblica
- Algoritmi sulle curve ellittiche: Double and Add e l'algoritmo di Schoof
- Algoritmi di chiave pubblica e firma digitale su curve ellittiche
- Pairing di Weil e Identity based elliptic cryptosystems

Dispense del Docente

1. Apprendimento automatico. Tipi di apprendimento. Funzioni di costo. Minimizzazione del rischio empirico. Generalizzazione ed overfitting.
2. Ottimizzazione di modelli. Funzioni convesse. Discesa del gradiente. Discesa stocastica del gradiente.
3. Regressione. Regressione lineare. Basi di funzioni. Selezione dei predittori. Regolarizzazione.
4. Classificazione. Modelli generativi. Nearest neighbor. Regressione logistica. Support vector machines. Reti neurali.
5. Combinazione di modelli. Alberi di decisione. Boosting. Bagging.
6. Apprendimento non supervisionato. Clustering K-means. Clustering gerarchico. Analisi delle componenti principali.
7. Applicazione dei metodi nel linguaggio di programmazione Python. Esempi d'uso delle librerie NumPy, Pandas, SciKit-Learn, e TensorFlow.

J. Watt, R. Borhani, A. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge University Press, 2nd edition, 2020.

Variabili casuali e la loro distribuzione, funzione generatrice dei momenti, media varianza e covarianza.
Modello di campionamento casuale e modello statistico.
Statistica: concetto, esempi, statistica sufficiente e minimale.
Stimatori puntuali: definizione e propriet`a desiderata, mo- menti, massima verosimiglianza e Bayes.
Metodi computazionali: Newton-Raphson, algoritmo EM
Migliorare uno stimatore: Rao-Blackwell, stimatore UMVU, statistica completa, Lehman-Scheff ́e II e Cramer- Rao
Intervalli di confidenza: intuitivo, quantit`a pivotale, IC per Bayes e IC asintotico.
Verifica d’ipotesi: rapporto di verosimiglianza, test via quantit`a pivotale (test Z e T), dualit`a con IC, test UMP, Neyman-Pearson e Karlin-Rubin.
Metodi non parametrici: goodness-of-fit, tabella di contingenza, Kolmogorov-Smirnov e test tramite graduatoria.
Analisi della varianza (ANOVA) e test F.
Regressione: lineare, lineare multipla, lineare generalizzata e Logistica/Poisson

Introduzione alla Statistica, S.M. Ross, Apogeo - Maggioli Editore.

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

Introduzione alla crittografia. Cenni storici. Definizione di crittosistema. Cifrari classici. Introduzione alla crittoanalisi.
Introduzione alla crittografia a chiave pubblica.
Il crittosistema RSA.
Test di primalità.
Algoritmi di fattorizzazione.
Alcuni attacchi all'RSA.
Il problema del logaritmo discreto. Scambio della chiave di Diffie-Hellman.
Il crittosistema di Elgamal.
il crittosistema di Massey-Omura.
Firma digitale.
Cenni su alcuni protocolli crittografici.

Baldoni, Ciliberto, Piacentini: Aritmetica, crittografia e codici
D. Stinson: Cryptography - theory and practice

La matematica nella scuola secondaria: programmi, nodi concettuali e nodi critici; la matematica dei matematici e la matematica per il cittadino.
Dall'esercizio al problem solving. Teorie didattiche e didatti. Guido e Emma Castelnuovo. Croce, Gentile e la matematica. Metodologie didattiche.
Legislazione scolastica

Battaglini Frank, Di Martino, Natalini, Rosolini "Didattica della matematica", Mondadori Università

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Calcolo in spazi di Banach, derivazione, Teorema della Funzione Implicita;
Teoria della biforcazione, metodo di Ljapunov-Schmidt;
Esistenza di soluzioni di energia minima, coercività, semi-continuità inferiore;
Teorema di passo montano, soluzioni di tipo sella;
Grado topologico, Teoremi di Linking;
Categoria di Ljusternik-Schnirelmann, esistenza di infinite soluzioni.

A. Ambrosetti, A. Malchiodi - "Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problem" - Cambridge
P. Rabinowitz - "Minimax methods in critical point theory with application to differential equations" - American Mathematical Society

Integrazione secondo Lebesgue in Rn, trasformata di Fourier, teoria delle equazioni differenziali

Luigi Chierchia, Analisi matematica due
Reed-Simon

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Elementi di Algebra Lineare: Spazi di Hilbert, Prodotti e prodotti tensore, matrici, spazi complessi e prodotto scalare, grafi, somma dei cammini nel grafo.

Funzioni booleane, quantum bits e fattibilità computazionale.

Matrici speciali: Hadamard Matrices, Fourier Matrices, Computazioni reversibili e matrici di permutazione, matrici diagonali, riflessioni.

Vettori di inizializzazione, controllo e copia di stati di base.

Algoritmi: Phil Algorithm, Deutsch’s Algorithm, Superdense Coding and Teleportation.
The Deutsch-Jozsa Algorithm. Simon’s Algorithm. Shor’s Algorithm, Quantum Part of the Algorithm, Analysis of the Quantum Part, Continued Fractions.
FactoringIntegers: Basic Number Theory, Periods Give the Order, Factoring.
Grover’s Algorithm: The binary case, the general case, with k Unknowns, Grover Approximate Counting.

Richard J. Lipton, Kenneth W. Regan Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, Second Edition, ISBN 9780262045254, (2021), MIT Press

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

I parte. Elementi di teoria ergodica.
Partizioni. Frequenze di visita e moti simbolici. Moti quasi-periodici e proprietà ergodiche.
Teorema di Birkhoff. Sistemi ergodici e sistemi mescolanti. Potenziali e loro energie.
Misure di Gibbs: esistenza e unicità. Misure di Gibbs su Z_+.
Proprietà variazionali delle misure di Gibbs. Applicazioni espansive sull'intervallo.

II parte. Sistemi iperbolici.
Sistemi iperbolici. Sistemi di Anosov. Esempio del gatto di Arnold. Pavimenti di Markov.
Dinamica simbolica per sistemi iperbolici. Codifica della misura di volume e
della sua restrizione a Z_+. Foliazioni stabili e instabili. Misura SRB.
Stabilità strutturale e perturbazioni del gatto di Arnold.
Serie perturbative e tecniche diagrammatiche per la funzione di coniugazione
e per i coefficienti di espansione e di contrazione. Gatti di Arnold accoppiati.

III parte. Sincronizzazione in sistemi caotici.
Sistemi parzialmente iperbolici in presenza di interazioni dissipative.
Costruzione di un attrattore locale, coniugazione con il sistema linearizzato
e calcolo degli esponenti di Ljapunov. Studio delle correlazioni.

G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile
Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion
Springer, Berlin, 2004.

I. Teoria elementare (Incluso: Numeri complessi e piano complesso. Convergenza. Insiemi nel piano complesso. Funzioni sul piano complesso. Funzioni continue. Funzioni olomorfe. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve).
II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni (Incluso: teorema di Goursat; formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz). Il teorema di Cauchy in domini semplicemente connessi.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo (Incluso: zeri e poli; singolarità isolate. Principio dell'argomento. Teorema di Rouché).
IV. Trasformazioni conformi (Incluso: mappe elementari e trasformazioni lineari fratte); teorema della mappa di Riemann.
V. Serie di Laurent; fratti parziali e prodotti canonici.

[S] Complex Analysis. Elias M. Stein, Rami Shakarchi Princeton University Press 2003, ISBN 10: 1400831156 / ISBN 13: 9781400831159

[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974.

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Anelli degli interi in campi di numeri.
Fattorizzazione unica degli ideali negli anelli degli interi.
Gruppo delle classi.
Gruppo delle unità.
Ultimo Teorema di Fermat per primi regolari
Campi locali.

Dispense del Docente.
Marcus, D. Number fields, 3rd Ed Springer-Verlag. 1977.
Samuel, P. Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris. 1971.
Schoof, R. Algebraic Number Theory, dispense Università di Roma Tor Vergata, 2003.
Milne, J. Algebraic Number Theory, Lecture Notes, 2017.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

PROCESSI STOCASTICI, MOTO BROWNIANO, INTEGRALI STOCASTICI, EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE. FORMULA DI ITO. FORMULE DI FEYNMANN-KAC E APPLICAZIONI. TEMPI DI MARKOV E SOLUZIONE PROBABILISTICA DEL PROBLEMA DI DIRICHLET.

P. Morters, Y. Peres: Bronian Motion, Cambridge 2010
T. Liggett, Continuous time Markov processes: an introduction, AMS 2010
L.C. Evans:Introduction to stochastic differential equations, AMS 2014,
J.F. Le Gall: Brownian motion, martingales, and stochastic calculus, Springer 2016

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Testo principale: D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

1. Problemi di ottimizzazione e di ottimizzazione combinatoria. Enumerazione delle soluzioni.
2. Fondamenti di analisi degli algoritmi. Trattabilità computazionale. Ordine asintotico di crescita.
3. Grafi. Connettività ed attraversamento. Bipartizioni. Connettività in grafi diretti. Grafi diretti aciclici ed ordinamento topologico.
4. Algoritmi avidi. Schedulazione di intervalli. Caching ottimo. Cammini minimi in un grafo. Albero ricoprente a costo minimo.
5. Divide et impera. Il mergesort. Conteggio di inversioni. Coppia di punti più vicina.
6. Programmazione dinamica. Schedulazione di intervalli pesati. Principi della programmazione dinamica. Somme di sottoinsiemi e problema della bisaccia. Cammini minimi tra tutte le coppie. Cammini minimi e protocollo basato su vettori delle distanze.
7. Flussi di rete. Flusso massimo e algoritmo di Ford-Fulkerson. Flussi massimi e tagli minimi in una rete. Cammini aumentanti. Abbinamenti bipartiti. Cammini disgiunti in grafi diretti e non diretti.
8. Intrattabilità computazionale. Riduzioni tempo-polinomiali. Riduzioni attraverso "gadget". Certificazione efficiente e definizione di NP. Problemi NP-completi. Problemi di copertura, impaccamento, partizionamento, sequenziamento, numerici. Altri esempi.

Jon Kleinberg, Eva Tardos. Algorithm Design. Pearson Education, 2013.

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F Cesarone (2020), Computational Finance. MATLAB oriented modeling, Routledge-Giappichelli Studies in Business and Management, ISBN 978-0-367-49303-5
https://www.giappichelli.it/computational-finance

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1

S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica sotto la pagina del corso

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso

Materiale supplementare distribuito dal docente

Uso di programmi didattici nell'insegnamento della matematica: i software GeoGebra e Mathematica.
Comandi per il calcolo simbolico e numerico, la visualizzazione di grafici, curve e superfici e la loro animazione al variare di parametri.
Esempi di problemi: proprietà dei triangoli nella geometria euclidea ed esempi di geometrie non euclidee, approssimazione di pi greco e di altri numeri irrazionali, soluzioni di equazioni e disequazioni, soluzioni di sistemi, determinazione e visualizzazione di particolari luoghi geometrici, derivata di una funzione, calcolo approssimato di aree.

Dispense del docente su un elenco di problemi da visualizzare e risolvere (simulando un laboratorio scolastico) con l'aiuto del software Mathematica o GeoGebra.

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Teoria dei fasci e suo utilizzo in ambito schematico

Prefasci e fasci, fascio associato a un prefascio, relazione tra iniettività e biettività sulle spighe
e analoghe proprietà sulle sezioni. La categoria degli spazi anellati. Schemi. Esempi. Prodotti
fibrati. Fasci algebrici su uno schema. Fasci quasi-coerenti e fasci coerenti.

Coomologia dei fasci

Algebra omologica nella categoria dei moduli su un anello. Fasci fiacchi.
La coomologia dei fasci utilizzando la risoluzione canonica con fasci fiacchi.

Coomologia dei fasci quasi-coerenti e coerenti su uno schema.

Coomologia di Cech e coomologia ordinaria. Coomologia dei fasci quasi-coerenti su uno schema affine. La coomologia dei fasci O(n) sullo spazio proiettivo. Fasci coerenti sullo spazio proiettivo. Caratteristica di Eulero-Poincaré.

Fasci invertibili e sistemi lineari

Incollamento di fasci. Fasci invertibili e loro descrizione. Il gruppo di Picard.
Morfismi in uno spazio proiettivo. Sistemi lineari.

Note Prof. Lopez, Prof. Sernesi
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes, Springer Verlag (2000).
U. Gortz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I, Viehweg + Teubner (2010).

PROGRAMMA DEL CORSO: i numeri tra parentesi fanno riferimento al capitolo e paragrafo del libro di testo adottato

Teoria cinetica. Equazione di Boltzmann. Teorema H. (1, Par.2.1,2.2,2.3,2.4)
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. (1, Par. 2.5)
Spazio delle fasi e Teorema di Liouville. (1, Par. 3.1,3.2)
Ensembles di Gibbs. Ensemble microcanonico.Entropia. (1, Par. 3.3,3.4)
Gas perfetto nell'ensemble microcanonico.(1, Par. 3.6)
Teorema di equipartizione. (1, Par. 3.5)
Ensemble canonico. (1, Par.4.1).
Funzione di partizione ed energia libera. Fluttuazioni di energia. (1 Par. 4.4)
Ensemble grancanonico. Granpotenziale. Il gas perfetto nell'ensemble grancanonico (1 Par. 4.3).
Fluttuazioni del numero di particelle.(1 Par. 4.4)
Teoria classica della risposta lineare e teorema di fluttuazione-dissipazione. (1, Par. 8.4).
Teoria del moto Browniano di Einstein e Langevin. (Par. 1 par. 11.1,11.2).
Teoria del rumore termico di Johnson-Nyquist. (1 Par. 11.3).
Meccanica Statistica quantistica e matrice densita'. (1, Par. 6.2,6.3,6.4)
Statistiche quantistiche di Fermi-Dirac e Bose-Enstein ( 1, Par. 7.1)
Il gas di Fermi. Sviluppo di Sommerfeld. Calore specifico elettronico. (1, Par. 7.2)
Il gas di Bose. Condensazione di Bose-Einstein. (1, Par. 7.3)
Teoria della radiazione di corpo nero.(1, Par. 7.5)

Piattaforma Moodle e-Learning del Dipartimento con materiale supplementare

Testo di riferimento:
1) C. Di Castro and R. Raimondi, Statistical Mechanics and Applications in Condensed Matter, Cambridge University Press, 2015.

Argomenti Parte A

• Coordinate e Telescopi
• Elementi di Spettroscopia
• Stelle ed Evoluzione Stellare • Galassie
• Nuclei Galattici Attivi

Programma A

- Panoramica generale
- Coordinate celesti (1.3)
- Telescopi e potere risolutivo (6.1)
- Distanza di parallasse (3.1)
- Flusso, luminosità, magnitudini apparenti ed assolute, colori (3.2, 3.3, 3.6)
- Il corpo nero (3.4, 3.5)
- Diagramma di Hertzsprung-Russel (8.2)
- Ammassi aperti e globulari: posizione, popolazioni stellari e diagramma HR (13.3)
- Nane bianche, Novae e SuperNovae (cenni in 15 e 16)
- La classificazione delle galassie (24.1)
- La curva di rotazione delle galassie e la materia oscura (25.3)
- Il centro della Galassia ed il suo Black Hole (25.4)
- Legge di Hubble ed espansione dell’Universo (27.2)
- Probabilità di collisione tra stelle e tra galassie (dispense)
- Buchi Neri: cenni di Relatività Generale (cenni nel 17)
- Nuclei Galattici Attivi (28.1, 28.2, 28.3)

Argomenti Parte B

• Struttura ed evoluzione stellare
• Elementi di Spettroscopia
• Distanze ed espansione dell’Universo • Galassie
• GRB e onde gravitazionali

Programma B

- Dischi di Accrescimento ed emissione X nei Nuclei Galattici Attivi (28.2)
- Stelle di Neutroni e Pulsars (cenni in 16.6, 16.7)
- Gamma Ray Bursts (dispense)
- Onde Gravitazionali (dispense)
- Spettroscopia: eq. di Boltzmann-eccitazione e di Saha-ionizzazione (8.1)
- Spettroscopia: misure di velocità, temperatura e densità (8.5)
- Eq. di struttura delle stelle, tempo e instabilità di Kelvin-Helmholtz (11.1-4)
- Le reazioni nucleari dell’idrogeno (11.3)
- Massa di Jeans del collasso gravitazionale, tempo di free-fall e Initial Mass Function (12.2, 12.3)
- La Via Lattea (25.1, 25.2)
- La metallicità (25.2)
- Transito di Venere e misura della distanza Terra-Sole (dispense)
- Scala delle distanze (27.1)
- Legge di Hubble, espansione dell’Universo (27.2)
- Gruppo Locale, Ammassi di Galassie, Struttura su Larga Scala dell’Universo (27.3)
- Il Big Bang e la radiazione di fondo (brevi cenni in 29.2 e dispense)


Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics II ed.- B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley” (copie delle edizioni precedenti sono disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo). Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

La copia delle dispense lezioni può essere scaricata dal sito web del corso.

Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics, II ed. - B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley ” (copie disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo. Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

1. I temi della logica
2. Logica classica: proposizioni, dimostrazioni
3. Logica classica: connettivi
4. Logica classica: tipi, variabili, quantificatori
5. Logica classica del primo ordine
6. Classi e insiemi
7. Codificazione, digitalizzazione, algebra di Boole
8. Macchina di Turing
9. Assiomatizzazione e formalizzazione della logica classica del primo ordine
10. La logica e le altre discipline

V. Michele Abrusci, LOGICA - Lezioni di primo livello, Quarta edizione, Wolters Kluwer, 2018

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546

1. Problemi di ottimizzazione e di ottimizzazione combinatoria. Enumerazione delle soluzioni.
2. Fondamenti di analisi degli algoritmi. Trattabilità computazionale. Ordine asintotico di crescita.
3. Grafi. Connettività ed attraversamento. Bipartizioni. Connettività in grafi diretti. Grafi diretti aciclici ed ordinamento topologico.
4. Algoritmi avidi. Schedulazione di intervalli. Caching ottimo. Cammini minimi in un grafo. Albero ricoprente a costo minimo.
5. Divide et impera. Il mergesort. Conteggio di inversioni. Coppia di punti più vicina.
6. Programmazione dinamica. Schedulazione di intervalli pesati. Principi della programmazione dinamica. Somme di sottoinsiemi e problema della bisaccia. Cammini minimi tra tutte le coppie. Cammini minimi e protocollo basato su vettori delle distanze.
7. Flussi di rete. Flusso massimo e algoritmo di Ford-Fulkerson. Flussi massimi e tagli minimi in una rete. Cammini aumentanti. Abbinamenti bipartiti. Cammini disgiunti in grafi diretti e non diretti.
8. Intrattabilità computazionale. Riduzioni tempo-polinomiali. Riduzioni attraverso "gadget". Certificazione efficiente e definizione di NP. Problemi NP-completi. Problemi di copertura, impaccamento, partizionamento, sequenziamento, numerici. Altri esempi.

Jon Kleinberg, Eva Tardos. Algorithm Design. Pearson Education, 2013.

I principali teoremi dell'Analisi Funzionale.

H. Brezis, Analisi Funzionale.

1. Passeggiate aleatorie e Catene di Markov
Successioni di variabili aleatorie. Passeggiate aleatorie. Catene di Markov a tempo discreto e tempo continuo. Misura invariante, time-reversal e reversibilita'
2. Esempi e modelli classici.
Passeggiate aleatorie su grafi. Processi di nascita e morte. Processi di esclusione. Metodo Monte Carlo: algoritmi di tipo Metropolis e dinamiche di Glauber per il modello di Ising, colorazioni di un grafo e altri sistemi interagenti.
3. Convergenza all'equilibrio I. Distanza in variazione, tempi di mixing. Teoremi ergodici. Tecniche di accoppiamento. Tempi stazionari forti. Applicazioni al problema del “coupon collector” e al mescolamento di un mazzo di carte.
4. Convergenza all'equilibrio II. Gap spettrale e stime dei tempi di rilassamento. Disuguaglianza di Cheeger, conduttanza e metodo dei cammini. Metodo della “comparazione”. Gap spettrale per il processo di esclusione sul toro d-dimensionale. Convergenza all'equilibrio in termini di entropia e disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Esempi.
5. Altri argomenti scelti. Dinamica di Glauber per il modello di Ising: transizione di fase dinamica per il modello di campo medio e per il modello su reticolo. Il fenomeno del “cut- off”. Disuguaglianze di Sobolev logaritmiche e convergenza all'equilibrio. Algoritmi per la “simulazione perfetta”.

Testo principale: D. Levine, Y. Peres, E. Wilmer, Markov chains and mixing times.. AMS bookstore, (2009).

testo aggiuntivo: Luca Leuzzi, Enzo Marinari, Giorgio Parisi
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: un trattatello per principianti volenterosi

Preliminari: definizione di iper-superficie, integrazione su iper-superfici, il teorema della divergenza; l'equazione di Laplace: le disuguaglianze di valor medio, il principio del minimo e del massimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il metodo di Perron per il problema di Dirichlet.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger, Classics in Mathematics, Springer-Verlag
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p} (Ω). Operatori di prolungamento. Disuguaglianze di Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0 (Ω). Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti. Esistenza di soluzioni deboli. Regolarità delle soluzioni deboli.

"Analisi funzionale", H. Brézis, Liguori Editore
"Partial differential equations. Second edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society

1. Introduzione al corso
2. Lab: Bash, Python
3. Modelli continui per la dinamica delle popolazioni: exponential growth, logistic growth
4. Dinamica nonlineare: punti di equilibrio e stabilità, phase portrait, linearizzazione, biforcazione
5. Lab:Introduzione al Python
6. Modelli continui per la dinamica delle popolazioni: insect outbreak (modello di Ludwig)
7. Lab: metodo di Eulero e Runge-Kutta per l'integrazione numerica di ODE, caso esponenziale e logistico, streamplot Lab: studio del modello di insect outbreak e del modello Lotka-Volterra
8. Modelli Epidemici SIS e SIR con ODE
9. Lab: analisi dei sistemi SIS e SIR: confronto ODE vs Networks
10. Introduzione alle Reti e modello di grafo Random
11. Modello di Erdos-Renyii e epidemi sulle reti
12. Epidemia SIR tramite bond percolation su reti di tipo ER
13. Epidemie sulle reti il Configuration Model
14. Lezione-Seminario con PhD. Stefano Guarino "Metodi numerici per il calcolo della threshold epidemica"
15. Crash course on Biology 1
16. Lab: esempi/esercizi di epidemie sulle reti ER, CM, reali
17. Lab: introduzione agli algoritmi - algoritmi sulle reti (BFS, APSP)
18. Crash course on Biology 2
19. Crash course on Biology 3,
20. Lab: introduzione agli algoritmi
21. DNA Sequencing Techniques, Sanger, NGS
22. Whole genome Sequencing, grafi Euleriani ed Hamiltoniani
23. Whole genome Sequencing via grafi di De Brujin
24. Algoritmi di String searching, Knuth-Morris-Pratt
25. Confronto di Sequenze, distanza tra sequenze, matrici PAM e Blosum
26. Lab: introduzione a BLAST e implementazione di KMP
27. Algoritmi di allinemamento pairwise, programmazione dinamica, Needlman-Wunsch, BLAST
28. Allinemamento globale e locale, Smith-Waterman, BLAST
29. Lab: KMP, BLAST
30. Allineamenti multipli (Durbin cap. 6)
31. Algoritmi di allinemanto e Analisi Filogenetica, Alberi filogenetici, UPGMA, Neighbour-Join (Durbin cap. 7)

• Python:https://github.com/steguar/DAIL/blob/main/Lecture_1/Lecture_1_Python_crash_ course.ipynb
• Mathematical Biology, J.D. Murray (Population models - Epidemic models)
• Population Ecologies: First Principles Deborah Goldberg and John H.Vandermeer
(Simple population models, CAP1)
• Non Linear Dynamics and Chaos, S. Strogatz (Stability of dynamical systems)
• Computational Physics, M. Newman (Euler and RK methods)
• Networks, M. Newman (ER and CM random graphs, Epidemics on Networks)
• Understanding Bioinformatics, Marketa Zvelebil & Jeremy O. Baum
• Biological sequence analysis, R. Durbin et al. (CAP 1,2,6,7)
• Bioinformatics Algorithms: an Active Learning Approach, Pavel A. Pevzner and Phillip Compeau
• Bioinformatics - an Introduction, Jeremy Ramsden
• Understanding Bioinformatics, Marketa Zvelebil, Jeremy O. Baum
• Biological Sequence Analysis: Probabilistic Models of Proteins and Nucleic Acids
• Statistical Methods in Bioinformatics, An Introduction, Warren J. Ewens , Gregory Grant

PROCESSI STOCASTICI, MOTO BROWNIANO, INTEGRALI STOCASTICI, EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE. FORMULA DI ITO. FORMULE DI FEYNMANN-KAC E APPLICAZIONI. TEMPI DI MARKOV E SOLUZIONE PROBABILISTICA DEL PROBLEMA DI DIRICHLET.

P. Morters, Y. Peres: Bronian Motion, Cambridge 2010
T. Liggett, Continuous time Markov processes: an introduction, AMS 2010
L.C. Evans:Introduction to stochastic differential equations, AMS 2014,
J.F. Le Gall: Brownian motion, martingales, and stochastic calculus, Springer 2016

Anelli degli interi in campi di numeri.
Fattorizzazione unica degli ideali negli anelli degli interi.
Gruppo delle classi.
Gruppo delle unità.
Ultimo Teorema di Fermat per primi regolari
Campi locali.

Dispense del Docente.
Marcus, D. Number fields, 3rd Ed Springer-Verlag. 1977.
Samuel, P. Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris. 1971.
Schoof, R. Algebraic Number Theory, dispense Università di Roma Tor Vergata, 2003.
Milne, J. Algebraic Number Theory, Lecture Notes, 2017.

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

Dispense a cura del docente

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

1. Teoria atomica e struttura dell’atomo. Atomi, molecole, moli; peso atomico e peso molecolare. Atomo di Rutherford, atomo di Bohr, teoria quantistica, numeri quantici e livelli energetici; atomi polielettronici, sistema periodico.

2. Legame chimico. Legame ionico. Legame covalente: Legame σ e legame π. Molecole poliatomiche. Struttura molecolare. Ibridizzazione e risonanza. Orbitale molecolare. Legame metallico. Forze intermolecolari.

3. Nomenclatura. Ossidi, idrossidi, acidi, sali, ioni.

4. Reazioni Chimiche. Bilanciamento delle reazioni chimiche.

5. Stati di aggregazione. Stato gassoso e leggi dei gas.

6. Termodinamica. Materia, energia, calore. Primo e secondo principio. Entalpia, entropia, energia libera.

7. Stato solido: solidi ionici, molecolari, metallici, covalenti. Conduttori, semiconduttori, isolanti.

8. Liquidi ed amorfi. Cambiamenti di stato e diagrammi di stato.

9. Soluzioni. Concentrazione delle soluzioni. Proprietà colligative. Soluzioni di elettroliti.

10. Cinetica chimica. Velocità delle reazioni chimiche. Costante di velocità. Influenza della temperatura sulla velocità: equazione di Arrhenius. Catalizzatori.

11. Equilibrio chimico. Costante di equilibrio e costanti di velocità. Costante di equilibrio ed energia libera. Equilibri in fase gassosa ed eterogenea. Principio di Le Chatelier. Equazione di Van’t Hoff.

12. Equilibri in soluzione. Equilibri acido base: Acidi e basi, pH, costanti di dissociazione, acidi poliprotici, idrolisi, tamponi; titolazioni acido-base, indicatori.

13. Equilibri di precipitazione: solubilità e prodotto di solubilità, effetto dello ione a comune.

14. Elettrochimica. Pile, potenziali elettrodici, equazione di Nernst.

15. Laboratorio. Titolazioni acido-base e misure di pH.

Sugli argomenti svolti verranno effettuate nel corso delle lezioni esercitazioni numeriche.
Sono previste due esercitazioni di laboratorio che si svolgeranno nei locali del CeDiC (Via della Vasca Navale 79).

M. Schiavello, L. Palmisano “Fondamenti di Chimica”. EdiSES
P. Giannoccaro, S. Doronzo “Elementi di Stechiometria” EdiSES
Periodic Table
Diapositive e dispense online

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.

[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.