Università Roma Tre

PROGRAMMA DEL CORSO 2017-18

-MODELLI MATEMATICI PER IL TRATTAMENTO QUANTITATIVO DELLO SPAZIO 3d:
-ALGEBRA LINEARE DA UN PUNTO DI VISTA GEOMETRICO: VETTORI, PIANI, RETTE, CONDIZIONI PER LE RETTE SGHEMBE, DISTANZE punto-piano, punto-retta.
-CURVE CONICHE E SUPERFICI QUADRICHE, RICONOSCIMENTO, CLASSIFICAZIONE, COSTRUIBILITA'
INDIVIDUAZIONE COME RIGATE, COME SVILUPPABILI, COME SEZIONI PIANE...
-CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE IN DUE E TRE VARIABILI: domini di definizione, continuità, curve di livello.
STUDIO DEGLI ESTREMI E DEI PUNTI CRITICI DI UNA SUPERFICIE DATA DA UNA FUNZIONE, matrice Hessiana, PIANO TANGENTE, derivata direzionale, gradiente. Domini di integrazione semplici, integrazione iterata, intgrali come modello di volumi INTEGRALI DOPPI, VOLUMI CONFINATI DA SUPERFICI REGOLARI.
- CURVE PARAMETRICHE, TRIEDRO FONDAMENTALE ASSOCIATO AD UNA CURVA.
- SUPERFICI NELLO SPAZIO, FORMULAZIONE PARAMETRICA ED IMPLICITA.

-ATTIVITA' HANDS-ON: PLASTICI DI POLIEDRI, RIGATE, modelli in carta

QUALUNQUE TESTO DI LIVELLO UNIVERSITARIO di calcolo differenziale in piu' variabili, e trattamento algebrico dello spazio.

ad esempio: Adams, Pagani-Salsa, Marcellini Sbordone

Algebra lineare
Spazi vettoriali bidimensionale e tridimensionale. Vettori e versori nel piano e nello spazio tridimensionale. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, con i rispettivi significati geometrici.
Equazioni di rette e piani nello spazio in forma parametrica e cartesiana; rette parallele, incidenti, sghembe; intersezioni tra rette e piani; distanza tra punti in R3, distanze punto-retta, punto-piano, retta-piano, parallelismo tra piani. Matrici di ordine superiore a 2: somma di matrici, prodotto righe per colonne tra matrici di dimensione qualsiasi o tra matrice e vettore, complementi algebrici, determinante di una matrice quadrata di ordine qualsiasi (sviluppo di Laplace), matrice inversa.
Curve e superfici nello spazio
Forma cartesiana (esplicita e implicita) dell'equazione di una superficie. Equazioni parametriche di curve e superfici. Esempi di curve nello spazio, piane e sghembe. Superfici rigate, con particolare riguardo a coni e cilindri. Superfici di rotazione. Quadriche: coni e cilindri quadrici, sfera, ellissoide, paraboloidi, iperboloidi. Equazioni cartesiane, sezioni, curve di livello; ricostruzione di una quadrica a partire dalle sezioni. Superfici doppiamente rigate. Equazioni parametriche di curve nello spazio date come intersezione di due superfici.

Calcolo infinitesimale per funzioni di più variabili
Funzioni reali di due o più variabili reali. Dominio; rappresentazioni piane di funzioni z=f (x,y): curve di livello, sezioni e loro disegno. Superfici con variabili libere (o cilindriche). Insiemi aperti e chiusi, punti interni, esterni, di frontiera, isolati.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Controesempi. Derivate parziali di primo ordine e di ordine superiore. Derivata direzionale. Differenziabilità. Piano tangente e retta normale. Gradiente di una funzione, relazione tra il gradiente e gli altri aspetti geometrici della superficie: curve di livello, piano tangente, direzione di massima pendenza. Cenno sulla formula di Taylor in più variabili. Studio della natura dei punti critici di funzioni di due variabili tramite il determinante hessiano: massimi, minimi relativi e punti di sella.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili
Integrali multipli in Rn; domini normali nel piano (ovvero "verticalmente ed orizzontalmente semplici"). Formula di riduzione per gli integrali doppi su domini normali; inversione dell’ordine di integrazione; applicazioni al calcolo di aree e volumi; applicazioni al calcolo di masse e baricentri di lamine piane.
È possibile aggiungere agli argomenti suddetti un altro da sviluppare autonomamente, ad esempio approfondimenti su curve e superfici, costruzione di superfici rigate, altre applicazioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili, previo accordo col docente.

R. Adams: Calcolo Differenziale 2 (funzioni di più variabili), quinta edizione, CEA - Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 2014 (va bene però anche un'edizione precedente).
B. Palumbo: Integrali di funzioni di più variabili (per la parte di curve e superfici nello spazio e per gli integrali doppi).