Università Roma Tre

1. Teoria delle Curve Ellittiche
L’equazione di Weierstrass, La struttura di gruppo sui punti razionali, formule per la somma e la duplicazione. Generalità sulle intersezioni fra rette e curve in P2(K)
Risultati preparatori alla dimostrazione dell’associatività dei punti sulle curve ellittiche. Dimostrazione dell’associatività della somma per i punti di una curva ellittica. Altre equazioni per curve ellittiche, Equazione di Legendre, Equazioni cubiche, Equazioni quartiche, intersezioni di due superfici cubiche. L’invariante j, curve ellittiche in caratteristica 2, Endomorfismi, curve singolari, curve ellittiche modulo n.

2. Punti di Torsione
Punti di torsione, Polinomi di divisione. L’accoppiamento di Weil.

3. Curve ellittiche su campi finiti
L’endomorfismo di Frobenius. Il problema di determinare l’ordine del gruppo.Curve su sottocampi, Simboli di Legendre, Ordini dei punti, L’algoritmo ”Baby Step,Giant Step” di Shanks. Famiglie particolari di curve ellittiche. L’algoritmo di Schoof.

4. Crittosistemi sulle Curve Ellittiche.
Il problema del Logaritmo Discreto. Algoritmi per il calcolo del logaritmo discreto: Baby-Step Giant-Step e Polig-Hellman. Attacco MOV. Attacco sulle curve anomale. Scambio di Chiavi di Diffie-Hellman. Crittosistemi di Massey Omura e ElGamal. Schema di Firma di El Gamal. Crittosistemi sulle curve ellittiche basati sulproblema della fattorizzazione. Un crittosistema basato sull’accoppiamento di Weil. Fattorizzazione di numeri interi utilizzando le curve ellittiche. Utilizzo di Pari.

Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Crptography. Chapman & Hall (CRC) 2003.