Università Roma Tre

1. Richiami su matrici e spazi vettoriali
Richiami sulle matrici: definizioni, operazioni tra matrici e tra matrici e vettori, proprietà fondamentali (simmetriche, antisimmetriche, definite positive e semi-definite positive). Determinante di una matrice e sue proprietà (teorema di Binet), matrice inversa, rango di una matrice. Spazi vettoriali: basi, cambiamento di base, matrici simili, matrici ortogonali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

2. Autovalori e autovettori di matrici
Definizioni; molteplicità geometrica e algebrica. Proprietà degli autovalori, proprietà delle matrici simili. Diagonalizzabilità di una matrice. Proprietà delle matrici simmetriche. Proprietà delle matrici non simmetriche. Autovettori sinistri e basi duali. Forma canonica di Jordan. Problema agli autovalori e autovettori generalizzato.
3. Soluzione di sistemi di equazioni lineari
Generalità. Metodi iterativi: concetti di base, convergenza, criteri di arresto; metodi di Jacobi, Gauss-Seidel: algoritmi e convergenza. Metodi diretti: eliminazione di Gauss. Sistemi sovradeterminati: soluzione ai minimi quadrati.
4. Soluzione di equazioni non lineari
Separazioni delle radici. Metodi iterativi: concetti di base, ordine di convergenza, efficienza computazionale. Metodo di Newton-Raphson (modifiche per radici multiple). Criteri di arresto.
5. Metodi per la soluzione di sistemi di equazioni differenziali alle derivate ordinarie
Sistemi di equazioni differenziali alle derivate ordinarie in forma normale. Soluzione mediante: (i) rappresentazione spettrale della soluzione, (ii) cambiamento di riferimento (diagonalizzazione), (iii) integrazione diretta con uso della funzione esponenziale di matrice.

6. Soluzione di sistemi di equazioni differenziali nel dominio della frequenza
Richiami sulla trasformata di Laplace. Funzione di risposta in frequenza. Risposta indiciale, impulsiva, armonica.
7. Metodi alle differenze finite per la soluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate ordinarie
Concetti di base, formule alle differenze per derivate al primo e secondo ordine. Formule all'indietro, avanti e centrate. Ordine di accuratezza. Interpretazione geometrica. Formule alle differenze con un numero di punti arbitrario. Metodo alle differenze finite: operatore discretizzato, consistenza, stabilità e convergenza. Errore globale, errore di troncamento. Equazione modificata. Metodi di Eulero esplicito, implicito e di Crank-Nicholson.
8. Integrazione numerica
Formule di quadratura: generalità. Formule di quadratura interpolatorie: formule di Newton-Cotes chiuse, formula del trapezio e formula di Cavalieri-Simpson. Grado di precisione ed errore delle formule di quadratura interpolatoria. Formule di quadratura di Newton-Cotes composite. Formule di quadratura aperte, formule di quadratura di Gauss-Legendre e loro grado di precisione.

9. Calcolo delle variazioni
Definizione di funzionale. Determinazione di minimi e massimi di funzionale: equazioni di Eulero-Lagrange. Condizioni di trasversalità. Problema della brachistocrona. Problema della trave su suolo elastico. Applicazione alla determinazione della equazione di Riccati per il controllo ottimo.

10. Metodi per la soluzione di sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali
Autofunzioni e autovalori di un operatore lineare. Operatori aggiunti e autoaggiunti. Metodo delle autofunzioni. Modi e frequenze naturali di vibrazione. Metodo di Rayleigh-Ritz e metodo di Galërkin.

11. Coordinate curvilinee generalizzate
Vettori di base covarianti e controvarianti. Relazioni tra le basi duali. Operatori differenziali su vettori espressi in componenti covarianti e controvarianti.

F.B. Hildebrand, “Methods of Applied Mathematics”, Dover Publications, NY, 1992.
A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, M.A. Lavrent'ev, “Mathematics: Its Content, Methods and Meaning”, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, Sixth Edition, 1989.
J.D. Hoffman, ``Numerical Methods for Engineers and Scientists'', McGraw-Hill, Seconf Edition, 1992.