Università Roma Tre

VETTORI GEOMETRICI --- Vettore geometrico nel piano: direzione, verso, modulo - Somma tra due vettori, opposto di un vettore, propr. commutativa e associativa - Prodotto tra un numero reale e un vettore, propr. distributiva - Componenti di un vettore geometrico - Calcolo del modulo di un vettore geometrico attraverso le sue componenti - Versore associato a un vettore geometrico - Versori fondamentali - Rappresentazione di un vettore geometrico attraverso i versori fondamentali - Vettori paralleli: definizione - Angolo formato da due vettori geometrici, vettori ortogonali - Prodotto scalare tra due vettori geometrici - Prodotto scalare tra due vettori geometrici attraverso le loro componenti - Vettori liberi, regola del parallelogramma per la somma - Prodotto vettoriale tra due vettori geometrici: definizione base - Prodotto vettoriale tra due vettori geometrici attraverso le loro componenti - Alcune proprietà del prodotto vettoriale - Vettori geometrici nello spazio --- GEOMETRIA NELLO SPAZIO --- Equazioni parametriche della retta - Parametri e coseni direttori - Equazioni parametriche di una retta passante per due punti - Equazioni parametriche del piano - Equazione algebrica del piano - Vettore perpendicolare a un piano - Condizione di parallelismo tra due piani - Condizione di perpendicolarità tra due piani - Fascio di piani, equazione del fascio di piani - Condizioni di perp. e parall. tra piani e rette - Equazioni algebriche di una retta - Equazioni normali di una retta - Equazioni algebriche di una retta a partire dall'equazione normale --- NUMERI COMPLESSI --- Definizione formale: somma e prodotto - Definizione operativa: forma cartesiana e unità immaginaria - Inverso di un numero complesso - Coniugato di un numero complesso - Parte reale e parte immaginaria - Rappresentazione vettoriale di un numero complesso: piano di Argand-Gauss - Modulo e argomento di un numero complesso - Forma trigonometrica - Formula di De Moivre - Formula di Eulero - Forma esponenziale di un numero complesso - Soluzioni dell'equazione binomia nel campo dei numeri complessi --- SPAZI VETTORIALI --- Definizione formale e proprietà di una spazio vettoriale - Sottospazio vettoriale - Intersezione di sottospazi - Somma e somma diretta di sottospazi - Insieme generatore di uno spazio vettoriale - Vettori linearmente indipendenti - Dimensione e base di uno spazio vettoriale - Componenti di un vettore - Estrazione di una base da un insieme generatore: metodo degli scarti successivi - Teorema del completamento a una base - Dimensione dei sottospazi e delle somme di sottospazi - Teorema di Grassmann --- MATRICI --- Definizione formale - Somma e prodotto tra matrici (prodotto righe per colonne) - Lo spazio delle matrici come spazio vettoriale - Trasposta di una matrice e sue proprietà - Matrici quadrate - Matrici simmetriche e antisimmetriche - Matrici diagonali - Matrici triangolari - Matrice inversa e sue proprietà - Matrici simili - Spazi vettoriali delle righe e delle colonne di una matrice - Rango di una matrice - Calcolo del rango (Teorema di Kronecker) - Determinante di una matrice quadrata - Calcolo del determinante (Teorema di Laplace) - Riduzione di una matrice - Calcolo dell'inversa di una matrice (matrice aggiunta) --- SISTEMI LINEARI --- Definizione formale - Matrice dei coefficienti, matrice dei termini noti, matrice delle incognite - Sistemi compatibili e incompatibili - Teorema di Rouchè-Capelli (prima parte) - Teorema di Rouchè-Capelli (seconda parte) - Metodo di eliminazione di Gauss - Sistemi omogenei - Soluzione generale di un sistema lineare - Sistemi lineari con matrici quadrate - Regola di Cramer --- APPLICAZIONI LINEARI --- Definizione formale - Omomorfismi e isomorfismi (spazi isomorfi) - Sottospazio immagine di un omomorfismo - Sottospazio nucleo di un omomorfismo - Proprietà delle dimensioni del nucleo e dell'immagine di un omomorfismo - Endomorfismi e Automorfismi - Matrice associata a un omomorfismo - Proprietà delle matrici associate - Composizione di omomorfismi - Inversa di una matrice associata - L'applicazione lineare notevole [A][x] - Cambiamento di base (matrici di passaggio) --- PRODOTTO SCALARE EUCLIDEO, DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI --- Definizione formale di prodotto scalare euclideo - Proprietà del prodotto scalare euclideo - Spazio euclideo n-dimensionale - Norma e versori - Basi ortogonali e ortonormali - Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt - Autovalori e autovettori di un endomorfismo - Autospazio associato a un autovalore - Polinomio caratteristico di una matrice quadrata - Spettro e raggio spettrale di una matrice - Molteplicità algebrica di un autovalore - Molteplicità geometrica di un autovalore - Autovettori ortogonali - Diagonalizzabilità di una matrice quadrata - Diagonalizzazione di una matrice quadrata - Esponenziale di una matrice

LIBRO DI RIFERIMENTO DEL CORSO
- Enrico Schlesinger, ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA, seconda edizione, 2017, Zanichelli

APPROFONDIMENTO
- S. Greco, P. Valabrega, ALGEBRA LINEARE, Ed. Levrotto & Bella
- S. Greco, P. Valabrega, GEOMETRIA ANALITICA, Ed. Levrotto & Bella