Università Roma Tre

Logica, insiemi ed insiemi numerici
• Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.
• Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.
• Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.
Funzioni reali di una variabile reale
• Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione.
• Successioni e serie numeriche: Definizione di successione. Successioni convergenti e divergenti. Successioni monotone e teorema di regolarità (c.d.). Calcolo di limiti di successioni. Definizione di serie numerica. CN per la convergenza (c.d.). Criterio di Cauchy. Serie geometrica, di Mengoli, armonica ed armonica generalizzata.
• Limiti: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta e inversa (c.d.). Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli.
• Infinitesimi e infiniti.: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione (c.d.). Propagazione dell’ordine.
• Continuità e discontinuità: Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità dell'inversa. Continuità delle funzioni composte. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux (c.d).
• Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Derivata della funzione inversa. Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto (c.d.). Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (c.d.). Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla (c.d.). Relazioni tra la monotonia e la derivata (c.d.). Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi (c.d.). Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi (c.d). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite.
• Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.
Calcolo integrale
Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d). Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media (c.d.). Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow: relazione fra l’integrale definito e l’integrale indefinito (c.d.). Integrazione definita.
Algebra lineare
Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori. Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.
(c.d.) = “con dimostrazione”

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