Università Roma Tre

PROGRAMMA DEL CORSO

-MODELLI MATEMATICI PER IL TRATTAMENTO QUANTITATIVO DELLO SPAZIO 3d:
-ALGEBRA LINEARE DA UN PUNTO DI VISTA GEOMETRICO: VETTORI, PIANI, RETTE, CONDIZIONI PER LE RETTE SGHEMBE, DISTANZE punto-piano, punto-retta.
-CURVE CONICHE E SUPERFICI QUADRICHE, RICONOSCIMENTO, CLASSIFICAZIONE, COSTRUIBILITA'
INDIVIDUAZIONE COME RIGATE, COME SVILUPPABILI, COME SEZIONI PIANE...
-CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE IN DUE E TRE VARIABILI: domini di definizione, continuità, curve di livello.
STUDIO DEGLI ESTREMI E DEI PUNTI CRITICI DI UNA SUPERFICIE DATA DA UNA FUNZIONE, matrice Hessiana, PIANO TANGENTE, derivata direzionale, gradiente. Domini di integrazione semplici, integrazione iterata, intgrali come modello di volumi INTEGRALI DOPPI, VOLUMI CONFINATI DA SUPERFICI REGOLARI.
- CURVE PARAMETRICHE, TRIEDRO FONDAMENTALE ASSOCIATO AD UNA CURVA.
- SUPERFICI NELLO SPAZIO, FORMULAZIONE PARAMETRICA ED IMPLICITA.

-ATTIVITA' HANDS-ON: PLASTICI DI POLIEDRI, RIGATE, modelli in carta

QUALUNQUE TESTO DI LIVELLO UNIVERSITARIO di calcolo differenziale in piu' variabili, e trattamento algebrico dello spazio.

ad esempio: Adams, Pagani-Salsa, Marcellini Sbordone

Algebra lineare dal punto di vista geometrico:

Spazi vettoriali bidimensionale e tridimensionale. Vettori e versori nel piano e nello spazio tridimensionale. Prodotto scalare, prodotto vettoriale.prodotto misto, loro significato geometrico.
Equazioni di rette e piani nello spazio in forma parametrica e cartesiana; rette parallele, incidenti, sghembe; intersezioni tra rette e piani; distanza tra punti in R3, distanze punto-retta, punto-piano, retta-piano, parallelismo tra piani. Matrici: operazioni di somma e prodotto, determinante. Tutti gli argomenti consistono equivalenza tra il trattamento per componenti (o coordinate cartesiane) e quello geometrico (modulo, direzione, verso). Determinate come fattore di scala per l’area.

Superfici quadriche
Paraboloidi, Iperboloidi, Coni, Cilindri, Ellissoidi. Equazioni, sezioni, curve di livello; e, inversamente: ricostruzione (schizzo ed equazione) di quadriche a partire dalle loro sezioni.
Superfici rigate e doppiamente rigate. Utilizzo degli origami per lo studio delle volte.

Calcolo infinitesimale nello spazio tridimensionale:

(prerequisiti: Calcolo di una variabile)

Funzioni reali di due o piu’ variabili reali: dominio di definizione; rappresentazioni piane di funzioni z=f(x,y): curve di livello, sezioni e loro disegno. Superfici con variabili libere (o cilindriche). Insiemi aperti e chiusi, punti interni, esterni, di frontiera, isolati.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Controesempi. Derivate parziali di primo ordine e successivi. Derivata direzionale. Differenziabilità. Piano tangente e retta normale. Gradiente di una funzione, relazione tra il gradiente e gli altri aspetti geometrici della superficie: curve di livello, piano tangente, direzione di massima pendenza. Formula di Taylor in più variabili. Studio della natura dei punti critici: massimi, minimi relativi e punti di sella per funzioni di due variabili, determinante Hessiano. Integrali multipli: domini di integrazione verticalmente ed orizzontalmente semplici; integrali doppi come integrali iterati su domini semplici; inversione dell’ ordine di derivazione; applicazioni al calcolo di aree e volumi.

Un argomento da sviluppare autonomamente (e che farà parte della argomentazione orale) a scelta tra:

due superfici, una simile ad una sella ed una simile ad un ellissoide, fatte con i piegamenti della carta. Con un solo foglio o modulari.
quadriche rigate: plastico di due rigate diverse, fatte con materiale a vostra scelta, corredate dalla spiegazione dettagliata su come le avete assemblate
un argomento a scelta preso da questi testi (alcuni li trovate nella biblioteca del Dipartimento di Architettura!):
“flussi e riflussi” di Lucio Russo
“le curve celebri” di Luciano Cresci
“Project origami : activities for exploring mathematics” Thomas Hull
“How to fold it : the mathematics of linkages, origami and polyhedra”
di Joseph O’Rourke
Courant, Robbins, “Che cos’è la matematica”, Bollati Boringhieri, 2000
L’America dimenticata. I rapporti tra le civiltà e un errore di Tolomeo, Lucio Russo
Sulla coclea libri quattro : (facendo discendere l’acqua, la fa salire) di Del Monte, Guidobaldo

R. Adams “Calcolo Differenziale 2, (funzioni di più variabili)” , quarta edizione, casa editrice Ambrosiana
O qualunque altro testo di livello universitario, ad esempio:
Bramanti-Pagani-Salsa: “Calcolo infinitesimale e algebra lineare Seconda edizione “
G.B. Thomas, R.L. Finney “Analisi Matematica” ed. Zanichelli (comprende la maggior parte degli argomenti delle due annualità di Matematica, ed i necessari esercizi, lo trovate in biblioteca)
Salsa- Squellati: ESERCIZI DI MATEMATICA volume 1 e volume 2.