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Docente
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BESSI UGO
(programma)
NUMERI REALI ED ALTRI ARGOMENTI INTRODUTTIVI
Ripasso del campo razionale; $\sqrt 2$ e' irrazionale. I numeri reali contengono i razionale e hanno la proprieta' del sup. Distanza sui reali; funzioni e successioni; definizione di limite per le successioni. Le successioni monotone hanno sempre limite; serie a termini positivi; criterio del confronto, criterio di condensazione, criterio della radice e del rapporto. Le successioni di Cauchy; serie a termini qualunque; convergenza assoluta e convergenza. Criterio di Leibnitz per le serie a segni alterni. Serie di potenze e raggio di convergenza. Definizione di seno, coseno, esponenziale e logaritmo mediante le loro serie; limiti notevoli.
STUDI DI FUNZIONI
Limite per le funzioni; definizione di funzione continua; continuita' delle serie di potenze; continuita' uniforme; le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue. teorema del valore intermedio; teorema di Weierstrass. Definizione della derivata; la derivabilita' implica la continuita'; la derivata nel punto di massimo si annulla.Derivata della funzione composta e dell'inversa. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Le funzioni convesse; le funzioni convesse hanno corde a pendenza crescente; se sono differenziabili la derivata e' crescente. Disuguaglianze tra le medie e disuguaglianza di Young. Due versioni del teorema dell'Hopital. Formula di Taylor col resto di Lagrange e di Peano. Convergenza della serie di Taylor alla funzione: controesempi e casi in cui converge. Il teorema ponte.
INTEGRAZIONE
Definizione dell'integrale di Riemann; integrazione per sostituzione e per parti; teorema fondamentale del calcolo. I numeri complessi; piano di Argand e rappresentazione di Eulero. Integrazione delle espressioni razionali. La formula di Taylor col resto integrale. Gli integrali impropri; funzioni integrabili in senso improprio e integrabili assolutamente. Convergenza uniforme per le successioni e le serie di funzioni. L'integrale di riemann passa al limite per la convergenza uniforme. Le serie di potenze si derivano e si integrano termine a termine.
ARGOMENTI PIU' PARTICOLARI
Varie approssimazioni di $\sqr 2$; la formula di Machin per $\pi$; il prodotto infinito di Wallis; la formula di De Moivre Stirling; l'area sotto la gaussiana col prodotto infinito di Wallis; la formula di sommatoria di Eulero; un modello della distribuzione dei redditi; una funzione continua ma non differenziabile in nessun punto.
(testi)
B. Palumbo - M.C. Signorino, Funzioni algebriche e trascendenti, ed. Accademica, 2015.
Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica 1.
De Marco-Mariconda, Analisi Matematica 1.
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Università Roma Tre