Università Roma Tre

1. Funzioni di n variabili reali
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza,
topologia standard, compattezza in Rn .

Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass.
Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate direzionali.
Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz. Funzioni
Ck, regola della catena . Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi
Matrici definite positive.
Prop: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti
critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.

2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle
funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach.
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10

3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite e Inversa .
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange .

4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice), sistemi conservativi unidimensionali.
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.

Analisi Matematica II, Giusti- Analisi Matematica II, Chierchia

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti
(in tal caso indicato con [G]).

1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimosrtrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.

2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varieta'. Curve regolari e superfici regolari. ca
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali risin R^2).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).

3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso 'e esatta.
Insiemi stellati una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.


4. Serie e successioni di funzioni.([G])
Serie e successioni di funzioni : convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza . Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari.

5. Serie di Fourier ([G])
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza
di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue Convergenza puntuale
della serie di Fourier . Convergenza uniforme nel caso di funzioni C1.
Uguaglianza di Parseval.La serie di Fourier di una funzione C1 a tratti converge alla media del salto
neipunti di discontinuita'. Linearit`a della serie di Fourier.

6. Complementi
Convoluzione e regolarizzazione (par. 3.2). Teorema di Ascoli. Formula di Stirling. Le funzioni analitiche reali.

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