Università Roma Tre

Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi. Assioma di completezza e ipotesi del continuo. Rappresentazione di numeri reali sulla retta. Rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale di numeri complessi. Teorema fondamentale dell’algebra.

Vettori: rappresentazione algebrica e geometrica. Somma di vettori, prodotto per uno scalare, combinazioni lineari,
basi. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Rette nel piano cartesiano, rette e piani nello spazio: condizioni di parallelismo e perpendicolarità.

Algebra lineare: matrici, somma di matrici, prodotto per uno scalare, prodotto di matrici, matrice trasposta.
Algebra delle matrici quadrate: traccia, determinante, potenza intera positiva, matrice inversa. Sistemi lineari: rappresentazione matriciale, risoluzione col metodo della matrice inversa, teorema di Cramer, sistemi omogenei, rango di una matrice e teorema di Rouché-Capelli. Autovalori e autovettori. Teorema spettrale per matrici reali simmetriche. Trasformazioni lineari nel piano euclideo: rotazioni.

Funzioni reali di variabile reali. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Composizione di funzioni. Invertibilità e monotonia. Punti stazionari: massimi, minimi e flessi. Simmetrie: funzioni pari, dispari e periodiche. Grafico di una funzione e operazioni sui grafici.

Funzioni elementari e loro proprietà. Funzioni lineari, valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi,
funzioni trigonometriche. Risoluzione di disequazioni. Applicazioni.

Limiti: definizione e proprietà. Teoremi sui limiti: teorema della permanenza del segno e teorema del confronto. Regole di calcolo dei limiti. Forme indeterminate, infiniti e infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni limitate e divergenti. Asintoti. Funzioni continue e punti di discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue e controesempi: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri, teorema del valore intermedio.

Derivate: rapporto incrementale e definizione di derivata. Interpretazione geometrica e rette tangenti a grafici. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti di non derivabilità. Teoremi di derivazione: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy. Criteri di monotonia e convessità. Teorema di de l’Hopital. Approssimazione di
funzioni con polinomi e formula di Taylor. Applicazioni.

Grafici: studio qualitativo del grafico di una funzione.

Cenni di calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Limiti in più variabili. Continuità. Derivata direzionale, gradiente e matrice hessiana. Caratterizzazione di punti di massimo, di minimo e di sella. Campi vettoriali: divergenza e rotore.

1. Dispense disponibili online.
2. Carlo Sbordone, Paolo Marcellini, Elementi di Calcolo, Liguori.
3. Carlo Sbordone, Paolo Marcellini, Esercitazioni di Matematica (prima parte e seconda parte), Liguori.

▪ Teoria degli insiemi (cenni).
▪ Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi.
▪ Vettori e calcolo vettoriale.
▪ Matrici, algebra lineare e sistemi lineari.
▪ Funzioni reali di una variabile reale:
- funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche;
- limiti, derivate, formula di Taylor;
- studio qualitativo del grafico.
▪ Cenni di calcolo differenziale in più dimensioni:
- gradiente, derivata direzionale, matrice Hessiana;
- divergenza, rotore.

Teoria
• Note delle lezioni del corso.
• P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Editore (2016).
• D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei, Matematica per le Scienze della Vita (III edizione), Casa Editrice Ambrosiana -Zanichelli (2015).

Esercizi
• Note delle lezioni del corso.
• P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi di Matematica I (prima parte e seconda parte), Liguori Editore (2016).
• S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli (2001).