Università Roma Tre

I NUMERI

1. La nascita del concetto di numero e l'esperienza del contare come corrispondenza biunivoca.
2. Come si scrivono i numeri: La numerazione nella preistoria,. La numerazione nelle popolazioni antiche: sumeri, babilonesi, egizi, greci, romani.
3. Il sistema posizionale in base qualsiasi e l'abaco. Il teorema di rappresentazione dei numeri naturali.
4. L'infinito dei numeri naturali: l'intuizione del principio di induzione, esempi: i numeri triangolari, i numeri quadrati e somma dei primi n numeri dispari, suddivisione del piano in regioni mediante rette, angoli interni di un poligono convesso, altri esempi.
5. I numeri naturali oggi: gli assiomi di Peano.
6. Dal contare come corrispondenza biunivoca agli insiemi a cardinalità infinito-numerabile: cardinalità dell'insieme dei numeri pari, dei dispari e di altri sottoinsiemi dei numeri naturali.
7. Cardinalità del prodotto cartesiano di due insiemi finiti e procedimento diagonale per NxN.
8. Le operazioni di somma e prodotto sui naturali, e le loro proprietà.
9. Calcoli di somme e prodotti in basi diverse.
10. Il confronto di numeri naturali: l'ordinamento. Il principio del buon ordinamento come equivalente del principio di induzione.
11. Generalizziamo: la relazione di ordine su insiemi qualsiasi.
12. Un altro modo di confrontare i numeri: la divisibilità come relazione di ordine.
13. Invertire l'operazione di somma: il gruppo additivo dei numeri interi.
14. Cardinalità degli interi.
15. Ordinamento dei numeri interi.
16. La divisione euclidea: teorema di esistenza e unicità, con dimostrazione. Il teorema di rappresentazione dei numeri è conseguenza dell'esistenza della divisione.
17. Il Massimo Comun Divisore e l'algoritmo di Euclide. Identità di Bezout
18. Criteri di divisibilità tra numeri naturali.
19. Numeri primi. Un numero naturale è primo se e solo se quando divide un prodotto allora divide uno dei fattori.
20. Teorema: i numeri primi sono infiniti (con dimostrazione di Euclide, libro IX degli Elementi).
21. Il crivello di Eratostene di Cirene (III a.C.) per la ricerca dei numeri primi inferiori a un numero dato.
22. I numeri primi come atomi costituenti i numeri: il teorema fondamentale dell'aritmetica (ovvero teorema di fattorizzazione unica).
23. L'orologio e le congruenze di numeri interi: operazioni somma e prodotto in Zn e Zp.
24. Rapporti e proporzioni: le frazioni. Classi di equivalenza di frazioni.
25. Le frazioni come numeri: dal problema dell'invertibilità del prodotto alla struttura dell'insieme Q dei numeri razionali.
26. Somma e prodotto in Q.
27. La rappresentazione in base 10 e in base 3, espressioni decimali periodiche.
28. Passaggio da rappresentazione frazionaria a rappresentazione decimale e vice versa: motivazione all'algoritmo (la serie geometrica).
29. Ordinamento, non totale, dei numeri razionali.
30. I numeri razionali sono densi.
31. Cardinalità dell'insieme dei razionali
32. I numeri razionali non bastano: l'irrazionalità di radice di 2, radice di p con primo, numeri algebrici e trascendenti.
33. La scoperta del continuo e i numeri reali.
34. Cardinalità dei numeri reali.
LA GEOMETRIA EUCLIDEA
1. Le origini antiche della geometria euclidea.
2. Gli Elementi di Euclide, libro I: nozioni comuni, postulati, concetti primitivi, definizioni.
3. Da Euclide a Hilbert: gli assiomi sottointesi.
4. Analisi di alcune delle 48 proposizioni del libro I: Esistenza di un triangolo equilatero. Dimostrazione di Euclide del primo criterio di congruenza dei triangoli e uso del principio di congruenza, dimostrazione del pons asinorum.
5. Terzo criterio di congruenza dei triangoli e esistenza della bisettrice-
6. Esistenza del punto medio, diseguaglianza triangolare.
7. Secondo criterio di congruenza triangoli, somma degli angoli interni di un triangolo e quinto postulato.
8. Teorema di Pitagora, con dimostrazione (secondo Euclide). Generalizzazione del teorema di Pitagora con una costante moltiplicativa.
9. Quinto postulato e formulazioni equivalenti. Quando non vale il quinto postulato: aspetti intuitivi della geometria sferica a confronto con la geometria euclidea, la non unicità delle "rette" sulla sfera e la somma degli angoli interni di un triangolo sulla sfera.
10. Il libro II di Euclide: l'algebra geometrica: La proprietà distributiva della somma sull'addizione, il quadrato di binomio, la proposizione 14: risoluzione geometrica dell'equazione x2 = ab.
11. Soluzioni dell' equazione di secondo grado col metodo del completamento del quadrato.
12. Il libro VI e il teorema di Talete sui fasci di rette parallele.
13. Le similitudini.
14. Definizione di sottoinsieme convesso nel piano e nello spazio. I poligoni come intersezione di semipiani, angoli interni di un poligono, poligoni regolari, apotema, perimetri e aree (dimostrazione area triangolo, parallelogramma, e trapezio, poligono regolare).
15. Relazioni di equivalenza in geometria ed esempi di geometria dinamica: classificazione di poligoni per numero di lati, isopetrimetria ed equiestensione, problemi di massimo e minimo: i triangoli con base fissata a vertice opposto mobile su una retta parallela alla base sono equiestesi. Triangolo con un lato fissato e vertice opposto che si muove su una ellisse. Percorso del raggio di luce riflesso. La leggenda di Didone e le bolle di sapone.
16. Cenni alla geometria dello spazio: solidi, solidi regolari, solidi di rotazione. calcolo di volumi.
17. Cenni di geometria analitica: punti e rette nel piano, equazioni, appartenenza punto retta, intersezione di due rette dal punto di vista analitico, distanza tra due punti ed equazione della circonferenza.

Materiali, discussioni, forum, videolezioni disponibili mediante piattaforma moodle http://formonline.uniroma3.it/

Giorgio Israel, Ana Millán Gasca Pensare in matematica, 2012, ed Zanichelli.
Ana Millán Gasca Numeri e Forme , 2016, ed Zanichelli.

Altro: Simonetta Di Sieno - Sandro Levi, Aritmetica di base, Mcgraw-Hill ed.,

Lo studente può scegliere secondo il proprio gusto e le proprie competenze pregresse qualunque fonte accreditata.

Nel corso si vogliono ripercorrere i seguenti contenuti della matematica elementare da un punto di vista superiore allo scopo di raggiungere una conoscenza consapevole del loro significato e della rete di nessi concettuali in cui si inseriscono:

1. I vocaboli numerali e il contare. Simboli: sistemi di numerazione
2. I numeri interi. Calcolo mentale e algoritmi scritti.
3. Aritmetica elementare.
4. Rapporti e proporzioni. Le basi matematiche della misura.
5. Geometria euclidea elementare, le costruzioni geometriche e il piano cartesiano.
6. Isometrie, simmetrie e trasformazioni geometriche nel piano.
7. Il sistema dei numeri nella matematica: i numeri razionali.
8. Proporzionalità e introduzione al concetto di funzione.

Si vuole inoltre costruire una visione culturale della matematica integrando le conoscenze disciplinari con una prospettiva storica (origini remote della matematica, l'idea greca di matematica e del suo valore educativo, la matematica nella scienza moderna e nella tecnologia) ed epistemologica (principio di induzione e ragionamento per ricorrenza, continuo geometrico, risoluzione di problemi, la questione dell'errore).

Testi di riferimento

GIORGIO ISRAEL, ANA MILLÁN GASCA, Pensare in matematica, Bologna, Zanichelli, 2012.
ANA MILLÁN GASCA, All’inizio fu lo scriba. Piccola storia della matematica come strumento di conoscenza, Milano, Mimesis, 2009 (3° ristampa).
GIULIO CAIATI, ANGELICA CASTELLANO, In equilibrio su una linea di numeri, Milano, Mimesis, 2007.