Università Roma Tre

Spazi vettoriali su campi qualsiasi.
Matrici. Somma e prodotto di matrici.
Strutture di spazio vettoriale e di anello sull’insieme delle matrici.
Matrici simmetriche, antisimmetriche, diagonali e triangolari.
Matrici elementari.
Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa tramite il metodo di Gauss Jordan.
Sistemi lineari.
Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema omogeneo.
Risoluzione dei sistemi tramite l’algoritmo di Gauss.

Combinazioni lineari di vettori e dipendenza lineare.
Basi di uno spazio vettoriale.
Dimensione.
Applicazioni lineari.
Matrici associate ad applicazioni lineari.
Formula di Grassmann.
Nucleo e immagine di applicazioni lineari.
Teorema sulla dimensione (rango e nullità)
Rango di una matrice.
Teorema di Rouché-Capelli.

Determinante di una matrice: significato geometrico.
Definizione induttiva del determinante secondo lo sviluppo di Laplace.
Relazione tra rango e determinante.
Proprietà del determinante.
Unicità del determinante.
Determinante della matrice trasposta.
Determinante del prodotto di matrici.
Matrici di permutazione e loro segno.
Formula esplicita (non induttiva) del determinante.

Matrice del cambiamento di base in uno spazio vettoriale.
Cambiamento di coordinate in uno spazio vettoriale.
L’insieme delle basi in uno spazio vettoriale.
La matrice di un’applicazione lineare rispetto a due basi fissate.
Cambiamento di base e applicazioni lineari.

Operatori lineari.
Matrici simili.
Sottospazi invarianti per operatori lineari.
Autovettori e autovalori di operatori lineari.
Polinomio caratteristico di un operatore lineare e di una matrice.
Operatori e matrici diagonalizzabili.
Triangolarizzazione.
Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori.
Spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale.

Geometria di spazi affini.
Sottospazi affini: rette, piani, iperpiani.
Equazioni cartesiane e parametriche.
Parallelismo di sottospazi affini.

Edoardo Sernesi - Geometria 1 - Bollati Boringhieri

Michael Artin - Algebra - Bollati Boringhieri