Università Roma Tre

Nozioni Introduttive

Richiami di relatività speciale. Trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowski. Definizione di vettore nello spazio di Minkowski. Base dello spazio tangente.
Spazio cotangente e vettori duali nello spazio di Minkowski. Base dello spazio cotangente. Trasformazioni di Lorentz di vettori e vettori duali. Tensori nello spazio di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz dei tensori. Proprieta’ di vettori, vettori duali e tensori nello spazio di Minkowski. Definizione di tensore simmetrico ed antisimmetrico. Operazioni di simmetrizzazione ed antisimmetrizzazione di un tensore generico. Metrica nello spazio di Minkowski: definizione e proprietà. Operazioni legate alla metrica: prodotto scalare, abbassamento ed innalzamento degli indici di un tensore, contrazione e traccia di un tensore.
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, Principio di Equivalenza Debole (WEP), Principio di Equivalenza di Einstein (EEP).

Elementi di geometria differenziale
Introduzione al concetto di varietà. Definizione di mappa. Proprietà della mappe, mappe iniettive e suriettive (inclusi esempi), composizione di mappe, mappe invertibili. Definizione di diffeomorfismo.
Definizione di carta (o sistema di coordinate). Definizione di atlante. Definizione di varietà (manifold). Prodotto di varietà.
Definizione formale di vettore indipendente dalla scelta del sistema di coordinate. Dimostrazione che la dimensione dello spazio tangente coincide con quella della varietà corrispondente. Base (sistema di coordinate) dello spazio tangente. Trasformazioni di coordinate. Trasformazione di coordinate delle componenti di un vettore. Definizione di campo tangente relative proprietà. Definizione di gruppo ad un parametro di diffeomorfismi. Definizione di curve integrali. Commutatore di due vettori. Definizione di vettore duale (1-forma) indipendente dalle coordinate. Spazio cotangente e relativa base. Effetto delle trasformazioni di coordinate su componenti e base delle 1-forme. Definizione di tensore indipendente dalle coordinate. Dimostrazione che la derivata parziale di un tensore non è un tensore.
Metrica: segnatura della metrica, forma canonica della metrica.
Densità tensoriali.
Forme differenziali. Wedge product. Derivata esterna. Forme chiuse ed esatte. Lemma di Poincarre (enunciato). Dualita di Hodge. Formulazione delle equazioni di Maxwell in termini di derivata esterna e dualità di Hodge (cenni).
Integrazione sulle varietà: elemento di volume in termini del determinante della metrica.
Mappe tra varietà: pullback e pushforward. Pullback e pushforward nel caso di diffeomorfismi. Equivalenza tra diffeomorfismi e cambi di coordinate. Campi vettoriali associati ai diffeomorfismi. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e curve integrali associate. Derivata di Lie e sue proprietà generali. Azione della derivata di Lie su scalari, vettori, uno-forme e tensori. Relatività generale come teoria invariante per diffeomorfismi. Analogia tra trasformazioni di gauge e diffeomorfismi.
Simmetrie.
Definizione di sottovarietà. Sottovarietà immerse ed embedded. Definizione di ipersuperficie e di boundary di una varietà.
Di nuovo sull’integrazione su una varietà: elemento di volume generico come forma differenziale. Definizione di orientazione e di varietà orientabile. Integrazione su una varietà: copertura di una varietà tramite partizione della varietà . Integrazione di p-forme su sottovarietà. Dimostrazione che l’elemento di volume può essere espresso in termini del determinante della metrica. Teorema di Stokes (solo enunciato).

Connessione, Derivata Covariante, Curvatura

Algebra di Lie e Gruppo di Lie. Azione da destra ed azione da sinistra. Vettori left- e right-invarianti. Costanti di struttura. Esempi di gruppi di Lie. Forme di Maurer-Cartan. Equazioni di Maurer-Cartan. Azione di un gruppo di Lie su una varietà. Definizioni di azione libera, effettiva e transitiva. Definizione di orbita e di stabilizzatore.
Definizione algebrica di derivata covariante e di connessione. Enunciato delle proprietà generali della derivata covariante. Azione delle trasformazioni di coordinate sulla connessione.
Dimostrazione che la differenza di due coefficienti associati a due connessioni distinte è un tensore; definizione del tensore torsione, nozione di connessione torsion-free e di connessione metrica. Dimostrazione che data un metrica esiste una connessione per cui la derivata covariante della metrica è nulla (connessione metrica).
Costruzione formale della derivata covariante dalla nozione di trasporto parallelo (introduzione qualitativa).
Definizione di fibrato (fiber bundle). Definizione di fibrato triviale e localmente trivializzabile. Definizione di trivializzazione locale. Mappe fra fibrati (nozioni).

Definizione di Atlante del bundle, G-Atlante, G-Struttura, Fibrato con gruppo di Struttura G. Definizione di bundle principale. Definizione di sezione di un bundle. Definizione di bundle vettoriale (vectorbundle) e bundle delle basi (bundle of frames) e loro proprietà generali. Relazione tra bundle principale, vectorbundles e bundle delle basi (definizione del vectorbundle associato ad un bundle principale).
Costruzione delle derivata covariante su un vectorbundle (N.B: per l’esame e’ richiesta la conoscenza dei passaggi logici fondamentali, i dettagli della dimostrazione non saranno oggetto di domande d’esame).
Definizione generale del tensore curvatura come 2-forma su un fibrato. Interpretazione geometrica della curvatura. Identità di Bianchi. Tensore metrico su un fibrato. Definizione di base ortogonale.
Connessioni e teorie di gauge: semplice esempio dell’elettromagnetismo.
Forma di saldatura. Scelta di gauge. Gauge ortonormale e gauge metrica.
Connessione di Levi-Civita; tensore di Riemann e proprietà, tensore di Ricci, scalare di Ricci, tensore di Weyl. Coordinate globalmente e localmente inerziali.

Teoria della Gravitazione di Einstein

Coupling minimale.
Particella in campo gravitazionale: parametro affine, curve self-parallele. Equazione delle geodetiche. Deviazione geodetica.
Derivazione delle equazioni di Einstein dal limite classico.
Derivazione lagrangiana delle equazioni di Einstein.
Considerazioni generali sulla strutture dell’equazione di Einstein, scelta di gauge. Condizioni di energia.
Simmetrie e vettori di Killing: versione di relatività generale del teorema di Noether, numero massimo di vettori di Killing indipendenti in una varietà. Varietà omogenea ed isotropa. Spazi a curvatura constante. Metrica su spazi a curvature costante.
Soluzioni notevoli equazioni di Einstein
Spazi tempo statici a simmetria sferica. Determinazione della metrica di Schwarzschild.
Soluzione Cosmologica. Spazio tempo spazialmente omogeneo ed isotropo. Metrica di Friedman-Robertson Walker. Equazioni di Friedman. Singolarità nelle coordinate. Caso di studio: singolarità nel raggio di Schwarzschild. Metrica di Rindler. Coordinate di Kruskal. Definizione della soluzione di buco nero.
Perturbazione intorno ad una metrica di background, caso di studio: perturbazione della metrica piatta. Gradi di liberata della perturbazione. Equazione di Einstein linearizzate, scelta di gauge. Soluzione delle equazioni di Einstein linearizzate nel vuoto:onde gravitazionali. Soluzione in presenza di sorgente (breve cenno).

Concetti avanzati

Trasformazioni conformi. Tensore di Cotton. Metrica conformemente piatta. Dimostrazione del teorema: una metrica è conformemente se e solo se il tensore di Weyl (Cotton) è nullo. Gruppo conforme: vettori di Killing conformi.
Teorie alternative di gravita. Teorie scalar tensor. Frame di Jordan e frame di Einstein.

1. S. Carrol Space time and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison Wesley, 2004);
2. R. Wald General Relativity (The Chicago Press, 1984);
3. B. Schutz A First Course in General Relativity (Cambridge Press)
4. people.sissa.it/~percacci/lectures/general/index.html
5. B. Schutz Geometrical Methods of Mathematical Physics (Cambridge Press)
6. S. Weinberg Gravitation and Cosmology-principles and application of the general theory of relativity (John Weiley & Sons, 1972);