Università Roma Tre

PARTE 1: Il sistema dei numeri reali e suoi principali sottoinsiemi

• Insiemi, relazioni e funzioni.
• Assiomi dei numeri reali.
• Proprietà elementari dei campi ordinati.
• Insiemi e funzioni simmetriche. Valore assoluto e distanza.
• I numeri naturali. Sottrazione in N; principio del buon ordinamento e sue conseguenze.
• Successioni e teorema di ricorsione (dimostrazione facoltativa). Definizione ricorsiva di somme, prodotti e potenze.
• Potenze ennesime, somma geometrica e formula per an- bn . Binomio di Newton.
• Insiemi finiti e infiniti.
• Numeri razionali. I razionali sono numerabili. Lemma di Gauss.
• Estremo superiore e inferiore. Conseguenze elementari dell'assioma di completezza sui numeri interi.
• Radici ennesime. Potenze con esponente razionale.
• Funzioni monotone.

PARTE 2: Teoria dei limiti
• Il sistema reale esteso R*. Intervalli e intorni.
• Punti interni, isolati, di accumulazione. Definizione generale di limite. Unicità del limite.
• Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto.
• Limiti laterali e funzioni monotone.
• Algebra dei limiti finiti. Algebra dei limiti estesa.
• Alcuni limiti notevoli di successioni.
• Il numero di Nepero.
• Teorema ponte e caratterizzazione del sup/inf tramite successioni.
• Continuità:considerazioni generali; teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi.
• Classificazione delle discontinuità.
• Limiti per funzioni composte.
• Limiti per funzioni inverse.
• Una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo ha inversa continua.
• Logaritmi.
• Limiti notevoli (esponenziali e logaritmi).

PARTE 3: Serie

• Serie numeriche: Proprietà elementari delle serie. Criteri del confronto.
• Cenni sull'espansione decimale.
• Criteri di convergenza per serie a termini positivi
• Criteri per serie a termini reali (Abel-Dirichlet, Leibniz).
• Serie esponenziale. Irrazionalità di e. Velocità di divergenza della serie armonica.
• Proprietà delle funzioni trigonometriche (in particolare dimostrazione del teorema di addizione del coseno).
• Funzioni periodiche. Proprietà di monotonia delle funzioni trigonometriche.
• Funzioni trigonometriche inverse.

NOTA: una lista dettagliata delle dimostrazioni che potranno essere chieste agli esami verrà data durante il corso e pubblicizzata sul sito web del docente.

Luigi Chierchia: Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R
McGraw-Hill Education Collana: Collana di istruzione scientifica
Data di Pubblicazione: giugno 2019
EAN: 9788838695438 ISBN: 8838695431
Pagine: XI-374 Formato: brossura
https://www.mheducation.it/9788838695438-italy-corso-di-analisi-prima-parte

Testi di esercizi:
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010