Università Roma Tre

1. Geometria euclidea
Rudimenti di storia della matematica greca. Le costruzioni con riga e compasso. I problemi classici della matematica greca. Gli Elementi di Euclide. Definizioni, assiomi e postulati del Libro I. I Teoremi I-XXVIII: enunciati e dimostrazioni. I Teoremi XXIX, XXX, XXXI, XXXII: il ruolo del V Postulato.
2. La questione del V Postulato
Il tentativo di Posidonio. Enunciati equivalenti: Playfair, Wallis, la transitività del parallelismo. L’opera di Saccheri. Quadrilateri di Saccheri. Le tre ipotesi. Il Teorema di Saccheri-Lagrange e l’esclusione dell’ipotesi dell’angolo ottuso. La nascita della geometria non-euclidea in Bolyai e in Lobachewski.
3. Le simmetrie del piano
Simmetrie del piano e tipi di simmetrie. Caratterizzazione delle isometrie tramite l’immagine di una terna di punti non allineati. Il Teorema di Chasles. Prodotti di riflessioni. Gruppi discreti di isometrie. Rosoni, fregi e Mosaici. Il Teorema di addizione dell’angolo. Teorema di Leonardo e classificazione dei gruppi discreti finiti. Cenni della dimostrazione della classificazione dei gruppi di fregi. Il Teorema di restrizione cristallografica e la classificazione dei gruppi di mosaici.
4. La geometria di Gauss
La geometria della Sfera. Le geometrie localmente euclidee. Gruppi uniformemente discontinui di isometrie. Il Toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein. Classificazione dei gruppi uniformemente discontinui. Cenni della dimostrazione del Teorema di classificazione delle geometrie localmente euclidee
5. Moduli di geometrie sul Toro e geometria iperbolica
Geometrie simili. Geometrie simili sul Toro. La figura modulare. Il modello del semipiano superiore di Poincaré. Rette e distanza. Ciò che ripugna Saccheri e che non ripugnava Aristotele.

R. Trudeau: La Rivoluzione non euclidea. Bollati Boringhieri ed, 1991

V. Nikulin, I. Shafarevich: Geometries and groups. Springer ed, 1987