Università Roma Tre

Funzioni di una variabile. Proprietà delle funzioni. Calcolo differenziale. Ottimizzazione di funzioni di una variabile. Integrazione. Algebra dei vettori e delle matrici. Sistemi di equazioni lineari.

Dispense fornite dal docente.

1) Logica, insiemi ed insiemi numerici
Logica proposizionale. Proposizioni. Proposizioni decidibili. Operazioni logiche tra proposizioni. Implicazione logica. Necessità, sufficienza e necessità e sufficienza. Tavole di verità. Teorema. Metodi per la dimostrazione di un teorema. Insiemi. Operazioni tra insiemi. Insiemi numerici:
numeri naturali, numeri relativi e numeri razionali. Estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione). Assioma di Dedekind. L’insieme dei numeri reali. Numeri reali e loro rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Massimo e minimo di un insieme numerico. Intervalli e intorni. Elementi di topologia della retta: punti isolati, di frontiera, interni e di accumulazione. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
2)Sommatoria
Definizione di sommatoria. Somma dei primi n naturali (con dimostrazione). Somma dei primi n termini di una progressione geometrica (con dimostrazione). Proprietà della sommatoria.
3)Funzioni reali di una variabile reale
Funzioni reali di una variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni invertibili. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza. Legame tra monotonia e iniettività. Funzione inversa. Grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Trasformazioni di funzioni elementari. Funzione composta. Funzioni definite a più leggi. Dominio di una funzione.
4)Successioni e serie numeriche
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Calcolo di limiti di successioni. Definizione di serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza
di una serie (con dimostrazione). Il carattere della serie geometrica (con dimostrazione). Serie di Mengoli e suo valore (con dimostrazione).
5)Limiti di funzioni reali di variabile reale
Definizione di limite finito o infinito al finito e all’infinito. Limite destro e limite sinistro. Asintoto verticale e orizzontale. Asintoto obliquo. Verifica del
limite. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione). Teorema di permanenza del segno in forma diretta e in forma inversa (con dimostrazione). Operazioni razionali sui limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli.
6)Infinitesimi e infiniti
Definizione di infinitesimo e di infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teoremi di cancellazione (con dimostrazione). Propagazione dell’ordine.
7)Continuità
Definizione di continuità in un punto. Continuità in un insieme. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità
della funzione composta. Continuità delle funzioni definite a più leggi.Teorema degli zeri per funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux (con dimostrazione).
8) Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto e suo significato geometrico. Derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivata delle funzioni elementari. Le regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Teorema di De L’Hopital e sua applicazione alle forme indeterminate. Polinomio di Taylor di ordine 1 e di ordine 2 (con dimostrazione). Il fattoriale di n. Polinomio di Taylor di ordine n. Polinomio di Mc Laurin. Differenziale e suo significato geometrico. Teorema sul resto di primo ordine (con dimostrazione). Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con dimostrazione). Teorema di Lagrange (con dimostrazione). Corollari al teorema di Lagrange (con dimostrazione). Relazione fra il segno della derivata prima e la crescenza/decrescenza di una funzione in un intervallo (con dimostrazione). Concavità e convessità in un punto. Relazione fra il segno della derivata seconda e la convessità/concavità di una funzione in un intervallo (con dimostrazione). Punti di flesso. Condizioni di concavità e convessità globale.
9)Calcolo integrale
Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Proprietà delle primitive (con dimostrazione). Proprietà dell’integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (con dimostrazione). Area sottesa da una curva. Somma integrale superiore e inferiore. Definizione di integrale definito secondo Riemann. Proprietà dell’integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media integrale (con dimostrazione). Teorema di Torricelli-Barrow (con dimostrazione). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow (con dimostrazione).
10)Algebra lineare
Vettori e loro rappresentazione geometrica. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Lo spazio vettoriale Rn: Combinazione lineare di
vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici. Prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice. Matrice
inversa. Unicità della matrice inversa (con dimostrazione). Condizione necessaria per l’esistenza della matrice inversa (con dimostrazione). Condizione sufficiente per l’esistenza della matrice inversa. Matrice trasposta. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

Testo disponibile online: http://disa.uniroma3.it/didattica/lauree-triennali/matematica-generale-n-o-ii-canale-d-k ,e-o/

Funzioni di una variabile. Proprietà delle funzioni. Calcolo differenziale. Ottimizzazione di funzioni di una variabile. Integrazione. Algebra dei vettori e delle matrici. Sistemi di equazioni lineari.

Dispense fornite dal docente.

Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni, operazioni con le proposizioni, insiemi, operazioni con gli insiemi ed applicazioni.
Insiemi numerici: Numeri interi, relativi, razionali, reali; insiemi numerici limitati; intervalli, intorni, punti di accumulazione in R.
Sommatoria e produttoria Somme particolari e proprietà.
Cenni alle successioni e serie numeriche
Funzioni reali di variabile reale: Funzioni iniettive, suriettive, pari e dispari, funzioni elementari, funzioni composte, funzioni invertibili, grafici deducibili da quelli noti; limiti, teoremi di unicità del limite, teoremi della permanenza del segno, teorema del confronto; continuità, Teorema degli zeri, teorema di Weierstrass e di Darboux; infinitesimi, infiniti, ordine, teoremi di cancellazione.
Calcolo differenziale: Rapporto incrementale, derivata, teorema su derivabilità e continuità, regole di derivazione, derivazione funzioni composte e funzioni inverse, differenziale, derivate di ordine superiore, approssimazione con polinomi di Taylor e di Mc Laurin.
Studio di funzioni: Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di Lagrange e corollari, teorema di De L’Hospital, funzioni concave e convesse.
Calcolo integrale: Funzioni primitive e integrale indefinito, integrazione per parti e per sostituzione, integrale definito: proprietà, teorema della media, teorema di Torricelli Barrow e corollario.
Algebra lineare: Vettori, spazi vettoriali, vettori linearmente dipendenti e non, basi, matrici, operazioni con le matrici, determinante, rango, matrice inversa, sistemi di equazioni lineari, teorema di Cramer e di Rouchè-Capelli, sistemi parametrici.

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