Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche.
Teorema di Bertini.

I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Teoremi di esistenza ed unicita' locali, tempi di esistenza e prolungamenti. Fughe dai compatti. Teoremi di confronto. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali. Comportamento dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Forma canonica di Jordan.
Funzioni differenziabili su uno spazio di Banach. Il Teorema della Funzione Implicita. Applicazioni alla ricerca di asoluzioni periodiche. Decomposizione di Lyapunov Schmidt. Teorema di Hopf. Dipendenza Ck daIDATI INIZIALI. Il teorema della scatola di flusso. Cambiamentidi coordinate generati dal flusso di un campo vettoriale. L'esponenziale di Lie. Forma normale di Poincare.

Note del docente.
Chierchia Analisi Matematica 2

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Equazione delle onde, equazione del calore, Introduzione alla meccanica quantistica

W. Craig, A Course on Partial Differential Equations - American Mathematical Society (2018)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Equazione delle onde, equazione del calore, Introduzione alla meccanica quantistica

W. Craig, A Course on Partial Differential Equations - American Mathematical Society (2018)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche.
Teorema di Bertini.

I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Teoremi di esistenza ed unicita' locali, tempi di esistenza e prolungamenti. Fughe dai compatti. Teoremi di confronto. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali. Comportamento dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Forma canonica di Jordan.
Funzioni differenziabili su uno spazio di Banach. Il Teorema della Funzione Implicita. Applicazioni alla ricerca di asoluzioni periodiche. Decomposizione di Lyapunov Schmidt. Teorema di Hopf. Dipendenza Ck daIDATI INIZIALI. Il teorema della scatola di flusso. Cambiamentidi coordinate generati dal flusso di un campo vettoriale. L'esponenziale di Lie. Forma normale di Poincare.

Note del docente.
Chierchia Analisi Matematica 2

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Il corso consta di lezioni frontali e di esercitazioni pratiche al computer.
Linguaggi di programmazione: Il linguaggio principale del corso è C.

• Introduzione al linguaggio C
• Introduzione al calcolo ad elevate prestazioni (HPC)
• Concetti base: architetture hardware e gerarchie di memorie
• Schemi di parallelizzazione: strategie differenti per problemi differenti
• Misure dell’efficienza e della performance: teoria e benchmark di codice parallelo
• Calcolo parallelo con MPI: Message Passing Interface
• Calcolo parallelo con OpenMP: Open Multiprocessing
• Input/Output parallelo
• Introduzione al calcolo su unità di elaborazione grafica (GPGPU computing) ed al linguaggio OpenCL

Le esercitazioni sono parte integrante del corso.

Introduction to Parallel Computing: From Algorithms to Programming on State-of-the-Art Platforms. Trobec, Slivnik, Bulić, Robič, Springer

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Introduzione e generalita'; Cosa e' l'apprendimento automatico; definizioni; apprendimento supervisionato e non supervisionato; la regressione ed il clustering;
Regressione lineare univariata; rappresentazione; la funzione ipotesi; la scelta dei parametri della funzione ipotesi; la funzione costo; l'algoritmo Gradient Descent; la scelta del parametro alpha;
Regressione lineare multivariata; notazione vettoriale della funzione ipotesi e della funzione costo; algoritmo Gradient Descent per la multivariata; notazione matriciale; feature scaling and normalization; polynomial regression; la Normal Equation per la regressione multivariata; note finali sul confronto dell'algoritmo Gradient Descent e il calcolo della Normal Equation;
La Regressione Logistica; la classificazione binaria; rappresentazione delle ipotesi; la funzione logistica; il decision boundary; la funzione costo per la regressione logistica; l'algoritmo della discesa del gradiente per la regressione logistica; derivazione analitica del gradiente della funzione costo per la regressione logistica; note sulla implementazione in Octave della funzione costo e dell'algoritno della discesa del gradiente nel caso della regressione logistica; considerazioni sui metodi di ottimizzazione avanzati; classificazione multi-classe; il metodo one-vs-all;
La regolarizzazione; il problema dell'overfitting/underfitting (ovvero high variance/high bias); modifica della funzione costo; il parametro di regolarizzazione; regolarizzazione della regressione lineare; l'algoritmo della discesa del gradiente con la regolarizzazione; la normal equation regolarizzata; la regressione logistica con la regolarizzazione; Neural networks history; AI e connessionismo; il percettrone; la regola di apprendimento di Rosenblatt; apprendimento di funzioni booleane; i limiti del percettrone;
Neural networks; motivazioni; i neuroni; la neuroplasticita' e la one-learning-algorithm hypothesis; model representation; il neurone come logistic unit; la matrice dei pesi; il bias; la funzione di attivazione; il forward propagation; versione vettoriale; le NN come estensione della logistic regression; calcolo delle funzioni booleane AND, OR, NOT, XNOR; multiclass classification con Neural Networks;
Neural Network Learning; funzione costo di un Multi Layer Perceptron; l'algoritmo di Backpropagation; Intuizione e formalizzazione;
Neural Network learning; Error BackPropagation Algorithm (versione scalare, versione vettoriale); Note sull'implementazione; rolling e unrolling dei parametri per il passaggio della matrice dei pesi in Octave; Gradient checking mediante il calcolo del gradiente approssimato numerico; inizializzazione dei pesi e symmetry breaking; La rete ALVINN (an autonomous driving system);
Machine Learning Diagnostic; Evaluating a Learning Algorithm; The test set error; Model selection + training, validation and test set; The concept of Bias and variance; Regularization and Bias/Variance; Choosing the regularization parameter; Putting all together: diagnostic method; Learning curves; Machine Learning system design; Debugging a learning algorithm; Diagnosing Neural Networks ; Model selection; Error analysis; The importance of numerical evaluation; Error Metrics for Skewed Classes; Precision/Recall and Accuracy; Trading Off Precision and Recall; The F1 score; Data for Machine Learning; Designing a high accuracy learning system; Rationale for large data;
Support Vector Machines; SVM Cost function; SVM come Large margin Classifiers; i Kernels; scelta dei landmarks; scelta dei parametri C e sigma; Multi-class Classification con SVM confronto tra Logistic Regression e SVM e tra NN vs. SVM;
Clustering; l'algoritmo K-means; cluster assignment step; move centroids step; optimization objective; choosing the number of clusters, the elbow method; Dimensionality Reduction; Principal Component Analysis; Motivation I: Data compression; Motivation II: data visualization - Problem Formulation; Goal of PCA; Il ruolo della Singular Value Decomposition nell'algoritmo PCA; Reconstruction from compressed representation; Algorithm for choosing k; Advice for Applying PCA; The most common use of PCA; Misuse of PCA;
Anomaly Detection; Problem motivation; Density estimation; Gaussian distribution; Anomaly Detection; Gaussian distribution; Parameter estimation; The Anomaly Detection Algorithm; Anomaly Detection vs. Supervised Learning; Multivariate Gaussian Distribution; Recommender Systems; Collaborative Filtering; Motivation; Problem Formulation; Content Based Recommendations; Notation; Optimization objective; Gradient descent update; Low Rank Matrix Factorization;
Learning with large datasets; Online learning; Stochastic gradient descent; Mini-batch gradient descent; Checking for convergence; Map reduce and data parallelism;
Machine Learning pipeline; the OCR systeml ceiling analysis; Laboratorio: esercizio relativo a Recommender Systems;

J. Watt, R. Borhani, A. K. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge Univ. Press 2016

Il corso si concentrerà su argomenti scelti all’interno del seguente programma.
1) Linear systems of hypersurfaces in Pn Generalities and basic notions, examples in plane and space geometry.
2) Corrispondences in Pn x Pn Intersection theory, Segre classes, numerical characters of a correspondence. Examples.
2) Cremina transformations Linear system of rational hypersurfaces. Homaloidal linear systems Basic Cremona transformations of Pn.
4) In P2 Quadratic transformations, birational involutions, de Jonquiéres trasformations. Structure of the group. Some finite subgroups.
5) In P3: Linear system of rational surfaces. Transformations defined by quadrics or cubicss. Their inverse transformations.
6) Factorization in P3 Birational maps of P3 and Mori theory. Classification of elementary links with applications. Noether-Fano inequalities. I
teoremi di Max Noether per P2 e di Hilda Hudson per P3. Cenni storici e risultati recenti sul gruppo di Cremona.

Testi di riferimento
- I. Dolgachev ‘Lectures on Cremona Transformations, Ann Arbor-Rome’ 2010 -11 http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/cremonalect.pdf
- I. Dolgachev ‘Classical Algebraic Geometry’, Cambridge University Press 2012
Altri riferimenti didattici o bibliografici utili:
- I. Cheltsov, C. Shramov, ‘Cremona Groups and the Icosahedron’ CRC Press New York 2016
- I. Cheltsov, C. Shramov, Three embeddings of the Klein simple group into the Cremona group of rank three, Transformation Groups
- A. Verra ‘Lectures on Cremona Transformations’, School and Workshop, Torino 2006, pdf.
- Si vedano inoltre le voci ‘Cremona group’ e ‘Cremona transformation’ in Encyclopedia of Mathematics. European Math. Society

Introduzione alla statistica: campionamento casuale da una popolazione finita e infinita. Definizione di modello statistico e di statistica. Esempi di statistiche. Proprieta' delle statistiche: statistica sufficiente, minimale e completa.

Stima puntuale di parametri: metodo dei momenti, stimatore di massima verosimiglianza, stimatore di Bayes, algoritmo EM.

Valutazione di un stimatore: distorzione, consistenza e rischio quadratico. Stimatore UMVU e stimatori efficienti.

Intervallo di confidenza: metodo della quantita' pivotale, metodi asintotici e metodo delta.

Verifica di ipotese: definizione di verifica di ipotese, rapporto di verosimiglianza, dualita' con intervallo di confidenza e test uniformemente piu potente.

Metodi non parametrici: Test goodness-of-fit per variabile discrete e continue, tabella di contingenza e metodo di Kolmogorov Smirnov.

Altri argomenti: Analise di varianza (ANOVA), regressione lineare, regressione lineare generalizzata e regressione logistica.

Statistical Inference
Casella e Berger
Duxbury
Seconda edizione.

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

Definizione e proprietà elementari degli spazi di Sobolev. Teorema di estensione. Disuguaglianze di Sobolev. Operatore Traccia. Compattezza. Dualità. Metodo della trasformata di Fourier. Equazioni ellittiche del secondo ordine: esistenza di soluzioni deboli. Regolarità:interna e al bordo. Principi del massimo. Argomenti di problemi di evoluzione: l'equazione delle onde.

Haim Breziz - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer.
Lawrence C. Evans - Partial Differential Equations. AMS

Funzioni aritmetiche e loro proprietà:
-Definizione e convoluzione di Dirichlet.
-Funzione numero e somma dei divisori.
-Funzione di Möbius.
-Funzione di Eulero.

Congruenze:
-Insiemi di residui.
-Congruenze polinomiali.
-Radici primitive.

Residui quadratici:
-Simbolo di Legendre.
-Reciprocità quadratica.
-Simbolo di Jacobi.

Somme di quadrati:
-Somme di due quadrati.
-Numero di rappresentazioni.
-Somme di quattro quadrati.
-Somme di tre quadrati.

Frazioni continue e approssimazione diofantea:
-Frazioni continue semplici.
-Frazioni continue e approssimazione diofantea.
-Frazioni continue semplici infinite.
-Frazioni continue periodiche.
-Equazione di Pell.
-Il teorema di Liouville.

Dispense del docente

Note di W. Chen
http://www.williamchen-mathematics.info/lnentfolder/lnent.html


An Introduction to the Theory of Numbers by G. H. Hardy, E. M. Wright

M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione
|x-y|^{-p}, 1

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Teoria KAM. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F Cesarone (2020), Computational Finance. MATLAB oriented modeling, Routledge-Giappichelli Studies in Business and Management, ISBN 978-0-367-49303-5
https://www.giappichelli.it/computational-finance

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione
|x-y|^{-p}, 1

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

USO DI PROGRAMMI DIDATTICI NELL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA: I SOFTWARE GEOGEBRA E MATHEMATICA.
COMANDI PER IL CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO, LA VISUALIZZAZIONE DI GRAFICI, CURVE E SUPERFICI E LA LORO ANIMAZIONE AL VARIARE DI PARAMETRI.
ESEMPI DI PROBLEMI: PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED ESEMPI DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE, APPROSSIMAZIONE DI PI GRECO E DI ALTRI NUMERI IRRAZIONALI, SOLUZIONI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI, SOLUZIONI DI SISTEMI, DETERMINAZIONE E VISUALIZZAZIONE DI PARTICOLARI LUOGHI GEOMETRICI, DERIVATA DI UNA FUNZIONE, CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE.

DISPENSE DEL DOCENTE SU UN ELENCO DI PROBLEMI DA VISUALIZZARE E RISOLVERE (SIMULANDO UN LABORATORIO SCOLASTICO) CON L'AIUTO DEL SOFTWARE MATHEMATICA O GEOGEBRA.

Lo scopo del corso è fornire allo studente gli elementi cognitivi generali che sottendono alla realizzazione di sistemi di acquisizione, controllo e monitoraggio degli esperimenti di Fisica Nucleare e Subnucleare.
Il corso è articolato sui seguenti argomenti:
- Introduzione ai sistemi di DAQ
- Parallelismo e Pipelining
- Derandomizzazione
- DAQ e Trigger
- Trasmissione Dati
- Front End Electronics
- Trigger
- Architettura Sistemi di Calcolo
- Sistemi Real Time
- Real Time Operating Systems
- Linguaggio C
- Protocolli di Rete TCP/IP
- Achitetture DAQ
- Event Building
- VME Bus
- Run Control
- Farming
- Archiviazione Dati

Durante il corso si svolgeranno delle esercitazioni in Laboratorio con la esecuzione di semplici esempi di:
- sistemi di lettura e trasferimento dati tramite meccanismi di pipe con processi concorrenti;
- programmi di simulazione di trigger basati su segnali;
- programma di Run Control per attivazione e terminazione di processi;
- configurazione e lettura di dati da scheda su bus VME.

Dispense preparate dal docente sulla base delle slide presentate a lezione, disponibili sul sito Moodle predisposto dall'Ateneo:
https://matematicafisica.el.uniroma3.it

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Il primo modulo di FM510 tratta due temi connessi tra loro:
1) Sistemi dinamici (ODE)
2) Morfogenesi alla Turing tramite sistemi reazione diffusione (PDE).

L’attività didattica è focalizzata sulle interazioni tra matematica teorica e matematica sperimentale, e si basa sui tre punti seguenti:
- Studio dei modelli teorici e analisi qualitativa;
- Implementazione dei modelli al calcolatore;
- Esperimenti numerici e analisi quantitativa.

Il programma prevede
- Sistemi dinamici, campi vettoriali, flusso e traiettorie
- Biforcazioni, biforcazioni di Hopf, Caos
- Modello di VanDerPol
- Modello di FitzHugh-Nagumo per i segnali neuronali
- Modello di Lorenz e caos
- Morfogenesi di Turing
- Modello di Gray Scott

Steven H. Strogatz,
Nonlinear Dynamics and Chaos With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering
CRC Press, 2018

https://www.google.it/books/edition/Nonlinear_Dynamics_and_Chaos/1kpnDwAAQBAJ?hl=it&gbpv=0

A. Turing, The Chemical Basis of morphogenesis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series B, vol. 237, no. 641, 1952

Teoria dei fasci e suo utilizzo in ambito schematico

Prefasci e fasci, fascio associato a un prefascio, relazione tra iniettività e biettività sulle spighe
e analoghe proprietà sulle sezioni. La categoria degli spazi anellati. Schemi. Esempi. Prodotti
fibrati. Fasci algebrici su uno schema. Fasci quasi-coerenti e fasci coerenti.

Coomologia dei fasci

Algebra omologica nella categoria dei moduli su un anello. Fasci fiacchi.
La coomologia dei fasci utilizzando la risoluzione canonica con fasci fiacchi.

Coomologia dei fasci quasi-coerenti e coerenti su uno schema.

Coomologia di Cech e coomologia ordinaria. Coomologia dei fasci quasi-coerenti su uno schema affine. La coomologia dei fasci O(n) sullo spazio proiettivo. Fasci coerenti sullo spazio proiettivo. Caratteristica di Eulero-Poincaré.

Fasci invertibili e sistemi lineari

Incollamento di fasci. Fasci invertibili e loro descrizione. Il gruppo di Picard.
Morfismi in uno spazio proiettivo. Sistemi lineari.

Note Prof. Lopez, Prof. Sernesi
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes, Springer Verlag (2000).
U. Gortz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I, Viehweg + Teubner (2010).

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

M. Nielsen,
Neural Networks and Deep Learning (free online book)
http://neuralnetworksanddeeplearning.com

Various authors,
Distill, dedicated to clear explanations of machine learning
https://distill.pub

Argomenti Parte A

• Coordinate e Telescopi
• Elementi di Spettroscopia
• Stelle ed Evoluzione Stellare • Galassie
• Nuclei Galattici Attivi

Programma A

- Panoramica generale
- Coordinate celesti (1.3)
- Telescopi e potere risolutivo (6.1)
- Distanza di parallasse (3.1)
- Flusso, luminosità, magnitudini apparenti ed assolute, colori (3.2, 3.3, 3.6)
- Il corpo nero (3.4, 3.5)
- Diagramma di Hertzsprung-Russel (8.2)
- Ammassi aperti e globulari: posizione, popolazioni stellari e diagramma HR (13.3)
- Nane bianche, Novae e SuperNovae (cenni in 15 e 16)
- La classificazione delle galassie (24.1)
- La curva di rotazione delle galassie e la materia oscura (25.3)
- Il centro della Galassia ed il suo Black Hole (25.4)
- Legge di Hubble ed espansione dell’Universo (27.2)
- Probabilità di collisione tra stelle e tra galassie (dispense)
- Buchi Neri: cenni di Relatività Generale (cenni nel 17)
- Nuclei Galattici Attivi (28.1, 28.2, 28.3)

Argomenti Parte B

• Struttura ed evoluzione stellare
• Elementi di Spettroscopia
• Distanze ed espansione dell’Universo • Galassie
• GRB e onde gravitazionali

Programma B

- Dischi di Accrescimento ed emissione X nei Nuclei Galattici Attivi (28.2)
- Stelle di Neutroni e Pulsars (cenni in 16.6, 16.7)
- Gamma Ray Bursts (dispense)
- Onde Gravitazionali (dispense)
- Spettroscopia: eq. di Boltzmann-eccitazione e di Saha-ionizzazione (8.1)
- Spettroscopia: misure di velocità, temperatura e densità (8.5)
- Eq. di struttura delle stelle, tempo e instabilità di Kelvin-Helmholtz (11.1-4)
- Le reazioni nucleari dell’idrogeno (11.3)
- Massa di Jeans del collasso gravitazionale, tempo di free-fall e Initial Mass Function (12.2, 12.3)
- La Via Lattea (25.1, 25.2)
- La metallicità (25.2)
- Transito di Venere e misura della distanza Terra-Sole (dispense)
- Scala delle distanze (27.1)
- Legge di Hubble, espansione dell’Universo (27.2)
- Gruppo Locale, Ammassi di Galassie, Struttura su Larga Scala dell’Universo (27.3)
- Il Big Bang e la radiazione di fondo (brevi cenni in 29.2 e dispense)


Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics II ed.- B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley” (copie delle edizioni precedenti sono disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo). Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

La copia delle dispense lezioni può essere scaricata dal sito web del corso.

Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics, II ed. - B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley ” (copie disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo. Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

1. I temi della logica
2. Logica classica: proposizioni, dimostrazioni
3. Logica classica: connettivi
4. Logica classica: tipi, variabili, quantificatori
5. Logica classica del primo ordine
6. Classi e insiemi
7. Codificazione, digitalizzazione, algebra di Boole
8. Macchina di Turing
9. Assiomatizzazione e formalizzazione della logica classica del primo ordine
10. La logica e le altre discipline

V. Michele Abrusci, LOGICA - Lezioni di primo livello, Quarta edizione, Wolters Kluwer, 2018

A) LA TRASFORMAZIONE DELLE REGOLE STRUTTURALI IN REGOLE LOGICHE: IL CALCOLO DEI SEQUENTI E LA DERIVABILITA' IN LOGICA LINEARE
B) NON-DETERMINISMO POSITIVO E IL NEGATIVO: IL CALCOLO DEI SEQUENTI FOCALIZZATO PER LA LOGICA LINEARE, LA RICERCA AUTOMATICA DELLE DIMOSTRAZIONI
C) LA COMPLESSITA' IMPLICITA E LA LOGICA LINEARE
D) GEOMETRIA DELLE DIMOSTRAZIONI: LE RETI DIMOSTRATIVE IN LOGICA LINEARE
E) GLI INVARIANTI E LO SVILUPPO DELL’INTERAZIONE TRA DIMOSTRAZIONI: GLI SPAZI COERENTI, LA GEOMETRIA DELL'INTERAZIONE

APPUNTI E SLIDES DISPONIBILI SULLA PAGINA WEB DEL CORSO
https://sites.google.com/view/lm510/

Funzioni aritmetiche e loro proprietà:
-Definizione e convoluzione di Dirichlet.
-Funzione numero e somma dei divisori.
-Funzione di Möbius.
-Funzione di Eulero.

Congruenze:
-Insiemi di residui.
-Congruenze polinomiali.
-Radici primitive.

Residui quadratici:
-Simbolo di Legendre.
-Reciprocità quadratica.
-Simbolo di Jacobi.

Somme di quadrati:
-Somme di due quadrati.
-Numero di rappresentazioni.
-Somme di quattro quadrati.
-Somme di tre quadrati.

Frazioni continue e approssimazione diofantea:
-Frazioni continue semplici.
-Frazioni continue e approssimazione diofantea.
-Frazioni continue semplici infinite.
-Frazioni continue periodiche.
-Equazione di Pell.
-Il teorema di Liouville.

Dispense del docente

Note di W. Chen
http://www.williamchen-mathematics.info/lnentfolder/lnent.html


An Introduction to the Theory of Numbers by G. H. Hardy, E. M. Wright

M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

1. Problemi di ottimizzazione e di ottimizzazione combinatoria. Enumerazione delle soluzioni.
2. Fondamenti di analisi degli algoritmi. Trattabilità computazionale. Ordine asintotico di crescita.
3. Grafi. Connettività ed attraversamento. Bipartizioni. Connettività in grafi diretti. Grafi diretti aciclici ed ordinamento topologico.
4. Algoritmi avidi. Schedulazione di intervalli. Caching ottimo. Cammini minimi in un grafo. Albero ricoprente a costo minimo.
5. Divide et impera. Il mergesort. Conteggio di inversioni. Coppia di punti più vicina.
6. Programmazione dinamica. Schedulazione di intervalli pesati. Principi della programmazione dinamica. Somme di sottoinsiemi e problema della bisaccia. Cammini minimi tra tutte le coppie. Cammini minimi e protocollo basato su vettori delle distanze.
7. Flussi di rete. Flusso massimo e algoritmo di Ford-Fulkerson. Flussi massimi e tagli minimi in una rete. Cammini aumentanti. Abbinamenti bipartiti. Cammini disgiunti in grafi diretti e non diretti.
8. Intrattabilità computazionale. Riduzioni tempo-polinomiali. Riduzioni attraverso "gadget". Certificazione efficiente e definizione di NP. Problemi NP-completi. Problemi di copertura, impaccamento, partizionamento, sequenziamento, numerici. Altri esempi.

Jon Kleinberg, Eva Tardos. Algorithm Design. Pearson Education, 2013.

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Teoria KAM. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche.
Teorema di Bertini.

I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Teoremi di esistenza ed unicita' locali, tempi di esistenza e prolungamenti. Fughe dai compatti. Teoremi di confronto. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali. Comportamento dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Forma canonica di Jordan.
Funzioni differenziabili su uno spazio di Banach. Il Teorema della Funzione Implicita. Applicazioni alla ricerca di asoluzioni periodiche. Decomposizione di Lyapunov Schmidt. Teorema di Hopf. Dipendenza Ck daIDATI INIZIALI. Il teorema della scatola di flusso. Cambiamentidi coordinate generati dal flusso di un campo vettoriale. L'esponenziale di Lie. Forma normale di Poincare.

Note del docente.
Chierchia Analisi Matematica 2

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Equazione delle onde, equazione del calore, Introduzione alla meccanica quantistica

W. Craig, A Course on Partial Differential Equations - American Mathematical Society (2018)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

G. Folland - "Real Analysis" - Wiley

Equazione delle onde, equazione del calore, Introduzione alla meccanica quantistica

W. Craig, A Course on Partial Differential Equations - American Mathematical Society (2018)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Processo di ramificazione. Introduzione alle Sigma algebre, spazi misurabili, spazi di probabilita'. Costruzione della misura di Lebesgue. Pi-sistemi, Lemma di Dynkin, Lemma di unicita' della misura. Prime proprieta' della misura, limite inferiore e superiore di eventi. Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Convergenza in probabilita' e convergenza quasi certa. Teorema di rappresentazione di Skorokhod. Legge 0-1 di Kolmogorov.
Definizione generale di integrale e prime proprieta'. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valore atteso di una variabile aleatoria, fattorizzazione del valore atteso per variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Hoelder. Spazi L^p. Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Spazi di misura prodotto e misure prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata e sue proprieta'. Martingale. Processi prevedibili. Tempi di arresto e processi arrestati. Teorema di optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1 e per martingale limitate in L^2. Legge forte con momento secondo. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.Teorema di inversione. Trasformata di Fourier in L^1 e funzione caratteristica. Equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale.

D. Williams, Probability with martingales
R. Durrett, Probability: Theory and examples

Teoria delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi.
Morfismi e varietà di Veronese e di Segre, prodotti, proiezioni.
Geometria locale delle varietà algebriche.
Teorema di Bertini.

I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
L. Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

1) Computabilità, complessità e rappresentabilità:

- Introduzione ai problemi di decisione, procedure algoritmiche e non algoritmiche, computazioni deterministiche, procedure discrete, nozione di alfabeto, di parola. Decidibilità e semidecidibilità di un insieme. Computazioni deterministiche, finitarie e discrete. Algoritmi formali: definizione formale di algoritmo, configurazioni di input, di output, funzione di transizione. Esempio di formalizzazione di un algoritmo. Decidibilità per automa finito. Rappresentazione degli automi mediante matrici. Monoide libero delle parole. Semianelli formali. Automi Finiti Non-deterministici. Linguaggi Regolari. Equivalenza tra automi deterministici e quelli non-deterministici.

- Macchine di Turing: definizione, decidibilità per macchina di Turing, tempo di arresto, spazio di arresto. Costo della computazione. Complessità: caso peggiore e caso medio. Indipendenza del tempo di decisione da un numero finito di configurazioni di input. Funzioni di complessità, classi di complessità DTIME e DSPACE (deterministic time e space). Inclusione DTIME(T (n)) ⊂ DSPACE(T(n)) ⊂ DTIME(2^{cT(n)}). Pumping Lemma per gli insiemi decidibili in tempo lineare. Simulazione di algoritmi, simulazione della macchina di Turing a seminastro, simulazione di una macchina multinastro. Macchine di Turing speciali. Teorema di Speedup lineare per macchine di Turing con alfabeto esteso. Valutazione del coefficente di accelerazione in relazione agli alfabeti. Decidibilità di insiemi di numeri naturali. Indipendenza dalla rappresentazione. Considerazioni sulla complessità.

- Turing calcolabilità: definizione di funzione Turing calcolabile, funzioni caratteristiche di insiemi Turing decidibili, la classe delle funzioni Turing calcolabili è chiusa per composizione, coppia, ricorsione primitiva e minimizzazione. Esempi di funzioni Turing calcolabili. Funzioni Ricorsive: equivalenza tra Turing computabilità e funzioni ricorsive. Funzione di Ackermann ([1] capp. 1,2,3,4,5 e [4] cap. 1).

- Funzioni costruibili in tempo. Nozione di T-orologio. Esempi di alcune funzioni costruibili in tempo. Chiusura per composizione.

- Macchine di Turing non-deterministiche: caratterizzazione mediante la decidibilità di insiemi proiezione. Definizione della classe delle funzioni non-deterministiche polinomiali. Problemi NP-completi.

2) Lambda calcolo e programmazione funzionale:

- Programmazione dichiarativa: cenni storici sul lambda calcolo, definizioni di base, i termini del lambda calcolo, la sostituzione semplice. Relazioni sui lambda termini. Congruenze, passaggio al contesto. α-equivalenza. L’α-equivalenza passa al contesto. Chiusura transitiva di una relazione, proprietà di Church-Rosser. Quozientamento dei lambda-termini rispetto all’alpha equivalenza.

- Definizione di beta-redesso e di beta-riduzione. Teorema di Church-Rosser per la beta-riduzione. Forme normali per beta-riduzione. Strategie di beta-riduzione. Strategia normalizzante: riduzione di sinistra (left most-outer most). Riduzione di testa. Termini Risolubili. Forme Normali di Testa. Teorema di caratterizzazione della risolubilità.

- Rappresentazione delle funzioni ricorsive: teorema di lambda definibilità. Esistenza del punto fisso per il lambda termini. Punto Fisso di Church ed punto fisso di Curry.

- Rappresentazione di altri tipi di dato nel lambda-calcolo: coppie, liste, alberi, soluzione di equazioni ricorsive su lambda-termini ([2] capp. 1, 2, 5).

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITÈ ET DECIDABILITÈ. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).

Meccanica quantistica: Crisi della fisica classica. Onde e particelle. Vettori di stato ed operatori. Misure ed osservabili. Operatore di posizione. Traslazioni e impulso. Evoluzione temporale ed equazione di schrodinger. Parita'. Problemi unidimensionali. Oscillatore armonico. Simmetrie e leggi di conservazione. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Dispense disponibili sul sito del corso

J.J. Sakurai, Jim Napolitano - Meccanica Quantistica Moderna - Seconda Edizione [Zanichelli, Bologna, 2014]

Teoremi di esistenza ed unicita' locali, tempi di esistenza e prolungamenti. Fughe dai compatti. Teoremi di confronto. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali. Comportamento dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Forma canonica di Jordan.
Funzioni differenziabili su uno spazio di Banach. Il Teorema della Funzione Implicita. Applicazioni alla ricerca di asoluzioni periodiche. Decomposizione di Lyapunov Schmidt. Teorema di Hopf. Dipendenza Ck daIDATI INIZIALI. Il teorema della scatola di flusso. Cambiamentidi coordinate generati dal flusso di un campo vettoriale. L'esponenziale di Lie. Forma normale di Poincare.

Note del docente.
Chierchia Analisi Matematica 2

Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.

2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.

4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti

Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.

6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.

7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.

8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak form of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Il corso consta di lezioni frontali e di esercitazioni pratiche al computer.
Linguaggi di programmazione: Il linguaggio principale del corso è C.

• Introduzione al linguaggio C
• Introduzione al calcolo ad elevate prestazioni (HPC)
• Concetti base: architetture hardware e gerarchie di memorie
• Schemi di parallelizzazione: strategie differenti per problemi differenti
• Misure dell’efficienza e della performance: teoria e benchmark di codice parallelo
• Calcolo parallelo con MPI: Message Passing Interface
• Calcolo parallelo con OpenMP: Open Multiprocessing
• Input/Output parallelo
• Introduzione al calcolo su unità di elaborazione grafica (GPGPU computing) ed al linguaggio OpenCL

Le esercitazioni sono parte integrante del corso.

Introduction to Parallel Computing: From Algorithms to Programming on State-of-the-Art Platforms. Trobec, Slivnik, Bulić, Robič, Springer

Il corso di Linguaggi di Programmazione ha come obiettivo quello di presentare i principali concetti della teoria dei linguaggi formali e la loro applicazione alla classificazione dei linguaggi di programmazione. Introdurre le principali tecniche per l'analisi sintattica dei linguaggi di programmazione. Imparare a riconoscere la struttura di un linguaggio di programmazione e le tecniche per implementarne la macchina astratta. Conoscere il paradigma orientato agli oggetti ed altri paradigmi non imperativi.

[1] Maurizio Gabbrielli, Simone Martini, Linguaggi di programmazione - Principi e paradigmi, 2/ed. McGraw-Hill, (2011).
[2] Dean Wampler, Alex Payne, Programming Scala: Scalability = Functional Programming + Objects, 2 edizione. O’Reilly Media, (2014).
[3] David Parsons, Foundational Java Key Elements and Practical Programming. Springer- Verlag, (2012).
Slide del corso a cura del docente

Presentazione dei problemi che di solito sono formulati come integrali su un grande numero di variabili

Elemento di base

Probabilità e variabili random

Misure, inceretezze e loro propagazione

Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione

Integrazione numerica classica, velocità di convergenza

Integrazione MC, media e varianza

Strategie di campionamento

Applicazioni

Propagazione delle incertezze

Generazione di dati secondo una distribuzione

Applicazioni nel mondo reale


Sciami di raggi cosmici

Disponibilità di un sistema

Ulteriori applicazioni

Weinzierl, S. - Introduction to Monte Carlo methods arXiv:hep-ph/0006269

Taylor, J. - Introduzione all'analisi degli errori : lo studio delle incertezze nelle misure fisiche - Zanichelli Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Dubi, A. - Monte Carlo applications in systems engineering - Wiley Disponibile nella biblioteca Scientifica di Roma Tre

Introduzione e generalita'; Cosa e' l'apprendimento automatico; definizioni; apprendimento supervisionato e non supervisionato; la regressione ed il clustering;
Regressione lineare univariata; rappresentazione; la funzione ipotesi; la scelta dei parametri della funzione ipotesi; la funzione costo; l'algoritmo Gradient Descent; la scelta del parametro alpha;
Regressione lineare multivariata; notazione vettoriale della funzione ipotesi e della funzione costo; algoritmo Gradient Descent per la multivariata; notazione matriciale; feature scaling and normalization; polynomial regression; la Normal Equation per la regressione multivariata; note finali sul confronto dell'algoritmo Gradient Descent e il calcolo della Normal Equation;
La Regressione Logistica; la classificazione binaria; rappresentazione delle ipotesi; la funzione logistica; il decision boundary; la funzione costo per la regressione logistica; l'algoritmo della discesa del gradiente per la regressione logistica; derivazione analitica del gradiente della funzione costo per la regressione logistica; note sulla implementazione in Octave della funzione costo e dell'algoritno della discesa del gradiente nel caso della regressione logistica; considerazioni sui metodi di ottimizzazione avanzati; classificazione multi-classe; il metodo one-vs-all;
La regolarizzazione; il problema dell'overfitting/underfitting (ovvero high variance/high bias); modifica della funzione costo; il parametro di regolarizzazione; regolarizzazione della regressione lineare; l'algoritmo della discesa del gradiente con la regolarizzazione; la normal equation regolarizzata; la regressione logistica con la regolarizzazione; Neural networks history; AI e connessionismo; il percettrone; la regola di apprendimento di Rosenblatt; apprendimento di funzioni booleane; i limiti del percettrone;
Neural networks; motivazioni; i neuroni; la neuroplasticita' e la one-learning-algorithm hypothesis; model representation; il neurone come logistic unit; la matrice dei pesi; il bias; la funzione di attivazione; il forward propagation; versione vettoriale; le NN come estensione della logistic regression; calcolo delle funzioni booleane AND, OR, NOT, XNOR; multiclass classification con Neural Networks;
Neural Network Learning; funzione costo di un Multi Layer Perceptron; l'algoritmo di Backpropagation; Intuizione e formalizzazione;
Neural Network learning; Error BackPropagation Algorithm (versione scalare, versione vettoriale); Note sull'implementazione; rolling e unrolling dei parametri per il passaggio della matrice dei pesi in Octave; Gradient checking mediante il calcolo del gradiente approssimato numerico; inizializzazione dei pesi e symmetry breaking; La rete ALVINN (an autonomous driving system);
Machine Learning Diagnostic; Evaluating a Learning Algorithm; The test set error; Model selection + training, validation and test set; The concept of Bias and variance; Regularization and Bias/Variance; Choosing the regularization parameter; Putting all together: diagnostic method; Learning curves; Machine Learning system design; Debugging a learning algorithm; Diagnosing Neural Networks ; Model selection; Error analysis; The importance of numerical evaluation; Error Metrics for Skewed Classes; Precision/Recall and Accuracy; Trading Off Precision and Recall; The F1 score; Data for Machine Learning; Designing a high accuracy learning system; Rationale for large data;
Support Vector Machines; SVM Cost function; SVM come Large margin Classifiers; i Kernels; scelta dei landmarks; scelta dei parametri C e sigma; Multi-class Classification con SVM confronto tra Logistic Regression e SVM e tra NN vs. SVM;
Clustering; l'algoritmo K-means; cluster assignment step; move centroids step; optimization objective; choosing the number of clusters, the elbow method; Dimensionality Reduction; Principal Component Analysis; Motivation I: Data compression; Motivation II: data visualization - Problem Formulation; Goal of PCA; Il ruolo della Singular Value Decomposition nell'algoritmo PCA; Reconstruction from compressed representation; Algorithm for choosing k; Advice for Applying PCA; The most common use of PCA; Misuse of PCA;
Anomaly Detection; Problem motivation; Density estimation; Gaussian distribution; Anomaly Detection; Gaussian distribution; Parameter estimation; The Anomaly Detection Algorithm; Anomaly Detection vs. Supervised Learning; Multivariate Gaussian Distribution; Recommender Systems; Collaborative Filtering; Motivation; Problem Formulation; Content Based Recommendations; Notation; Optimization objective; Gradient descent update; Low Rank Matrix Factorization;
Learning with large datasets; Online learning; Stochastic gradient descent; Mini-batch gradient descent; Checking for convergence; Map reduce and data parallelism;
Machine Learning pipeline; the OCR systeml ceiling analysis; Laboratorio: esercizio relativo a Recommender Systems;

J. Watt, R. Borhani, A. K. Katsaggelos. Machine Learning Refined. Cambridge Univ. Press 2016

Il corso si concentrerà su argomenti scelti all’interno del seguente programma.
1) Linear systems of hypersurfaces in Pn Generalities and basic notions, examples in plane and space geometry.
2) Corrispondences in Pn x Pn Intersection theory, Segre classes, numerical characters of a correspondence. Examples.
2) Cremina transformations Linear system of rational hypersurfaces. Homaloidal linear systems Basic Cremona transformations of Pn.
4) In P2 Quadratic transformations, birational involutions, de Jonquiéres trasformations. Structure of the group. Some finite subgroups.
5) In P3: Linear system of rational surfaces. Transformations defined by quadrics or cubicss. Their inverse transformations.
6) Factorization in P3 Birational maps of P3 and Mori theory. Classification of elementary links with applications. Noether-Fano inequalities. I
teoremi di Max Noether per P2 e di Hilda Hudson per P3. Cenni storici e risultati recenti sul gruppo di Cremona.

Testi di riferimento
- I. Dolgachev ‘Lectures on Cremona Transformations, Ann Arbor-Rome’ 2010 -11 http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/cremonalect.pdf
- I. Dolgachev ‘Classical Algebraic Geometry’, Cambridge University Press 2012
Altri riferimenti didattici o bibliografici utili:
- I. Cheltsov, C. Shramov, ‘Cremona Groups and the Icosahedron’ CRC Press New York 2016
- I. Cheltsov, C. Shramov, Three embeddings of the Klein simple group into the Cremona group of rank three, Transformation Groups
- A. Verra ‘Lectures on Cremona Transformations’, School and Workshop, Torino 2006, pdf.
- Si vedano inoltre le voci ‘Cremona group’ e ‘Cremona transformation’ in Encyclopedia of Mathematics. European Math. Society

Introduzione alla statistica: campionamento casuale da una popolazione finita e infinita. Definizione di modello statistico e di statistica. Esempi di statistiche. Proprieta' delle statistiche: statistica sufficiente, minimale e completa.

Stima puntuale di parametri: metodo dei momenti, stimatore di massima verosimiglianza, stimatore di Bayes, algoritmo EM.

Valutazione di un stimatore: distorzione, consistenza e rischio quadratico. Stimatore UMVU e stimatori efficienti.

Intervallo di confidenza: metodo della quantita' pivotale, metodi asintotici e metodo delta.

Verifica di ipotese: definizione di verifica di ipotese, rapporto di verosimiglianza, dualita' con intervallo di confidenza e test uniformemente piu potente.

Metodi non parametrici: Test goodness-of-fit per variabile discrete e continue, tabella di contingenza e metodo di Kolmogorov Smirnov.

Altri argomenti: Analise di varianza (ANOVA), regressione lineare, regressione lineare generalizzata e regressione logistica.

Statistical Inference
Casella e Berger
Duxbury
Seconda edizione.

Il oggetivo del corso e' di vedere diversi metodi moderni della teoria della probabilita' e la loro applicazioni per risolvere problemi fondamentali di altre aree, come l'informatica (algoritmi random, random networks), combinatoria e data science. In particolare, vedremo diversi applicazioni dove il problema da essere risolto e' in realta' non-aleatorio, ma si sceglie di usare la probabilita' di maniera opportunistica per risolverlo.

Alcuni argomenti visti nel corso:
* Algoritmi random
* Si puo' usare aleatorieta' perfetta in informatica?
* Metodo probabilistico e applicazioni della probabilita' alla informatica, combinatoria e teoria dei giocchi
* Concentrazione di variabile aleatoria e Martingale, applicazione al problema di network routing e riduzione della dimensione di dati
* Processi di ramificazioni e di diffusione di infezioni
* Percolazione, grafi aleatori Erdos-Renyi e random networks
* Passegiata aleatoria su grafi e applicazione al problema di clustering data

"Probability and Computing: Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis", Mitzenmacher and Upfal, Cambridge University Press
"The probabilistic method", Alon and Spencer, John Wiley & Sons

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione
|x-y|^{-p}, 1

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Teoria KAM. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.

Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.

Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.

Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.

Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.

Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.

J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972

MODULO 1
1 Una breve introduzione a MATLAB
1.1 Fondamenti di MATLAB: Elementi preliminari; Assegnamento di variabili; Workspace; Operazioni aritmetiche; Vettori e matrici; Operazioni standard di algebra lineare; Moltiplicazione e divisione elemento per elemento; Operatore due punti (:); Funzioni predefinite; Function inline; Anonymous Function.
1.2 M-file: Script e Function
1.3 Fondamenti di programmazione: schemi if, else, e elseif; cicli for; cicli while
1.4 Grafica in Matlab
1.5 Esercizi preliminari sulla programmazione
1.6 Esercizi sulle basi di valutazione finanziaria



MODULO 2
2 Elementi preliminari di Teoria delle Probabilità e Statistica
2.1 Variabili aleatorie
2.2 Distribuzioni di probabilità
2.3 Variabile aleatoria continua
2.4 Momenti di ordine superiore e indici sintetici di una distribuzione
2.5 Alcune distribuzioni di probabilità: Uniforme, Normale, Log-normale, Chi-quadro, t di Student
3 Programmazione Lineare e Non-lineare
3.1 Alcune function incorporate in Matlab per problemi di ottimizzazione
3.2 Ottimizzazione Multi-obiettivo: Determinazione della frontiera efficiente
4 Ottimizzazione di Portafoglio
4.1 Portafoglio di azioni: Prezzi e rendimenti
4.2 Analisi rischio-rendimento: Media-Varianza; Effetti della diversificazione su un portafoglio equi-pesato; portafogli Media -MAD; Media -MinMax; VaR; Media -CVaR; Media -Gini
4.3 Immunizzazione di portafogli obbligazionari

MODULO 3
5 Ulteriori elementi di Teoria delle Probabilità e Statistica
5.1 Introduzione alla simulazione Monte Carlo
5.2 Processi stocastici: Moto browniano; Lemma di Ito; Moto browniano geometrico
6 Prezzo di derivati con sottostante azionario
6.1 Modello binomiale (CRR): Replicazione di portafogli di azioni e obbligazioni; Calibrazione del modello; Caso multi-periodale
6.2 Modello Black-Scholes: Assunzioni del modello; Prezzo di una call europea; Equazione del prezzo di una call; Volatilità implicita
6.3 Pricing di opzioni con il metodo Monte Carlo: Soluzione in forma integrale; Derivati Path Dependent

F Cesarone (2020), Computational Finance. MATLAB oriented modeling, Routledge-Giappichelli Studies in Business and Management, ISBN 978-0-367-49303-5
https://www.giappichelli.it/computational-finance

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione
|x-y|^{-p}, 1

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Equazioni Differenziali Ordinarie
Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie: il metodo di Eulero. Consistenza, stabilita', stabilita' assoluta. I metodi di Runge-Kutta del secondo ordine. Metodi ad un passo impliciti: i metodi di Eulero all'indietro e di Crank-Nicolson. La convergenza dei metodi ad un passo.
Metodi a piu' passi: struttura generale, complessita', stabilita' assoluta. Stabilita' e consistenza dei metodi a piu' passi. Metodi di Adams. Metodi BDF. Metodi Predictor-Corrector. (Riferimento: Capitolo 7 della dispensa "Appunti del corso di Analisi Numerica")

Schemi alle differenze per Equazioni a Derivate Parziali
Generalita' sulle approssimazioni alle differenze. Approssimazioni semidiscrete e loro convergenza. Teorema di Lax-Richtmeyer. L'equazione del trasporto: costruzione della soluzione con il metodo delle caratteristiche. Schema di approssimazione "upwind" semidiscreto e completamente discreto, consistenza e stabilita'. L'equazione del calore: approssimazione di Fourier. Approssimazione per differenze centrate, sua consistenza e stabilita'. L'equazione di Poisson: approssimazioni di Fourier e per differenze centrate, studio della convergenza. (Riferimento: Dispensa di R. LeVeque, "Finite Difference methods for differential equations", materiale selezionato dai capitoli 1, 2, 3, 12, 13)

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Materiale supplementare distribuito dal docente

1. Introduzione alla teoria dell'informazione
Trasmissione affidabile dell'informazione. Contenuto informativo secondo Shannon. Misure di informazione. Entropia, mutua informazione, divergenza informazionale. Compressione dati. Correzione d'errore. Teoremi di elaborazione dei dati. Disuguaglianze fondamentali. Diagrammi d'informazione. Divergenza informazionale e massima verosimiglianza.

2. Codifica di sorgente e compressione dati
Sequenze tipiche. Tipicità in probabilità. Proprietà di equipartizione asintotica. Codifica a blocco e a lunghezza variabile. Tasso di codifica. Teorema della codifica di sorgente. Compressione dati senza perdita. Codice di Huffman. Codici universali. Compressione Ziv-Lempel.

3. Codifica di canale
Capacità di canale. Canali discreti senza memoria. Informazione trasportata da un canale. Criteri di decodifica. Teorema della codifica di canale con rumore.

4. Ulteriori codici ed applicazioni
Spazio di Hamming. Codici lineari. Matrice generatrice e matrice di controllo. Codici ciclici. Codici hash.

Francesco Fabris. Teoria dell'informazione, codici, cifrari. Bollati Boringhieri, 2001.

Logica ed Aritmetica: l'incompletezza

Parte 1: Decidibilità e risultati fondamentali di teoria della ricorsività. Funzioni ricorsive primitive e funzioni elementari: definizioni ed esempi, codifica elementare delle successioni finite di interi, caratterizzazione alternativa dell’insieme delle funzioni elementari. La funzione di Ackermann e le funzioni (parziali) ricorsive. Gerarchia aritmetica e rappresentazione (in N) delle funzioni ricorsive. Aritmetizzazione della sintassi: codifica dei termini e delle formula, la soddisfacibilità in N delle formule Delta è elementare, codifica dei sequenti e delle derivazioni. I teoremi fondamentali della teoria della ricorsività. Decidibilità, semi-decidibilità, indecidibilità.

Parte 2: L’aritmetica di Peano. Gli assiomi di Peano e gli assiomi di Peano al primo ordine. I modelli dell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Le funzioni rappresentabili nell'aritmetica di Peano (al primo ordine). Incompletezza ed indecidibilità: teorema di indecidibilità di Church, punto fisso, primo teorema di incompletezza di Gödel, secondo teorema di incompletezza di Gödel, osservazioni conclusive sull’incompletezza, cenni su incompletezza e logica del secondo ordine.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

USO DI PROGRAMMI DIDATTICI NELL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA: I SOFTWARE GEOGEBRA E MATHEMATICA.
COMANDI PER IL CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO, LA VISUALIZZAZIONE DI GRAFICI, CURVE E SUPERFICI E LA LORO ANIMAZIONE AL VARIARE DI PARAMETRI.
ESEMPI DI PROBLEMI: PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED ESEMPI DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE, APPROSSIMAZIONE DI PI GRECO E DI ALTRI NUMERI IRRAZIONALI, SOLUZIONI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI, SOLUZIONI DI SISTEMI, DETERMINAZIONE E VISUALIZZAZIONE DI PARTICOLARI LUOGHI GEOMETRICI, DERIVATA DI UNA FUNZIONE, CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE.

DISPENSE DEL DOCENTE SU UN ELENCO DI PROBLEMI DA VISUALIZZARE E RISOLVERE (SIMULANDO UN LABORATORIO SCOLASTICO) CON L'AIUTO DEL SOFTWARE MATHEMATICA O GEOGEBRA.

Lo scopo del corso è fornire allo studente gli elementi cognitivi generali che sottendono alla realizzazione di sistemi di acquisizione, controllo e monitoraggio degli esperimenti di Fisica Nucleare e Subnucleare.
Il corso è articolato sui seguenti argomenti:
- Introduzione ai sistemi di DAQ
- Parallelismo e Pipelining
- Derandomizzazione
- DAQ e Trigger
- Trasmissione Dati
- Front End Electronics
- Trigger
- Architettura Sistemi di Calcolo
- Sistemi Real Time
- Real Time Operating Systems
- Linguaggio C
- Protocolli di Rete TCP/IP
- Achitetture DAQ
- Event Building
- VME Bus
- Run Control
- Farming
- Archiviazione Dati

Durante il corso si svolgeranno delle esercitazioni in Laboratorio con la esecuzione di semplici esempi di:
- sistemi di lettura e trasferimento dati tramite meccanismi di pipe con processi concorrenti;
- programmi di simulazione di trigger basati su segnali;
- programma di Run Control per attivazione e terminazione di processi;
- configurazione e lettura di dati da scheda su bus VME.

Dispense preparate dal docente sulla base delle slide presentate a lezione, disponibili sul sito Moodle predisposto dall'Ateneo:
https://matematicafisica.el.uniroma3.it

1. Crittografia Classica

- Crittosistemi di base: cifratura per sostituzione, per traslazione, per permutazione, affine, di Vigenère, di Hill. Cifratura a flusso (sincrona e asincrona), Linear feedback shift registers (LFSR) su campi finiti, Cifrario autokey. Cifrari prodotto. Crittoanalisi di base: classificazione degli attacchi; crittoanalisi per i cifrari affini, per la cifratura a sostituzione (analisi delle frequenze), per la cifratura di Vigenere: Kasiski test, indice di coincidenza; crittoanalisi del cifrario di Hill e degli LFSR: attacchi algebrici, cube attack.

2. Applicazione della Teoria di Shannon alla crittografia

- Sicurezza dei cifrari: sicurezza computazionale, sicurezza dimostrabile, sicurezza incondizionata. Richiami di calcolo delle probabilità: variabili aleatorie discrete, probabilita congiunta, probabilita condizionata, variabili aleatorie indipendenti, Teorema di Bayes. Variabili aleatorie associate a crittosistemi. Sistemi di cifratura a sicurezza perfetta. Crittosistema di Vernam. Entropia. Codici di Huffman. Spurious Keys e Unicity distance.

3. Cifrari a blocchi

- Schemi di cifratura iterativi; Reti di Sostituzione-Permutazione (SPN); Crittoanalisi lineare per SPN: Piling-Up Lemma, approssimazione lineare di S- boxes, attacchi lineari a S-boxes; Crittoanalisi differenziale per SPN; Cifrari di tipo Feistel; DES: descrizione e analisi; AES: descrizione; Cenni sui campi finiti: operazioni su campi finiti, algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo del mcd e degli inversi; Modi operativi per i cifrari a blocchi.

4. Funzioni Hash e Codici per l’autenticazione di messaggi

- Funzioni di hash e integrità dei dati. Funzioni di hash sicure: resistenza alla controimmagine, resistenza alla seconda controimmagine, resistenza alla collisione. Il modello dell’oracolo random: funzioni di hash ideali, proprietà
di indipendenza. Algoritmi randomizzati, collisione sul problema della seconda controimmagine, collisione sul problema della controimmagine. Funzioni di hash iterate; la costruzione di Merkle-Damgard. Algoritmo di Hash Sicuro (SHA-1). Codici di Autenticazione (MAC): codici di autenticazione nidificati (HMAC).

[1] Antoine Joux, Algorithmic Cryptanalysis, (2010) CRC Press.
[2] Douglas Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd edition, (2006) Chapman and Hall/CRC.
[3] Delfs H., Knebl H., Introduction to Cryptography, (2007) Springer Verlag.

Grafi: definizioni basiche. Grafi semplici o no, planarita', connetivita', grado, regolarita', matrici di incidenza e di adiacenza. Esempi di famiglie di grafi. Il ''handshaking lemma''.
Grafi ottenuti a partire da altri: complemento, sottografo, cancellazione e contrazione. Isomorfismi e automorfismi di grafi. Connetivita': cammini, cicli. Un grafo e' bipartito se e soltanto se ogni ciclo ha lunghezza pari.
Connetivita' e componente connesse. Connettivita' per lati e per vertici. Grafi Euleriani e semi-Euleriani.
Teorema di Euler: un grafo connesso e' Euleriano se e soltanto se ogni vertice ha grado pari. Grafi Hamiltoniani. Condizioni sufficienti per garantire che un grafo e' Hamiltoniano: i teoremi di Ore e di Dirac.
Dimostrazione del teorema di Ore. Alberi e foreste. Il numero ciclomatico e il "cutset" rank di un grafo.
Sistema fondamentali di cicli e di tagli associati a una foresta generante. Enumerazione di foreste generanti. Il teorema di Cayley.
Alberi generanti: l'algoritmo "greedy" per il "connector problem". Grafi planari. K3,3 e K5 non sono planari. Enunciato del teorema du Kuratovski e variazioni.
Formula di Euler per grafi planari. Il duale di un grafo planare.
Corrispondenza tra cicli e tagli per grafi planari e il loro duale. Duale astratto. Un grafo che ammette un duale astratto e' planare. Coloramenti: considerazioni iniziali e alcune proprieta'.
Coloramenti: il teorema dei 5 colori. Grafi su superfici: classificazione delle superficie topologiche.
Coloramenti di faccie e dualita' tra questo problema e il coloramento di vertici. Riduzione della dimostrazione del teorema dei 4 colori ai coloramenti di faccie di grafi cubici. ''The marriage problem": il teorema di Hall.
Teorema di Hall nel linguaggio dei trasversali. Criteri di esistenza di trasversali e trasverzali parziali. Applicazione alla costruzione di quadrati latini. Grafi diretti: nozione basiche e orientabilita'.
Il teorema di Max-Flow Min-Cut e il Teorema di Menger.
Complessita' di algoritmi e applicazioni a Teoria dei Grafi.
Introduzione alla teoria dei matroidi: definizioni usando basi e elementi indipendenti. Matroidi grafici e cografici, matroidi vettoriali e il problema della rappresentabilita'.
Definizione di matroide utilizzando i cicli e la funzione rango. Minori di un matroide. Matroidi trasversali e il Teorema di Rado per i matroidi.
Unione di matroidi e applicazioni: esistenza di basi disgiunte in un matroide. Dualita' per matroidi e applicazioni ai matroidi grafici e cografici. Matroidi planari e la generalizzazione del teorema di Kuratovski per matroidi.
Elementi di teoria algebrica dei grafi: la matrice di incidenza e la matrice laplaciana di un grafo orientato. Lo spazio dei vertici e lo spazio dei lati di un grafo. Sottospazio dei cicli e sottospazio dei tagli di un grafo orientato definito della matrice di incidenza.
Basi per lo spazio dei cicli e per lo spazio dei tagli di un grafo. Il teorema di Riemann-Roch per grafi.
Dimostrazionde del "Matrix Tree theorem generalizzato". L'agoritmo di contrazione/restrizione per matroidi. Esempi. Il numero di orientazioni acicliche di un grafo.
Ancora polinomi per grafi: il polinomio cromatico, il polinomio di "reliabiliaty". Esempi. Il polinomio rango (o di Tutte) di un matroide. Poprieta' e prime applicazioni.
Dimostrazione del teorema di struttura per funzioni sui matroidi che soddisfano proprieta' di contrazione/restrizione. La loro scrittura attraverso il polinomio rango.
Mosse di Whitey e due isomorfismo per grafi. Isomorfismo tra matroidi grafici implica isomorfismo tra grafi nel caso in cui i grafi siano 3 connessi.
Il Teorema di Whitney per matroidi grafici: sketch della dimostrazione. Caratterizzazione per minori esclusi da matroidi binari e regolari. Il teorema di Seymour.

R. Diestel: Graph theory, Spriger GTM 173.
R. Wilson: Introduction to Graph theory, Prentice Hall.
B. Bollobas: Modern Graph theory, Springer GTM 184.
J. A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph theory, Springer GTM 244.
N. Biggs: Algebraic graph theory, Cambridge University Press.
C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph theory, Springer GTM 207.
J. G. Oxley: Matroid theory. Oxford graduate texts in mathematics, 3.

Il primo modulo di FM510 tratta due temi connessi tra loro:
1) Sistemi dinamici (ODE)
2) Morfogenesi alla Turing tramite sistemi reazione diffusione (PDE).

L’attività didattica è focalizzata sulle interazioni tra matematica teorica e matematica sperimentale, e si basa sui tre punti seguenti:
- Studio dei modelli teorici e analisi qualitativa;
- Implementazione dei modelli al calcolatore;
- Esperimenti numerici e analisi quantitativa.

Il programma prevede
- Sistemi dinamici, campi vettoriali, flusso e traiettorie
- Biforcazioni, biforcazioni di Hopf, Caos
- Modello di VanDerPol
- Modello di FitzHugh-Nagumo per i segnali neuronali
- Modello di Lorenz e caos
- Morfogenesi di Turing
- Modello di Gray Scott

Steven H. Strogatz,
Nonlinear Dynamics and Chaos With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering
CRC Press, 2018

https://www.google.it/books/edition/Nonlinear_Dynamics_and_Chaos/1kpnDwAAQBAJ?hl=it&gbpv=0

A. Turing, The Chemical Basis of morphogenesis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series B, vol. 237, no. 641, 1952

Teoria dei fasci e suo utilizzo in ambito schematico

Prefasci e fasci, fascio associato a un prefascio, relazione tra iniettività e biettività sulle spighe
e analoghe proprietà sulle sezioni. La categoria degli spazi anellati. Schemi. Esempi. Prodotti
fibrati. Fasci algebrici su uno schema. Fasci quasi-coerenti e fasci coerenti.

Coomologia dei fasci

Algebra omologica nella categoria dei moduli su un anello. Fasci fiacchi.
La coomologia dei fasci utilizzando la risoluzione canonica con fasci fiacchi.

Coomologia dei fasci quasi-coerenti e coerenti su uno schema.

Coomologia di Cech e coomologia ordinaria. Coomologia dei fasci quasi-coerenti su uno schema affine. La coomologia dei fasci O(n) sullo spazio proiettivo. Fasci coerenti sullo spazio proiettivo. Caratteristica di Eulero-Poincaré.

Fasci invertibili e sistemi lineari

Incollamento di fasci. Fasci invertibili e loro descrizione. Il gruppo di Picard.
Morfismi in uno spazio proiettivo. Sistemi lineari.

Note Prof. Lopez, Prof. Sernesi
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes, Springer Verlag (2000).
U. Gortz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I, Viehweg + Teubner (2010).

Richiami
- Topologie deboli e convergenza debole, semi-continuita' inferiore debole
della norma
- Spazi L^p: riflessivita', separabilita', criteri di compattezza forte.

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione uno
- Motivazioni
- Lo spazio di Sobolev W^{1,p} (I)
- Lo spazio W^{1,p}_0 (I)
- Qualche esempio di problemi ai limiti
- Principio del massimo

Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di problemi ai limiti in
dimensione N
- Definizione e proprieta' elementari degli spazi di Sobolev W^{1,p}
(Omega)
- Operatori di prolungamento
- Disuguaglianze di Sobolev
- Lo spazio W^{1,p}_0 (Omega)
- Formulazione variazionale di alcuni problemi ellittici ai limiti
- Esistenza di soluzioni deboli
- Regolarita' delle soluzioni deboli
- Principio del massimo

Analisi funzionale, H. Bre'zis, Liguori Editore

Highlights of Linear Algebra:
Matrix-matrix multiplication; column & row space; rank
The four fundamental subspaces of linear algebra
Fundamentals of Matrix factorizations:
A=LU rows & columns point of view
A=LU elimination & factorization; permutations
A=RU=VU; Orthogonal matrices
Eigensystems and Linear ODE
Intro to PSym; the energy function
Gradient and Hessian
Singular Value Decomposition
Eckart-Young; derivative of a matrix norm
Principal Component Analysis
Generalized evectors;
Norms
Least Squares
Convexity & Newton’s method
Newton & L-M method; Recap of non-linear regression
Lagrange multipliers

Machine Learning:
Gradient Descend; exact line search; GD in action; GD with Matlab
Learning & Loss; Intro to Deep Neural Network; DNN with Matlab
Loss functions: Quadratic VS Cross entropy
Stocastics Gradient Descend (SGD) & Kaczmarcz; SGD convergence rates & ADAM
Matlab interface for DNN
Construction of DNN: the key steps
Backpropagation and the Chain Rule
Machine Learning examples with Wolfram Mathematica
Convolutional NN + Mathematica examples of 1D convolution
Convolution and 2D filters + Mathematica examples of 2D convolution
Matlab Live Script, Network Designer, Pretrained Net

G. Strang,
Linear Algebra and Learning from Data,
Wellesley-Cambridge Press

M. Nielsen,
Neural Networks and Deep Learning (free online book)
http://neuralnetworksanddeeplearning.com

Various authors,
Distill, dedicated to clear explanations of machine learning
https://distill.pub

Argomenti Parte A

• Coordinate e Telescopi
• Elementi di Spettroscopia
• Stelle ed Evoluzione Stellare • Galassie
• Nuclei Galattici Attivi

Programma A

- Panoramica generale
- Coordinate celesti (1.3)
- Telescopi e potere risolutivo (6.1)
- Distanza di parallasse (3.1)
- Flusso, luminosità, magnitudini apparenti ed assolute, colori (3.2, 3.3, 3.6)
- Il corpo nero (3.4, 3.5)
- Diagramma di Hertzsprung-Russel (8.2)
- Ammassi aperti e globulari: posizione, popolazioni stellari e diagramma HR (13.3)
- Nane bianche, Novae e SuperNovae (cenni in 15 e 16)
- La classificazione delle galassie (24.1)
- La curva di rotazione delle galassie e la materia oscura (25.3)
- Il centro della Galassia ed il suo Black Hole (25.4)
- Legge di Hubble ed espansione dell’Universo (27.2)
- Probabilità di collisione tra stelle e tra galassie (dispense)
- Buchi Neri: cenni di Relatività Generale (cenni nel 17)
- Nuclei Galattici Attivi (28.1, 28.2, 28.3)

Argomenti Parte B

• Struttura ed evoluzione stellare
• Elementi di Spettroscopia
• Distanze ed espansione dell’Universo • Galassie
• GRB e onde gravitazionali

Programma B

- Dischi di Accrescimento ed emissione X nei Nuclei Galattici Attivi (28.2)
- Stelle di Neutroni e Pulsars (cenni in 16.6, 16.7)
- Gamma Ray Bursts (dispense)
- Onde Gravitazionali (dispense)
- Spettroscopia: eq. di Boltzmann-eccitazione e di Saha-ionizzazione (8.1)
- Spettroscopia: misure di velocità, temperatura e densità (8.5)
- Eq. di struttura delle stelle, tempo e instabilità di Kelvin-Helmholtz (11.1-4)
- Le reazioni nucleari dell’idrogeno (11.3)
- Massa di Jeans del collasso gravitazionale, tempo di free-fall e Initial Mass Function (12.2, 12.3)
- La Via Lattea (25.1, 25.2)
- La metallicità (25.2)
- Transito di Venere e misura della distanza Terra-Sole (dispense)
- Scala delle distanze (27.1)
- Legge di Hubble, espansione dell’Universo (27.2)
- Gruppo Locale, Ammassi di Galassie, Struttura su Larga Scala dell’Universo (27.3)
- Il Big Bang e la radiazione di fondo (brevi cenni in 29.2 e dispense)


Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics II ed.- B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley” (copie delle edizioni precedenti sono disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo). Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

La copia delle dispense lezioni può essere scaricata dal sito web del corso.

Fra parentesi i paragrafi da “An Introduction to Modern Astrophysics, II ed. - B.W. Carrol, D.A. Ostlie - Ed. Pearson, Addison Wesley ” (copie disponibili in biblioteca). La trattazione nel corso è stata semplificata rispetto a quanto riportato nel testo. Testo alternativo in italiano: Attilio Ferrari, Stelle, Galassie, Universo - Fondamenti di Astrofisica - Ed. Springer

1. I temi della logica
2. Logica classica: proposizioni, dimostrazioni
3. Logica classica: connettivi
4. Logica classica: tipi, variabili, quantificatori
5. Logica classica del primo ordine
6. Classi e insiemi
7. Codificazione, digitalizzazione, algebra di Boole
8. Macchina di Turing
9. Assiomatizzazione e formalizzazione della logica classica del primo ordine
10. La logica e le altre discipline

V. Michele Abrusci, LOGICA - Lezioni di primo livello, Quarta edizione, Wolters Kluwer, 2018

A) LA TRASFORMAZIONE DELLE REGOLE STRUTTURALI IN REGOLE LOGICHE: IL CALCOLO DEI SEQUENTI E LA DERIVABILITA' IN LOGICA LINEARE
B) NON-DETERMINISMO POSITIVO E IL NEGATIVO: IL CALCOLO DEI SEQUENTI FOCALIZZATO PER LA LOGICA LINEARE, LA RICERCA AUTOMATICA DELLE DIMOSTRAZIONI
C) LA COMPLESSITA' IMPLICITA E LA LOGICA LINEARE
D) GEOMETRIA DELLE DIMOSTRAZIONI: LE RETI DIMOSTRATIVE IN LOGICA LINEARE
E) GLI INVARIANTI E LO SVILUPPO DELL’INTERAZIONE TRA DIMOSTRAZIONI: GLI SPAZI COERENTI, LA GEOMETRIA DELL'INTERAZIONE

APPUNTI E SLIDES DISPONIBILI SULLA PAGINA WEB DEL CORSO
https://sites.google.com/view/lm510/

Funzioni aritmetiche e loro proprietà:
-Definizione e convoluzione di Dirichlet.
-Funzione numero e somma dei divisori.
-Funzione di Möbius.
-Funzione di Eulero.

Congruenze:
-Insiemi di residui.
-Congruenze polinomiali.
-Radici primitive.

Residui quadratici:
-Simbolo di Legendre.
-Reciprocità quadratica.
-Simbolo di Jacobi.

Somme di quadrati:
-Somme di due quadrati.
-Numero di rappresentazioni.
-Somme di quattro quadrati.
-Somme di tre quadrati.

Frazioni continue e approssimazione diofantea:
-Frazioni continue semplici.
-Frazioni continue e approssimazione diofantea.
-Frazioni continue semplici infinite.
-Frazioni continue periodiche.
-Equazione di Pell.
-Il teorema di Liouville.

Dispense del docente

Note di W. Chen
http://www.williamchen-mathematics.info/lnentfolder/lnent.html


An Introduction to the Theory of Numbers by G. H. Hardy, E. M. Wright

M. Fontana, Appunti del corso TN1 (Argomenti della teoria classica dei numeri), http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/fontana_didattica.html#dispense

Tratteremo alcuni aspetti della relazione tra la geometria Riemanniana e la topologia delle varietà. In particolare, lo scopo del corso è dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow per le superfici. Entrambi i risultati verranno dimostrati utilizzando le proprietà geometriche delle geodetiche. Queste sono curve che, almeno localmente, minimizzano la distanza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo, faremo un'introduzione alla geometria Riemanniana astratta in dimensione arbitraria.

Differential Geometry of Curves & Surfaces, by Manfredo Do Carmo. Second edition.
Curve e Superfici, di Marco Abate e Francesca Tovena.

1. Problemi di ottimizzazione e di ottimizzazione combinatoria. Enumerazione delle soluzioni.
2. Fondamenti di analisi degli algoritmi. Trattabilità computazionale. Ordine asintotico di crescita.
3. Grafi. Connettività ed attraversamento. Bipartizioni. Connettività in grafi diretti. Grafi diretti aciclici ed ordinamento topologico.
4. Algoritmi avidi. Schedulazione di intervalli. Caching ottimo. Cammini minimi in un grafo. Albero ricoprente a costo minimo.
5. Divide et impera. Il mergesort. Conteggio di inversioni. Coppia di punti più vicina.
6. Programmazione dinamica. Schedulazione di intervalli pesati. Principi della programmazione dinamica. Somme di sottoinsiemi e problema della bisaccia. Cammini minimi tra tutte le coppie. Cammini minimi e protocollo basato su vettori delle distanze.
7. Flussi di rete. Flusso massimo e algoritmo di Ford-Fulkerson. Flussi massimi e tagli minimi in una rete. Cammini aumentanti. Abbinamenti bipartiti. Cammini disgiunti in grafi diretti e non diretti.
8. Intrattabilità computazionale. Riduzioni tempo-polinomiali. Riduzioni attraverso "gadget". Certificazione efficiente e definizione di NP. Problemi NP-completi. Problemi di copertura, impaccamento, partizionamento, sequenziamento, numerici. Altri esempi.

Jon Kleinberg, Eva Tardos. Algorithm Design. Pearson Education, 2013.

Geometria simplettica e formalismo hamiltoniano. Teoria KAM. Possibili altri argomenti a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

[Z] Zehnder - "Lectures on dynamical systems".

Il programma verte su grandi temi di Evoluzione Biologica degli organismi animali e vegetali.
Probabilità e il suo ruolo nell'evoluzione (selezione naturale vs. deriva genetica)
Modelli logistici e loro applicazione nella biologia della conservazione
Come leggere e scrivere un articolo scientifico

Non vi è un libro di testo - Lo studente può richiedere al docente i PDF delle presentazioni Power Point delle lezioni

1. TEORIA ATOMICA E STRUTTURA DELL’ATOMO. ATOMI, MOLECOLE, MOLI. PESO ATOMICO E PESO MOLECOLARE. ATOMO DI RUTHERFORD, ATOMO DI BOHR, TEORIA QUANTISTICA, NUMERI QUANTICI E LIVELLI ENERGETICI; ATOMI POLIELETTRONICI, SISTEMA PERIODICO.
2. LEGAME CHIMICO. LEGAME IONICO. LEGAME COVALENTE: LEGAME SIGMA E LEGAME PI GRECO. MOLECOLE POLIATOMICHE. STRUTTURA MOLECOLARE. IBRIDAZIONE E RISONANZA. ORBITALE MOLECOLARE. LEGAME METALLICO. FORZE INTERMOLECOLARI.
3. NOMENCLATURA E REAZIONI CHIMICHE. OSSIDI, IDROSSIDI, ACIDI, SALI, IONI. BILANCIAMENTO DELLE REAZIONI CHIMICHE.
4. STATI DI AGGREGAZIONE. STATO GASSOSO E LEGGI DEI GAS. STATO SOLIDO: SOLIDI IONICI, MOLECOLARI, METALLICI, COVALENTI. CONDUTTORI, SEMICONDUTTORI, ISOLANTI. LIQUIDI ED AMORFI. CAMBIAMENTI DISTATO E DIAGRAMMI DI STATO.
5. SOLUZIONI. CONCENTRAZIONE DELLE SOLUZIONI. PROPRIETÀ COLLIGATIVE. SOLUZIONI DI ELETTROLITI.
6. TERMODINAMICA. MATERIA, ENERGIA, CALORE. PRIMO E SECONDO PRINCIPIO. ENTALPIA, ENTROPIA, ENERGIA LIBERA.
7. EQUILIBRIO CHIMICO. COSTANTE DI EQUILIBRIO ED ENERGIA LIBERA. EQUILIBRI IN FASE GASSOSA ED ETEROGENEA. PRINCIPIO DI LE CHATELIER. EQUAZIONE DI VAN’T HOFF.
8. EQUILIBRI IN SOLUZIONE. EQUILIBRI ACIDO-BASE: ACIDI E BASI, PH, COSTANTI DI DISSOCIAZIONE, ACIDI POLIPROTICI, IDROLISI, TAMPONI; TITOLAZIONI ACIDO-BASE, INDICATORI. EQUILIBRI DI SOLUBILITÀ: SOLUBILITÀ E PRODOTTO DI SOLUBILITÀ, EFFETTO DELLO IONE A COMUNE.
9. ELETTROCHIMICA. PILE, POTENZIALI ELETTRODICI, EQUAZIONE DI NERNST. ELETTROLISI.
10. CINETICA CHIMICA. VELOCITÀ DELLE REAZIONI CHIMICHE. COSTANTE DI VELOCITÀ. INFLUENZA DELLA TEMPERATURA INFLUENZA DELLA TEMPERATURA SULLA VELOCITÀ: EQUAZIONE DI ARRHENIUS. CATALIZZATORI.
ESERCITAZIONI NUMERICHE SUGLI ARGOMENTI SVOLTI.

M. Schiavello, L.Palmisano; FONDAMENTI DI CHIMICA. EDISES
P. Michelin Lausarot, G.A. Vaglio; STECHIOMETRIA PER LA CHIMICA GENERALE. Piccin Editore

L’ambiente celeste; il Sistema solare; forma e dimensioni della Terra; i moti principali della Terra (rotazione e rivoluzione); i moti millenari della Terra; la Terra e la Luna.
L’orientamento; il tempo e la sua misura; la rappresentazione della superficie terrestre; le coordinate geografiche (latitudine e longitudine); la lettura delle carte topografiche.
Le forme del rilievo e il modellamento del rilievo terrestre; l’idrosfera marina, l’idrosfera continentale, la criosfera; l’atmosfera; il clima.
I materiali della Terra: i minerali, i processi litogenetici, il ciclo litogenetico.

Capire la Terra
J.P. Grotzinger, T-H Jordan
(Terza edizione italiana condotta sulla settima edizione americana)

Il Globo Terrestre e la sua evoluzione
E. L. Palmieri e M. Parotto
Sesta Edizione (2008)

Materiale didattico distribuito durante lo svolgimento del corso

Introduzione alla teoria degli insiemi: aggregati ed insiemi, necessità di una teoria, ordinali e cardinali, antinomie e paradossi, principali caratteristiche della teoria assiomatica. La teoria assiomatica di Zermelo (Z) e quella di Zermelo-Fraenkel (ZF): preliminari e convenzioni, la teoria di Zermelo, l’assioma di rimpiazzamento e la teoria di Zermelo-Fraenkel, estensioni del linguaggio per definizione. Gli ordinali: ordini, buoni ordini e buona fondatezza, buona fondatezza e principio di induzione, i numeri ordinali, buoni ordini ed ordinali, l’induzione ordinale (dimostrazioni e definizioni), argomento diagonale ed ordinali limite, assioma dell’infinito ed aritmetica ordinale, cenni sull’uso degli ordinali in teoria della dimostrazione. Assioma di scelta: formulazioni equivalenti (e dimostrazione dell’equivalenza), insiemi infiniti e assioma di scelta. I cardinali: equipotenza ed insiemi infiniti, i numeri cardinali, aritmetica cardinale.

V. Michele Abrusci e Lorenzo Tortora de Falco, Logica. Vol. 2 Incompletezza, teoria assiomatica degli insiemi, Springer, 2018

Equazione delle onde, equazione del calore, Introduzione alla meccanica quantistica

W. Craig, A Course on Partial Differential Equations - American Mathematical Society (2018)

Sistemi di equazioni lineari
Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss. Strategie di pivoting. Il metodo di eliminazione come fattorizzazione. Le fattorizzazioni di Doolittle e Cholesky. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson e loro convergenza. Confronto tra metodi diretti ed iterativi. La stabilita' degli algoritmi risolutivi per sistemi lineari.

Metodi iterativi per equazioni scalari nonlineari
Richiami sui teoremi di esistenza degli zeri. I metodi di bisezione, di Newton, delle secanti, delle corde e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 1 ad eccezione del paragrafo 1.2.3, e appendici A.1, A.2)

Approssimazione di funzioni
Strategie generali di approssimazione. Il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione. Convergenza del polinomio interpolatore per funzioni analitiche. Strategie di infittimento dei nodi nell'interpolazione: nodi di Chebyshev e approssimazioni composite. Stima dell'errore. Polinomio di Hermite, costruzione e rappresentazione dell'errore. Approssimazioni per Errore Quadratico Minimo. (Riferimento: Capitolo 5 ad eccezione del paragrafo 5.2, e appendice A.4)

Integrazione numerica
Principi generali delle quadrature numeriche. Il teorema di Polya sulla convergenza delle quadrature interpolatorie. Le formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Risultati di stabilita' e stima dell'errore. Formule di Newton-Cotes generalizzate e loro convergenza. Quadrature gaussiane e loro convergenza. (Riferimento: Capitolo 6)

Esercitazioni di laboratorio
Implementazione in linguaggio C di alcuni tra gli algoritmi piu' significativi, in particolare: metodo di eliminazione di Gauss, metodi iterativi per sistemi lineari e per equazioni scalari, interpolazione di Lagrange o Newton con una strategia di infittimento.

N.B.: I riferimenti sono dati sugli appunti del corso.

Roberto Ferretti, "Appunti del corso di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/corso.pdf

Roberto Ferretti, "Esercizi d'esame di Analisi Numerica", disponibile in forma elettronica all'indirizzo: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/Esercizi.pdf

Lucidi delle lezioni, disponibili in forma elettronica sotto la pagina del corso: http://www.mat.uniroma3.it/users/ferretti/bacheca.html

Grandezze Fisiche. Grandezze fisiche Intensive ed Estensive. Misure dirette e indirette.
Grandezze di Base e Derivate. Unità di misura. Sistemi di unità di misura. Cambiamento di
unità di misura. Dimensioni fisiche principio di omogeneità e analisi dimensionale. Strumenti
di misura. Strumenti Analogici e Digitali. Caratteristiche degli strumenti di misura: Portata,
Soglia, Risoluzione, Linearità e Sensibilità. Accuratezza e Precisione degli strumenti.
Incertezza nella misurazioni. Definizione di Errore di misura. Errori casuali ed errori
sistematici. Concetto di incertezza di misura. Cause delle incertezze. Incertezze di Tipo A e
Tipo B. Analisi grafica dei dati Uso di Tabelle e grafici per la rappresentazione e l’analisi
preliminare dei dati senza l’ausilio degli strumenti statistici. Grafici lineari, semi-logaritmici,
doppio-logaritmici. Istogrammi. Propagazione delle incertezze. Incertezza nelle misurazioni
indirette. Propagazione delle incertezze per grandezze indipendenti. Variabili casuali
correlate. Definizione di coefficiente di correlazione. Propagazione delle incertezze per
grandezze correlate


Programma di laboratorio
- Misurazioni di grandezze fondamentali: massa, lunghezza, tempo
– Determinazione dell’incertezza sulla misura: sensibilità dello strumento,
–Deviazione standard in misure ripetute, propagazione delle incertezze
- Incertezza sulla media in misure ripetute e dipendenza dalle dimensioni del campione
– Studio del pendolo semplice: verifica dell’indipendenza del periodo dalla massa, studio della dipendenza del periodo dalla lunghezza, misura di g
– Studio del moto di un carrello sul piano inclinato, effetto dell’attrito, misura di g
- Studio statico e dinamico della costante elastica di una molla
– Misurazione di resistenze con metodo voltamperometrico, studio di un partitore resistivo
– Studio della diffrazione, verifica della legge di Snell

materiale che verrà fornito durante il corso dai docenti

Il corso tratterà in generale alcuni temi della storia e della filosofia dello spazio e del tempo, dando particolare attenzione al rapporto tra tempo della fisica e tempo dell’esperienza umana. All’interno di questo rapporto, la questione della natura del momento presente è particolarmente importante, visto che mentre la fisica non ne tratta, dal punto di vista della nostra esperienza esso separa l’immutabile passato da un futuro che non è fatalisticamente o deterministicamente inteso, ma che appare invece “aperto” alla nostra libera decisione. Si leggeranno brani di alcuni autori classici della storia della filosofia relativi agli argomenti principali trattati durante il corso e si introdurranno gli studenti al legame profondo che esiste tra caso e irreversibilità

1 Mazur J. Achille e la tartaruga. Il paradosso del moto da Zenone a Einstein, Il Saggiatore, 2019
2. McTaggart J., L’irrealtà del tempo. BUR, 2008.
3. Space from Zeno to Einstein, a cura di N. HUGGETT, The MIT PRESS, 2004
4. Weatherall J. La fisica del nulla. La strana storia dello spazio vuoto. Bollati
5. Redondi P., Brevi storie del tempo, Laterza, 2007 (seconda parte)