Università Roma Tre

Richiami sui numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche, la compattificazione ad un punto del campo dei numeri complessi e la sua identificazione con la sfera via proiezione stereografica, la rappresentazione polari dei numeri complessi.
Funzioni olomorfe: esempi (polinomi, funzioni razionali, esponenziale), non-esempio (il coniugio complesso), equazioni di Cauchy-Riemann.
L'algebra delle serie di potenze formali: ordine di una serie di potenze, inverso, composizione, derivata,
Il campo dei quozienti del dominio delle serie formali: il campo delle serie di Laurent, residui, inversi.
Convergenza: puntuale, assoluta, uniforme e uniforme sui compatti. La serie geometrica e le sue proprieta' di convergenza.
Il Teorema di Abel per la convergenza di serie di potenze: raggio di convergenza, convergenza assoluta e uniforme sui compatti all'interno del disco di convergenza, divergenza all'esterno, olomorficita' della funzione limite, convergenza della serie derivata.
Serie di potenze convergenti e funzioni olomorfe a loro associate. Convergenza della derivata di una serie convergente, della somma e del prodotto di serie convergenti, della composizione di serie convergenti, dell'inverso moltiplicativo e dell'inverso per composizione.
Funzioni analitiche: sviluppo in serie locale di una funzione analitica; le funzioni analitiche sono infinitamente derivabili e tutte le loro derivate sono analitiche; somma, prodotto, inverso e composizione di funzioni analitiche sono analitiche; le funzioni analitiche hanno una primitiva analitica locale, unica a meno di costante, una serie convergente definisce una funzione analitica nel suo disco di convergenza, il teorema della funzione inversa.
Forma normale di una funzione analitica: ogni funzione analitica e' localmente, a meno di traslazioni e cambio di coordinate, l'elevazione ad una potenza oppure e' localmente costante.
Il teorema della funzione aperta. Criterio di isomorfismo analitico. Principio del massimo modulo locale e globale.
Gli zeri di una funzione analitica sono discreti. Le funzioni localmente costanti sono costanti in un aperto connesso. Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (usando il principio del massimo modulo globale).
L'integrale di una funzione continua complessa lungo una curva C^1 a tratti.
Criterio per l'esistenza di una primitiva: una funzione continua ammette una primitiva se e solo se il suo integrale e' zero lungo una qualsiasi curva chiusa. Esempio: l'esponenziale complesso come funzione analitica.
L'integrale di successioni e serie uniformemente convergenti.
Una funzione olomorfa in un disco ammette una primitiva.
L'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva continua (non necessariamente C^1 a tratti).
L'omotopia tra curve continue. Il teorema di invarianza omotopica dell'integrale. Corollario: Una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso ammette una primitiva.
La formula integrale (o locale) di Cauchy (senza dimostrazione). Formula di Cauchy per lo sviluppo in serie di una fuzione olomorfa (senza dimostrazione). Corollari: le funzioni olomorfe sono analitiche, una serie di potenze non e' olomorfa in almeno un punto del bordo del disco di convergenza, una funzione intera con andamento polinomiale all'infinito e' un polinomio, una funzione intera limitata e' costante (teorema di Liouville), formula integrale di Cauchy per le derivate di una funzione olomorfa. Applicazione: dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra usando il teorema di Liouville.
Dimostrazione della formula integrale (o locale) di Cauchy. Dimostrazione della formula di Cauchy per lo sviluppo in serie di una fuzione olomorfa.
Numero di avvolgimento di una curva chiusa intorno ad un punto: definizione ed esempi.
Proprieta' del numero di avvolgimento di una curva chiusa: definizione analitica, costanza nelle componenti connesse del complementare della curva.
Curve omologhe a zero in un aperto. Relazione tra omotopia e omologia. La formula globale di Cauchy: dimostrazione di Dixon.
Catene e cicli. Integrazione lungo una catena. Numero di avvolgimento di un ciclo. Cicli omologhi a zero. Il primo gruppo di omologia (a coefficienti interi) di un aperto e sua relazione con il gruppo fondamentale. Esempi.
La formula globale di Cauchy e il Teorema di Cauchy sull'invarianza omologica: loro equivalenza.
La dimostrazione del Teorema di Cauchy sull'invarianza omologica (tratta dal libro di Alfhors).
Successioni di funzioni olomorfe uniformemente convergenti sui compatti: olomorficita' della funzione limite; la derivata e l'integrale su una catena si possono scambiare col limite.
Serie di Laurent (infinite) convergenti e funzioni olomorfe su una corona circolare.
Singolarita' isolate: singolarita' rimuovibili, poli, singolarita' essenziali. Esempi. Funzioni razionali. I teoremi (di Riemann e Casorati-Weierstrass) di caratterizzazione delle singolarita' isolate.
Il teorema dei residui: versione locale e globale.
Funzioni meromorfe e loro proprieta'. La derivata logaritmica di una funzione meromorfa e sue proprieta'. Il principio dell'argomento. Corollario: numero di zeri e poli all'interno di una curva semplice chiusa. Applicazione: dimostrazione del Teorema fondamentale dell'Algebra usando il principio dell'argomento.
Il teorema di Roche'. Applicazione: dimostrazione del Teorema fondamentale dell'Algebra usando il teorema di Roche'.
Un approccio al problema di classificazione dei domini di C tramite il teorema della mappa e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). Esempi: il disco e il semipiano superiore sono biolomorfi (trasformata di Cayley), il rivestimento universale di C^* e' il piano complesso e la mappa di rivestimento e' l'esponenziale.
La retta proiettiva complessa come compattificazione del piano complesso. La retta proiettiva complessa e' omeomorfa alla sfera tramite proiezione stereografica. Il gruppo proiettivo lineare PGL2 agisce sulla retta proiettiva complessa tramite trasformazioni lineari fratte (o di Moebius).
Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il Lemma di Schwarz. Il gruppo degli automorfismi del disco unitario.
La classificazione dei sottogruppi degli automorfismi del piano complesso che agiscono in maniera libera e propriamente discontinua.
Quozienti di rivestimento del piano complesso.
Funzioni ellittiche (o doppiamente periodiche) rispetto ad un reticolo. Le uniche funzioni ellittiche olomorfe sono le costanti. Proprieta' degli zeri e poli delle funzioni ellittiche all'interno di un dominio fondamentale.
La funzione P di Weiertrass e la sua derivata P': definizione e proprieta' di convergenza.
Proprieta' della funzione P e della sua derivata P': ellitticita', parita'/disparita', poli e zeri.
La relazione polinomiale tra P e P'. Tutte le funzioni ellittiche si esprimono come funzioni razionali in P e P'. Corollario: il campo delle funzioni ellittiche.

S. Lang: Complex Analysis. Fourth edition. Graduate Texts in Mathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999.
L. V. Ahlfors: Complex Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978.
R. Shakarchi: Problems and solutions for complex analysis. Springer-Verlag, New York, 1999.