Università Roma Tre

PROGRAMMA DI MATEMATICA GENERALE a.a 2019-2020
I CANALE

Logica, insiemi ed insiemi numerici
Logica proposizionale. Proposizioni. Proposizioni decidibili. Operazioni
logiche tra proposizioni. Implicazione logica. Necessità, sufficienza e necessità e
sufficienza. Tavole di verità. Teorema. Metodi per la dimostrazione di un teorema.
Insiemi. Operazioni tra insiemi. Insiemi numerici:
numeri naturali, numeri relativi e numeri razionali. Estremo superiore ed inferiore
di un insieme numerico. Assioma di Dedekind.
L'insieme dei numeri reali. Numeri reali e loro rappresentazione sulla retta.
Insiemi limitati e non limitati. Massimo e minimo di un insieme numerico. Intervalli
e intorni. Elementi di topologia della retta: punti isolati, di frontiera,
interni e di accumulazione. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Un insieme è chiuso
sse contiene tutti i suoi punti di accumulazione (c.d.).

Sommatoria
Definizione di sommatoria. Somma dei primi n naturali (c.d.). Somma dei
primi n termini di una progressione geometrica (c.d.). Proprietà della sommatoria.
Funzioni reali di una variabile reale
Funzioni reali di una variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una
funzione. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni invertibili. Funzioni pari e
dispari. Crescenza e decrescenza. Legame tra monotonia e iniettività. Funzione
inversa. Grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Trasformazioni di
funzioni elementari. Funzione composta. Funzioni definite a più leggi. Dominio
di una funzione.

Successioni e serie numeriche
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Calcolo di limiti di successioni.
Definizione di serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza
di una serie (c.d.). Il carattere della serie geometrica (c.d.). Serie di Mengoli e
suo valore (c.d.).

Limiti di funzioni reali di variabile reale
Definizione di limite finito o infinito al finito e all'infinito. Limite destro e
limite sinistro. Asintoto verticale e orizzontale. Asintoto obliquo. Verifica del
limite. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno
in forma diretta e in forma inversa (c.d.). Operazioni razionali sui limiti. Forme
indeterminate. Limiti notevoli.

Infinitesimi e infiniti
Definizione di infinitesimo e di infinito. Confronto fra infinitesimi e fra
infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teoremi di cancellazione.
Propagazione dell'ordine.

Continuità
Definizione di continuità in un punto. Continuità in un insieme. Classificazione
dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità
della funzione composta. Continuità della funzione definita a più leggi.
Teorema degli zeri per funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema
di Darboux.

Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto e suo significato
geometrico. Derivabilità implica continuità (c.d.). Punti di non derivabilità.
Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivata delle funzioni
elementari. Le regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Teorema
di De L'Hopital e sua applicazione alle forme indeterminate. Polinomio
di Taylor di ordine 1 e di ordine 2 (c.d.). Il fattoriale di n: Polinomio di Taylor
di ordine n: Polinomio di Mc Laurin. Differenziale e suo significato geometrico.
Teorema sul resto di primo ordine (c.d.). Massimi e minimi locali. Teorema
di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (c.d.). Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari
al teorema di Lagrange (c.d.). Relazione fra il segno della derivata prima
e la crescenza/decrescenza di una funzione in un intervallo (c.d.). Concavità e
convessità in un punto. Relazione fra il segno della derivata seconda e la convessità/
concavità di una funzione in un intervallo (c.d.). Punti di flesso. Condizioni
sufficienti di ordine n per l'esistenza di massimi e minimi relativi o flessi (c.d).
Condizioni di concavità e convessità globale.

Calcolo integrale
Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Proprietà delle primitive
(c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione
per parti. Integrazione per sostituzione. Area sottesa da una
curva. Somma integrale superiore e inferiore. Definizione di integrale definito
secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema
della media integrale (c.d.). Teorema di Torricelli-Barrow (c.d.). Corollario
al teorema di Torricelli-Barrow (c.d.).

Algebra lineare
Vettori e loro rappresentazione geometrica. Lo spazio Rn: Prodotto di un
vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori.
Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici.
Prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice. Matrice inversa.
Unicità della matrice inversa (c.d.). Condizione necessaria per l'esistenza della
matrice inversa (c.d). Condizione sufficiente per l'esistenza della matrice inversa.
Matrice trasposta. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Il
principio del minore orlato. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer.
Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

MATEMATICA GENERALE- MARISA CENCI-EDIZIONI KAPPA

1) Logica, insiemi ed insiemi numerici
Logica proposizionale. Proposizioni. Proposizioni decidibili. Operazioni logiche tra proposizioni. Implicazione logica. Necessità, sufficienza e necessità e sufficienza. Tavole di verità. Teorema. Metodi per la dimostrazione di un teorema. Insiemi. Operazioni tra insiemi. Insiemi numerici:
numeri naturali, numeri relativi e numeri razionali. Estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione). Assioma di Dedekind. L’insieme dei numeri reali. Numeri reali e loro rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Massimo e minimo di un insieme numerico. Intervalli e intorni. Elementi di topologia della retta: punti isolati, di frontiera, interni e di accumulazione. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
2)Sommatoria
Definizione di sommatoria. Somma dei primi n naturali (con dimostrazione). Somma dei primi n termini di una progressione geometrica (con dimostrazione). Proprietà della sommatoria.
3)Funzioni reali di una variabile reale
Funzioni reali di una variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni invertibili. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza. Legame tra monotonia e iniettività. Funzione inversa. Grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Trasformazioni di funzioni elementari. Funzione composta. Funzioni definite a più leggi. Dominio di una funzione.
4)Successioni e serie numeriche
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Calcolo di limiti di successioni. Definizione di serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza
di una serie (con dimostrazione). Il carattere della serie geometrica (con dimostrazione). Serie di Mengoli e suo valore (con dimostrazione).
5)Limiti di funzioni reali di variabile reale
Definizione di limite finito o infinito al finito e all’infinito. Limite destro e limite sinistro. Asintoto verticale e orizzontale. Asintoto obliquo. Verifica del
limite. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione). Teorema di permanenza del segno in forma diretta e in forma inversa (con dimostrazione). Operazioni razionali sui limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli.
6)Infinitesimi e infiniti
Definizione di infinitesimo e di infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teoremi di cancellazione (con dimostrazione). Propagazione dell’ordine.
7)Continuità
Definizione di continuità in un punto. Continuità in un insieme. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità
della funzione composta. Continuità delle funzioni definite a più leggi.Teorema degli zeri per funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux (con dimostrazione).
8) Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto e suo significato geometrico. Derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivata delle funzioni elementari. Le regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Teorema di De L’Hopital e sua applicazione alle forme indeterminate. Polinomio di Taylor di ordine 1 e di ordine 2 (con dimostrazione). Il fattoriale di n. Polinomio di Taylor di ordine n. Polinomio di Mc Laurin. Differenziale e suo significato geometrico. Teorema sul resto di primo ordine (con dimostrazione). Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con dimostrazione). Teorema di Lagrange (con dimostrazione). Corollari al teorema di Lagrange (con dimostrazione). Relazione fra il segno della derivata prima e la crescenza/decrescenza di una funzione in un intervallo (con dimostrazione). Concavità e convessità in un punto. Relazione fra il segno della derivata seconda e la convessità/concavità di una funzione in un intervallo (con dimostrazione). Punti di flesso. Condizioni di concavità e convessità globale.
9)Calcolo integrale
Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Proprietà delle primitive (con dimostrazione). Proprietà dell’integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (con dimostrazione). Area sottesa da una curva. Somma integrale superiore e inferiore. Definizione di integrale definito secondo Riemann. Proprietà dell’integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media integrale (con dimostrazione). Teorema di Torricelli-Barrow (con dimostrazione). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow (con dimostrazione).
10)Algebra lineare
Vettori e loro rappresentazione geometrica. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Lo spazio vettoriale Rn: Combinazione lineare di
vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici. Prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice. Matrice
inversa. Unicità della matrice inversa (con dimostrazione). Condizione necessaria per l’esistenza della matrice inversa (con dimostrazione). Condizione sufficiente per l’esistenza della matrice inversa. Matrice trasposta. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

Dispense fornite dal docente disponibili online: http://disa.uniroma3.it/didattica/lauree-triennali/matematica-generale-n-o-ii-canale-d-k ,e-o/

1) Logica, insiemi ed insiemi numerici
Logica proposizionale. Proposizioni. Proposizioni decidibili. Operazioni logiche tra proposizioni. Implicazione logica. Necessità, sufficienza e necessità e sufficienza. Tavole di verità. Teorema. Metodi per la dimostrazione di un teorema. Insiemi. Operazioni tra insiemi. Insiemi numerici:
numeri naturali, numeri relativi e numeri razionali. Estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione). Assioma di Dedekind. L’insieme dei numeri reali. Numeri reali e loro rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Massimo e minimo di un insieme numerico. Intervalli e intorni. Elementi di topologia della retta: punti isolati, di frontiera, interni e di accumulazione. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
2)Sommatoria
Definizione di sommatoria. Somma dei primi n naturali (con dimostrazione). Somma dei primi n termini di una progressione geometrica (con dimostrazione). Proprietà della sommatoria.
3)Funzioni reali di una variabile reale
Funzioni reali di una variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni invertibili. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza. Legame tra monotonia e iniettività. Funzione inversa. Grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Trasformazioni di funzioni elementari. Funzione composta. Funzioni definite a più leggi. Dominio di una funzione.
4)Successioni e serie numeriche
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Calcolo di limiti di successioni. Definizione di serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza
di una serie (con dimostrazione). Il carattere della serie geometrica (con dimostrazione). Serie di Mengoli e suo valore (con dimostrazione).
5)Limiti di funzioni reali di variabile reale
Definizione di limite finito o infinito al finito e all’infinito. Limite destro e limite sinistro. Asintoto verticale e orizzontale. Asintoto obliquo. Verifica del
limite. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione). Teorema di permanenza del segno in forma diretta e in forma inversa (con dimostrazione). Operazioni razionali sui limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli.
6)Infinitesimi e infiniti
Definizione di infinitesimo e di infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teoremi di cancellazione (con dimostrazione). Propagazione dell’ordine.
7)Continuità
Definizione di continuità in un punto. Continuità in un insieme. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità
della funzione composta. Continuità delle funzioni definite a più leggi.Teorema degli zeri per funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux (con dimostrazione).
8) Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto e suo significato geometrico. Derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivata delle funzioni elementari. Le regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Teorema di De L’Hopital e sua applicazione alle forme indeterminate. Polinomio di Taylor di ordine 1 e di ordine 2 (con dimostrazione). Il fattoriale di n. Polinomio di Taylor di ordine n. Polinomio di Mc Laurin. Differenziale e suo significato geometrico. Teorema sul resto di primo ordine (con dimostrazione). Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con dimostrazione). Teorema di Lagrange (con dimostrazione). Corollari al teorema di Lagrange (con dimostrazione). Relazione fra il segno della derivata prima e la crescenza/decrescenza di una funzione in un intervallo (con dimostrazione). Concavità e convessità in un punto. Relazione fra il segno della derivata seconda e la convessità/concavità di una funzione in un intervallo (con dimostrazione). Punti di flesso. Condizioni di concavità e convessità globale.
9)Calcolo integrale
Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Proprietà delle primitive (con dimostrazione). Proprietà dell’integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (con dimostrazione). Area sottesa da una curva. Somma integrale superiore e inferiore. Definizione di integrale definito secondo Riemann. Proprietà dell’integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media integrale (con dimostrazione). Teorema di Torricelli-Barrow (con dimostrazione). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow (con dimostrazione).
10)Algebra lineare
Vettori e loro rappresentazione geometrica. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Lo spazio vettoriale Rn: Combinazione lineare di
vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici. Prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice. Matrice
inversa. Unicità della matrice inversa (con dimostrazione). Condizione necessaria per l’esistenza della matrice inversa (con dimostrazione). Condizione sufficiente per l’esistenza della matrice inversa. Matrice trasposta. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

Dispense fornite dal docente all'indirizzo http://disa.uniroma3.it/didattica/lauree-triennali/matematica-generale-n-o-iii-canale-l-p/