Università Roma Tre

§I. Introduzione: inerzia e covarianza

Relatività Galileiana e Relatività Speciale. Il principio di equivalenza. Motivazioni per la covarianza generale. Sistemi inerziali locali.

§II. Spaziotempo dinamico: fondamenti della Relatività Generale

Coordinate curvilinee. Vettori e tensori sotto trasformazioni generali di coordinate. Trasporto parallelo e simboli di Christoffel. Derivate covarianti e compatibilità metrica. Vettori covariantemente conservati e densità vettoriali conservate. Trasformazione dei simboli di Christoffel. Il teorema di Ricci. Geodetiche e loro limite newtoniano. Curve tipo-spazio, tipo-tempo e tipo-luce. Coordinate normali e sistemi inerziali locali. Derivazione covariante lungo una curva. Tensore di curvatura di Riemann. Proprietà algebriche. Identità Bianchi. Sistemi inerziali locali. Caratterizzazione degli spazi piatti. Deviazione geodetica. Azione di Einstein-Hilbert ed equazioni del moto. L'identità di Palatini. Costante cosmologica. Accoppiamento a materia non dinamica: identità di Bianchi contratta, tensore energia impulso della materia e conservazione covariante. Accoppiamento minimale a campi scalari ed elettromagnetici.

§III. Approssimazione lineare e onde gravitazionali

Motivazioni. Fluttuazioni dello spazio-tempo piatto: tensore di Riemann linearizzato e sua invarianza di gauge abeliana. Equazioni del moto: gauge di de Donder e onde gravitazionali. Confronto con la teoria di Maxwell.

§IV. Isometrie e spazi massimamente simmetrici

Simmetrie di tensori: invarianza di forma. Equazioni di Killing. Condizione di integrabilità e numero massimo di isometrie. La derivata di Lie. Vettori di Killing e leggi di conservazione. L'esempio dello spazio di Minkowski. Isometrie traslazionali.

§V. La soluzione di Schwarschild

Metrica di Schwarzschild. Simmetria sferica e teorema di Birkhoff (senza dimostrazione). Vettori di Killing della metrica di Schwarzschild. Redshift gravitazionale.

- Susskind L, Cabannes - Relatività Generale, (Raffaello Cortina Editore, 2024)
- Rovelli C, Relatività Generale, (Adelphi, 2021).