Università Roma Tre

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti
(in tal caso indicato con [G]).
1. Funzioni di
n
variabili reali
Ripasso sull’assiomatica dei reali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz),
norma, distanza, topologia standard, compattezza e connessione in
R
n
(paragrafi 5.1,
5.2, 5.3, 5.4).
Funzioni continue da
R
n
in
R
m
(paragrafo 5.5): Prop 5.8 (solo i punti i):
f
continua
in
x
se e solo se per ogni successione
x
k
tendente a
x
anche
f
(
x
k
) tende a
f
(
x
); iii)
se
K
compatto e
f
continua allora
f
(
K
) compatto; v) somme, prodotti, quozienti e
composizioni di funzioni continue sono continui). Teorema di Weierstrass Teo 5.11, una
funzione continua su un compatto uniformemente continua Teo 5.12.
Paragrafo 5.6, definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.5.21: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate di-
rezionali. Prop 5.22(”del differenziale totale”). Lemma di Schwarz, Prop. 5.24. Fun-
zioni
C
k
, regola della catena (Prop. 5.30). Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi (Def. 5.43)
Matrici definite positive.
Prop. 5.44: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti
critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da
R
n
ad
R
m
; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.
2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi (numeri 1,2,6,7,8,9 del par. 6.1). Successioni convergenti e di Cauchy (Def.
6.2). Norme equivalenti (Def. 6.4). Equivalenza delle norme in
R
n
(Prop. 6.6 da
dimostrare nella prossima esercitazione). Lo spazio delle funzioni continue con la norma
del sup uno spazio di Banach. Esponenziale di matrice. Equazioni differenziali ordinarie
a coefficienti costanti (Oss. 6.8). Serie di Neumann (Oss. 6.9).
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10
3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite Teo. 7.1 (con la Prop. 7.4 e il Teorema della
Funzione Inversa fatti ad esercitazione).
A.A. 2016/2017, I e II Semestre
Crediti 15
Esempi sul teorema delle funzioni implicite (equazione di Keplero). Massimi e min-
imi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (Prop. 7.9).
4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti (solu-
zione con l’esponenziale di matrice), sistemi conservativi unidimensionali.
Teorema di esistenza e unicit (Teo 8.8).
Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali Prop. 8.10.
L’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari di ordine
n
forma uno spazio vettoriale
n
-dimensionale (vedi paragrafo 8.5).
5. Curve in
R
n
Cap. 15 di [G]: curve regolari, versore tangente, curve equivalenti. Lunghezza di
una curva, integrali curvilinei.
FINE PRIMA PARTE
6. Integrale di Riemann in
R
n
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli
in
R
2
, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in
R
2
(quindi
R
n
).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
7. Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6). Esempi:
grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi
cartesiani).
8. Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali (paragrafo 10.4). Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
— 2 —
A.A. 2016/2017, I e II Semestre
Crediti 15
Derivate sotto segno di integrale (Prop. 5.47). Insiemi stellati (Prop. 10.16); una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stel-
lati, Prop 10.19). Il teorema di Green nel piano (Teo. 10.20) Il teorema del Rotore (Teo
10.21).
9. Serie e successioni di funzioni
Serie e successioni di funzioni (Cap.1): convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza (Teo. 2.1 e Teo. 2.5). Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari: esponenziale complesso (formula di addizione
(2.59)).
10. Serie di Fourier
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disug-
uaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue (Prop. 4.7) Convergenza puntuale
della serie di Fourier (test del Dini, Lemma 4.11). Convergenza uniforme nel caso di
funzioni
C
1
(Teo. 4.14). Uguaglianza di Parseval.
La serie di Fourier di una funzione
C
1
a tratti converge alla media del salto nei
punti di discontinuit. Linearit`a della serie di Fourier.

Testi consigliati
[1]
L. Chierchia
,
Lezioni di Analisi Matematica 2
.
Aracne
, (
1997
).
[2]
E. Giusti
,
Analisi Matematica 2, terza edizione
.
Boringhieri
, (
2003
).
Bibliografia supplementare
[3]
Demidovic
,
Esercizi e problemi di analisi matematica
.
Editori Riuniti
,

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti
(in tal caso indicato con [G]).
1. Funzioni di
n
variabili reali
Ripasso sull’assiomatica dei reali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz),
norma, distanza, topologia standard, compattezza e connessione in
R
n
(paragrafi 5.1,
5.2, 5.3, 5.4).
Funzioni continue da
R
n
in
R
m
(paragrafo 5.5): Prop 5.8 (solo i punti i):
f
continua
in
x
se e solo se per ogni successione
x
k
tendente a
x
anche
f
(
x
k
) tende a
f
(
x
); iii)
se
K
compatto e
f
continua allora
f
(
K
) compatto; v) somme, prodotti, quozienti e
composizioni di funzioni continue sono continui). Teorema di Weierstrass Teo 5.11, una
funzione continua su un compatto uniformemente continua Teo 5.12.
Paragrafo 5.6, definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.5.21: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate di-
rezionali. Prop 5.22(”del differenziale totale”). Lemma di Schwarz, Prop. 5.24. Fun-
zioni
C
k
, regola della catena (Prop. 5.30). Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi (Def. 5.43)
Matrici definite positive.
Prop. 5.44: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti
critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da
R
n
ad
R
m
; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.
2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi (numeri 1,2,6,7,8,9 del par. 6.1). Successioni convergenti e di Cauchy (Def.
6.2). Norme equivalenti (Def. 6.4). Equivalenza delle norme in
R
n
(Prop. 6.6 da
dimostrare nella prossima esercitazione). Lo spazio delle funzioni continue con la norma
del sup uno spazio di Banach. Esponenziale di matrice. Equazioni differenziali ordinarie
a coefficienti costanti (Oss. 6.8). Serie di Neumann (Oss. 6.9).
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10
3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite Teo. 7.1 (con la Prop. 7.4 e il Teorema della
Funzione Inversa fatti ad esercitazione).
A.A. 2016/2017, I e II Semestre
Crediti 15
Esempi sul teorema delle funzioni implicite (equazione di Keplero). Massimi e min-
imi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (Prop. 7.9).
4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti (solu-
zione con l’esponenziale di matrice), sistemi conservativi unidimensionali.
Teorema di esistenza e unicit (Teo 8.8).
Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali Prop. 8.10.
L’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari di ordine
n
forma uno spazio vettoriale
n
-dimensionale (vedi paragrafo 8.5).
5. Curve in
R
n
Cap. 15 di [G]: curve regolari, versore tangente, curve equivalenti. Lunghezza di
una curva, integrali curvilinei.
FINE PRIMA PARTE
6. Integrale di Riemann in
R
n
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli
in
R
2
, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in
R
2
(quindi
R
n
).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
7. Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6). Esempi:
grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi
cartesiani).
8. Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali (paragrafo 10.4). Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
— 2 —
A.A. 2016/2017, I e II Semestre
Crediti 15
Derivate sotto segno di integrale (Prop. 5.47). Insiemi stellati (Prop. 10.16); una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stel-
lati, Prop 10.19). Il teorema di Green nel piano (Teo. 10.20) Il teorema del Rotore (Teo
10.21).
9. Serie e successioni di funzioni
Serie e successioni di funzioni (Cap.1): convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza (Teo. 2.1 e Teo. 2.5). Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari: esponenziale complesso (formula di addizione
(2.59)).
10. Serie di Fourier
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disug-
uaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue (Prop. 4.7) Convergenza puntuale
della serie di Fourier (test del Dini, Lemma 4.11). Convergenza uniforme nel caso di
funzioni
C
1
(Teo. 4.14). Uguaglianza di Parseval.
La serie di Fourier di una funzione
C
1
a tratti converge alla media del salto nei
punti di discontinuit. Linearit`a della serie di Fourier.

Testi consigliati
[1]
L. Chierchia
,
Lezioni di Analisi Matematica 2
.
Aracne
, (
1997
).
[2]
E. Giusti
,
Analisi Matematica 2, terza edizione
.
Boringhieri
, (
2003
).
Bibliografia supplementare
[3]
Demidovic
,
Esercizi e problemi di analisi matematica
.
Editori Riuniti
,