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Docente
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PALUMBO BIAGIO
(programma)
ARGOMENTI INTRODUTTIVI
Cenno sui sistemi ipotetico - deduttivi. Cenno su una definizione costruttiva dell’insieme dei reali. Definizione assiomatica di ℝ. Assiomi di campo e loro conseguenze (leggi di cancellazione, unicità degli elementi neutri, unicità dell’opposto e dell’inverso, prodotto di fattori di cui uno è nullo, legge di annullamento del prodotto, inverso di un prodotto, ecc.). Assiomi dell’ordine. Definizione dei simboli di disuguaglianza. Proprietà transitiva della disuguaglianza. Legge di tricotomia ed altre conseguenze degli assiomi dell'ordine. Intervalli. Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Maggiorante, massimo, estremo superiore di un insieme; minorante, minimo, estremo inferiore. Proprietà caratteristiche dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore. Assioma di completezza (assioma dell'estremo superiore) e conseguenze. Simbolo di modulo. Modulo di un prodotto e di un rapporto. Disuguaglianza triangolare. Insiemi induttivi. Illimitatezza degli insiemi induttivi. Intersezione di una famiglia di insiemi induttivi. Definizione dell'insieme ℕ. Definizione degli insiemi ℤ e ℚ. Principio di induzione. Esempi di dimostrazioni per induzione: disuguaglianza di Bernoulli e sue generalizzazioni, formule riguardanti sommatorie e produttorie, ecc. Definizioni per induzione: potenza ad esponente naturale e intero, fattoriale, sommatoria e produttoria. Proprietà delle potenze. Esistenza di numeri irrazionali. Cenni sulla scrittura decimale dei numeri reali. Disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni semplici. Coefficienti binomiali e loro proprietà (legge dei termini complementari, legge di Stifel). Traslazione di indice in una sommatoria. Formula del binomio di Newton. Parte intera e parte decimale. Densità dei razionali nei reali.
FUNZIONI ELEMENTARI
Concetto di funzione. Definizione intuitiva e definizione rigorosa. Dominio, immagine, codominio. Funzioni limitate ed illimitate. Simmetrie. Funzioni ricavabili da equazioni in forma implicita. Alcuni esempi di funzioni elementari: funzione lineare, funzione polinomiale di secondo grado, funzioni potenza con intero positivo e negativo, funzioni radice n-esima e sua reciproca. Funzione modulo e combinazioni di moduli. Funzione segno. Funzioni parte intera e parte decimale. Funzioni periodiche. Monotonia in intervalli. Funzioni inverse. Significato grafico dell’inversione. Esponenziale e logaritmo. Cenno sul numero e. Funzioni goniometriche e loro inverse. Funzioni iperboliche e loro inverse. Funzioni composte; decomposizione di una funzione composta e determinazione del dominio.
LIMITI E CONTINUITÀ
Intorno di un punto, completo e bucato. Intorno circolare, completo e bucato. Illustrazione intuitiva del concetto di limite. Definizione di limite finito per x che tende ad a finito. Esempi di verifica e procedimenti per abbreviarla. Teorema dell’unicità del limite. Teorema delle operazioni sui limiti. Esempi di non esistenza del limite. Limite del prodotto di una funzione infinitesima per un'altra limitata. Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Significato geometrico della continuità in intervalli. Continuità della somma, del prodotto, ecc. di funzioni continue. Continuità delle funzioni costanti e delle funzioni lineari. Continuità di funzioni polinomiali e razionali. Teorema della permanenza del segno. Continuità della funzione inversa. Risoluzione di forme indeterminate 0/0 tramite la semplificazione di un fattore comune. Teorema del confronto. Limite per x → 0 di sen x / x, ed altri limiti notevoli ad esso riconducibili. Limiti notevoli riguardanti logaritmi ed esponenziali. Limiti destri e sinistri, sia finiti sia infiniti. Calcolo di limiti destro e sinistro. Continuità a destra e a sinistra. Continuità in intervalli semiaperti e chiusi. Limite ±∞ per x → a finito. Limiti infiniti per x → a da destra o da sinistra. Teorema sul limite infinito della funzione reciproca. Teoremi sui limiti infiniti (somme e prodotti di limiti infiniti). Limite finito all’infinito e suo significato grafico. Asintoti orizzontali. Limiti infiniti all’infinito. Calcolo del limite all’infinito di un rapporto di polinomi ed altri esempi con funzioni irrazionali. Estensione del teorema del confronto per x → +∞. Limiti per x → ±∞ di funzioni irrazionali. Comportamento all'infinito del logaritmo e dell'esponenziale. Teorema dell’esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Estensioni del teorema dei valori intermedi. Esistenza ed unicità della radice n-esima di un numero positivo. Massimi e minimi assoluti di una funzione in un intervallo. Teorema di Weierstrass. Teorema del segno costante ed applicazione alla risoluzione di disequazioni di tipo qualsiasi. Dimostrazione dell’esistenza di radici per equazioni non elementarmente risolubili. Cenno sull'ordine di infinito per x → +∞. Classificazione delle discontinuità. Continuità delle funzioni composte.
DERIVATE ED APPLICAZIONI
Problema delle tangenti e problema della velocità istantanea. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Esempi di calcolo della derivata con la definizione. Continuità delle funzioni derivabili. Derivata intesa come funzione (derivata in un punto generico del dominio). Calcolo diretto della derivata generica per alcune funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata di una funzione moltiplicata per una costante, derivata di una somma e di un prodotto. Derivata della funzione reciproca e di un rapporto. Derivate di altre funzioni elementari ricavabili dalle regole di derivazioni. Derivata di una funzione composta. Derivata di x^a per ogni esponente a reale. Teorema di derivazione della funzione inversa (solo giustificazione grafica). Calcolo della derivata di inverse di funzioni date (comprese goniometriche inverse ed iperboliche inverse). Rapporto incrementale a destra e a sinistra. Derivata a destra e a sinistra. Definizione di massimo e minimo relativo, con relativi esempi. Derivate di ordine superiore. Teorema di Fermat (annullamento della derivata in un punto di estremo relativo). Teorema di Rolle: significato grafico ed esempi di applicabilità e non applicabilità. Teorema di Lagrange: significato grafico e cinematico. Teorema “scorciatoia” (calcolo della derivata destra o sinistra come limite della derivata), ed applicazione allo studio di punti angolosi. Teorema di monotonia delle funzioni derivabili e teorema della derivata nulla. Ricerca di massimi e minimi relativi tramite la derivata. Flesso a tangente orizzontale. Esempi di studi di funzioni. Dimostrazione dell’esistenza (ed eventuale unicità) di radici di equazioni non elementarmente risolubili. Ricerca degli asintoti obliqui. Dimostrazione di disuguaglianze grazie alle proprietà di monotonia. Dimostrazione di identità tramite il teorema della derivata nulla. Studio dei punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Esempi di studi di funzioni con termini in valore assoluto. Studio di funzioni con cuspidi e flessi a tangente verticale. Studi di funzioni goniometriche. Studi di funzioni con discontinuità di diverse specie.
CALCOLO INTEGRALE
Problema geometrico del calcolo delle aree. Suddivisione finita di un intervallo chiuso e limitato. Somme integrali inferiore e superiore. Separazione delle somme integrali. Definizione di integrale per una funzione continua. Integrabilità delle funzioni continue. Esempi di calcolo di integrali con la sola definizione, e relative interpretazioni geometriche. Cenno sulla norma di una partizione. Somma integrale unica e integrale definito come limite. Equivalenza delle due definizioni. Proprietà di monotonia (compreso il caso particolare in cui f è positiva in almeno un punto). Proprietà di linearità. Proprietà di monotonia generalizzata. Additività rispetto all’intervallo di integrazione. Estensioni del simbolo di integrale ai casi a = b ed a b. Additività generalizzata ad n intervalli. Spiegazione del simbolo di differenziale all’interno di un integrale; osservazioni critiche sull’uso dei simboli di Leibniz. Teorema della media. Definizione di funzione integrale. Osservazioni sul dominio di una funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Concetto di primitiva. Teorema dell’unicità della primitiva. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale ed esempi di applicazione con funzioni immediatamente integrabili. Simbolo di integrale indefinito. Alcuni integrali immediati ed altri casi ad essi riconducibili (integrazione di f(ax)). Esempi di calcolo di aree di figure delimitate da due o più curve. Altri esempi di integrali calcolabili con semplici trasformazioni della funzione integranda. Teorema di integrazione per sostituzione. Esempi di integrali definiti e indefiniti da risolvere per sostituzione. Esempi di integrazione di funzioni irrazionali. Altri integrali particolari da utilizzare come immediati. Decomposizione in fratti semplici. Teorema della media pesata. Cenno su integrali impropri (integrale di una funzione continua definitivamente di segno costante in [a , +∞)). Integrali di funzioni razionali in seno e coseno. Integrazione per parti, con esempi di applicazione. Espressione esplicita di una funzione integrale con l’integranda contenente termini in modulo. Studio delle proprietà di una funzione integrale non elementarmente calcolabile. Varie tecniche per razionalizzare integrali contenenti esponenziali e funzioni iperboliche, funzioni goniometriche, ecc. Integrazione di funzioni irrazionali con radici quadrate di trinomi di secondo grado (casi riconducibili ad integrali immediati e sostituzioni con funzioni goniometriche o iperboliche).
FORMULA DI TAYLOR
Definizione di polinomio di Taylor di ordine n. Espressione esplicita del polinomio di Taylor. Derivazione, integrazione e sostituzione nel polinomio di Taylor. Esempi di calcolo di polinomi di Taylor. Formula di Taylor, con il resto espresso in forma integrale e nella forma di Lagrange. Esempi di calcolo approssimato di valori di funzioni, con maggiorazione dell’errore. Il resto nella formula di Taylor è un infinitesimo di ordine superiore ad n. Regola di De L’Hôpital. Esempi di applicazioni e casi di non applicabilità. Simbolo “o piccolo”: definizione e principali proprietà algebriche. Il polinomio di Taylor è l’unico per il quale il resto è o((x - a)n). Teoremi sull'uso di "o piccolo". Esempi di manipolazione di espressioni contenenti “o piccolo”: polinomi di Taylor di prodotti ed altri ottenibili per sostituzioni a partire da formule di Taylor note. Calcolo di forme indeterminate 0/0 con la formula di Taylor. Formule di linearizzazione ed applicazioni. Formula di Taylor di una funzione composta, anche nel caso in cui l’argomento non tende a 0. Altri casi di forme indeterminate risolubili con la regola di De L’Hôpital: 0^0, 1^∞, ∞^0.
NUMERI COMPLESSI
Definizione astratta dell'insieme ℂ come insieme delle coppie ordinate di numeri reali. Verifica delle proprietà di campo. Sottocampo ℂ0 ed isomorfismo con il campo ℝ dei numeri reali. Unità immaginaria. Rappresentazione di un numero complesso (x , y) nella forma algebrica x + iy. Coniugato di un numero complesso. Modulo di un numero complesso. Rappresentazione grafica dei numeri complessi (piano di Gauss). Cenno sulle coordinate polari. Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Argomento di un numero complesso. Argomento principale. Significato grafico del modulo e dell'argomento. Principali proprietà del modulo nel campo complesso. Prodotto e rapporto di numeri complessi scritti in forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Radici nel campo complesso.
SUCCESSIONI E SERIE
Definizione di successione. Limiti di successioni, finiti e infiniti. Esempi di verifica. Cenni sui teoremi riguardanti i limiti di successioni (unicità, limite di una somma, teorema del confronto, ecc.). Limitatezza delle successioni convergenti. Successioni monotone, anche non strettamente. Proprietà delle successioni verificate "definitivamente". Regolarità delle successioni monotone (nei due casi di successioni limitate e illimitate). Sottosuccessioni. Identità tra limite di una successione e limite delle sue sottosuccessioni, ed applicazione alla dimostrazione di non esistenza di un limite. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Il numero e come limite di successione. Definizione di serie numerica. Serie convergente e sua somma. Serie divergenti e indeterminate. Esempi di determinazione del carattere (e dell'eventuale somma) di una serie con la sola definizione. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Teorema di linearità, anche nel caso in cui una delle serie sia divergente. Proprietà associativa per le serie, e relativi controesempi. Sostituzione o cancellazione di un numero finito di termini in una serie. Regolarità delle serie a termini non negativi. Serie telescopiche. Serie geometrica. Divergenza della serie armonica. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi o non negativi. Criterio del confronto. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Criterio del confronto con un integrale. Serie armonica generalizzata. Criterio del confronto asintotico. Caso particolare del confronto con la serie armonica generalizzata (criterio dell'ordine di infinitesimo). Versione debole del criterio di confronto asintotico. Criteri di convergenza per le serie a termini di segno qualsiasi. Definizione di convergenza assoluta. Criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per le serie a segni alterni.
ALCUNE QUESTIONI DI TEORIA DEI NUMERI
Divisibilità in ℕ e in ℤ. Numeri primi e numeri composti. Teorema della fattorizzazione unica. Dimostrazioni elementari di irrazionalità tramite il teorema della fattorizzazione unica (radici di numeri interi, logaritmi di numeri interi in base intera). Irrazionalità del numero e.
(testi)
B. Palumbo, M.C. Signorino: FUNZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI, ed. Accademica (Roma, 2018)
M. Amar, A.M. Bersani: ANALISI MATEMATICA I, esercizi e richiami di teoria. Ed. La Dotta (Bologna, 2013)
Esercizi e vecchi compiti distribuiti dal docente
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Università Roma Tre