Università Roma Tre

Logica, insiemi ed insiemi numerici
· Logica proposizionale ed insiemistica: proposizioni, connettivi logici, teoremi, Condizioni Necessarie, Condizioni Sufficienti. Dimostrazione diretta, dimostrazione per assurdo, controesempi.
· Numeri e insiemi numerici: sottoinsieme, sottoinsieme proprio, insieme delle parti; operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementare) e loro proprietà, insiemi disgiunti, prodotto cartesiano. Insieme dei numeri naturali, insieme dei numeri interi relativi, insieme dei numeri razionali. Teorema dell’irrazionalità di radice di 2 (c.d.), numeri irrazionali, numeri reali. Rappresentazione geometrica dei reali, relazioni d’ordine, insieme ordinato. Insiemi limitati e insiemi illimitati: maggioranti e minoranti di un insieme, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme, massimi e minimi di un insieme. Intervalli reali. Intorni. Punti di accumulazione, punti isolati, punti interni e punti di frontiera. Insieme aperto e insieme chiuso.
· Sommatoria e produttoria: Sommatoria, somma dei primi n numeri interi (Gauss), progressione geometrica somma geometrica. Produttoria e fattoriale.
Funzioni reali di una variabile reale
· Generalità: Definizione di funzione, dominio e immagine. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e corrispondenze biunivoche. Funzioni simmetriche (pari e dispari). Funzioni monotone. Funzioni elementari: lineare affine, potenza e suo reciproco, radici di indice pari e di indice dispari, esponenziale e logaritmo. Operazioni sui grafici. Funzione modulo, funzioni definite a tratti, funzioni composte e inverse. Funzioni invertibili. Calcolo del dominio di una funzione. Teorema sulla relazione tra funzioni monotone e funzioni invertibili (d. fac.). Esempi di applicazioni economiche.
· Limiti, continuità e discontinuità: Le quattro definizioni di limite (finito al finito, finito all’infinito, infinito al finito, infinito all’infinito). Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui. Verifiche di limite. Teorema di unicità del limite (c.d.), Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.), Teorema di permanenza del segno in forma inversa. Teorema del confronto (c.d.). Calcolo dei limiti in punti interni del dominio, all’infinito o sui punti di frontiera del dominio. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo. Confronto tra infinitesimi, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo. Operazioni tra infinitesimi. Teorema cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore (d. fac.). Definizione di infinito. Confronto tra infiniti, infinito campione, ordine di infinito. Operazioni tra infiniti. Teorema cancellazione degli ordini di infiniti di ordine inferiore (d. fac.). Continuità: definizioni, teoremi sulle operazioni razionali funzioni continue (c.d.), continuità funzione composta (c.d.), Punti di discontinuità, Continuita e invertibilità. Massimi e minimi di una funzione, Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri d una funzione continua, teorema di Darboux.
Calcolo differenziale: definizione di derivata. Significato geometrico. Punti di non derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate di ordine superiore al primo. Teoremi sulle derivate: Teo della Derivata funzione composta (d. fac.), teorema della Derivata funzione inversa (d. fac.). Teorema di de l’Hospital (d. fac.). Individuazione dei punti di non derivabilità. Differenziale: Definizione e significato geometrico. Teorema del resto del primo ordine (d. fac.). Polinomio di Taylor. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (c.d.). Teorema di Lagrange (c.d). Corollari del teorema di Lagrange (d.fac.). Convessità, concavità. Punti di flesso. Studio di una funzione. Grafico della funzione.
Calcolo integrale : integrale indefinito: definizione di primitiva, proprietà delle primitive, definizione di integrale indefinito, proprietà, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrale definito: definizione, proprietà, teorema della media integrale, funzione integrale, teorema di Torricelli- Barrow (c.d.), corollario

Algebra lineare : vettori in R^n, operazioni tra vettori, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare. Matrici, operazioni tra matrici, prodotto righe per colonne, matrici particolari, matrice trasposta, determinante, rango. Equazioni lineari, sistemi di equazioni lineari, teorema di Cramer, teorema di Rouchè-Capelli, sistemi omogenei, sistemi parametrici

(c.d.) = “con dimostrazione)
(d. fac.)= dimostrazione facoltativa

1)Dispense date dal docente su piattaforma Moodle
2)Testo per esercizi :
Mastroeni-Mazzoccoli-Vellucci
Esercizi di Matematica Generale
Esculapio Editore