Università Roma Tre

Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R tramite estremo superiore, proprietà di Archimede, densità di Q in R, costruzione di N in R e principio di induzione, formula binomiale e calcolo combinatorio, potenze di esponente reale, disuguaglianza di Bernoulli; elementi di topologia in R (punti isolati e di accumulazione, insiemi aperti/chiusi e caratterizzazione, chiusura di un insieme) e teorema di Bolzano-Weierstrass; i numeri complessi, rappresentazione polare e radici n-esime dell'unità; funzioni reali di variabile reale, dominio, immagine e funzioni inverse; limiti di funzione e proprietà, limiti di funzioni monotone; limiti di successione, limiti notevoli, il numero di Nepero, il teorema ponte, limsup/liminf, successioni e topologia, insiemi compatti e caratterizzazione; funzioni continue e loro proprietà, continuità delle funzione elementari, tipi di discontinuità e funzioni monotone, teoremi fondamentali sulle funzioni continue (zeri, dei valori intermedi, Weierstrass); derivata di funzione e proprietà, derivate delle funzione elementari, i teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), monotonia e segno della derivata, massimi/minimi locali degeneri, funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue, primitive delle funzioni elementari, I e II teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, funzioni razionali, alcune sostituzioni speciali; serie numeriche e convergenza, serie geometrica, criteri di convergenza per serie a termini positivi (confronto, confronto asintotico, radice n-esima, rapporto, condensazione) e per serie a termini qualsiasi (convergenza assoluta, Leibniz); sviluppi in serie di Taylor, sviluppi di alcune funzioni elementari; integrali impropri.

"Calcolo", P. Marcellini, C. Sbordone, editore Liguori
"Esercitazioni di Matematica: vol. 1.1 e 1.2", P. Marcellini, C. Sbordone, editore Liguori

I numeri si riferiscono ai capitoli e ai paragrafi del libro di testo:
Calcolo di P. Marcellini e C. Sbordone.

1) I numeri e le funzioni reali

Numeri naturali, interi e razionali; densità dei razionali (5). Assiomi dei numeri reali (2). Cenni di teoria degli insiemi (4).
Il concetto intuitivo di funzione (6) e rappresentazione cartesiana (7).
Funzioni iniettive, suriettive, biettive e invertibili. Funzioni monotone (8).
Valore assoluto (9). Il principio di induzione (13).

2) Complementi ai numeri reali

Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore.

7) Limiti di successioni

Definizione e prime proprietà (56,57).
Successioni limitate (58). Operazioni con i limiti (59).
Forme indeterminate (60).
Teoremi di confronto (61). Altre proprietà dei limiti di successioni (62).
Limiti notevoli (63). Successioni monotone, il numero e (64).
Infiniti di ordine crescente (67).

8) Limiti di funzioni. Funzioni continue

Definizione di limite e proprietà (71,72,73).
Funzioni continue (74). discontinuità (75).
Teoremi sulle funzioni continue (76).

9) Complementi ai limiti

Il teorema sulle successioni monotone (80).
Successioni estratte; il teorema di Bolzano-Weierstrass (81).
Il teorema di Weierstrass (82).
Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse (83).

10) Derivate

Definizione e significato fisico (88-89). Operazioni con le derivate (90).
Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse (91).
Derivata delle funzioni elementari (92).
Significato geometrico della derivata: retta tangente (93).

11) Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (95).
Teoremi di Rolle e Lagrange (96).
Funzioni crescenti, decrescenti, convesse e concave (97-98).
Il teorema di de l'Hopital (99).
Studio del grafico di una funzione (100).
La formula di Taylor: prime proprietà (101).

14) Integrazione secondo Riemann

Definizione (117). Proprietà degli integrali definiti (118).
Uniforme continuità. Teorema di Cantor (119).
Integrabilità delle funzioni continue (120).
I teoremi della media (121).

15) Integrali indefiniti

Il teorema fondamentale del calcolo integrale (123).
Primitive (124). L'integrale indefinito (125). Integrazione per parti e per sostituzione
(126,127,128,129).
Integrali impropri (132).

16) Formula di Taylor

Resto di Peano (135).
Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti (136).

17) Serie

Serie numeriche (141).
Serie a termini positivi (142).
Serie geometrica e serie armonica (143,144).
Criteri di convergenza (145).
Serie alternate (146).
Convergenza assoluta (147).
Serie di Taylor (149).

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Ed. Liguori, 1992
S. Lang, A First Course in Calculus, Springer Ed.
L.Chierchia, Corso di Analisi - Prima parte, McGraw Hill (2019)