Università Roma Tre

Definizione delle superfici algebriche K3. Digressione sulle superfici lisce proiettive: teoria dell'intersezione, Hirzerbruch-Riemann-Roch, dualità di Serre, il gruppo di Neron-Severi algebrico e numerico. Invarianti di superfici algebriche K3: Riemann-Roch, gruppo Picard e gruppo di Neron-Severi, numeri di Hodge, numeri di Chern.
Esempi di superfici K3: intersezioni complete, piani doppi, superfici Kummer, intersezioni complete in varietà di Fano di coindice tre. Digressione su varietà complesse compatte: coomologia (dualità di Poincaré, coomologia di De Rham, coomologia di Dolbeaut, sequenza spettrale di Frolicher, decomposizione di Hodge), corrispondenza tra varietà di Moishezon (risp. proiettive) e spazi algebrici propri (risp. proiettivi) regolari e complessi, teoremi GAGA, criteri di proiettivita' di Kodaira e Moishezon. Digressione su superfici complesse compatte: Moishezon è equivalente a proiettivo, Kahler equivale al fatto che il primo numero di Betti e' pari, teoria di Hodge per le superfici non Kahler, il reticolo del secondo gruppo di coomologia integrale (unimodularità, teorema dell'indice topologico, formule di Wu per la parità), il reticolo di Neron-Severi (il teorema (1,1) di Lefschetz (1,1), segnatura).
Superfici complesse K3: esempi (Kummer non proiettive), numeri di Hodge e classi di Chern, coomologia singolare, numero di Picard, struttura del reticolo sul secondo gruppo di coomologia integrale, topologia delle K3 (equivalenza di deformazione, diffeomorfismo e classe di omeomorfismo di superfici K3 ). Curve su superfici algebriche K3: aggiunzione, dimensione del sistema lineare completo associato. I criteri affinche' un fascio invertibile sia ampio o nef.
Fasci invertibili su superfici K3 algebriche: la classificazione di fasci invertibili mobili, divisori fissi, fasci invertibili nef e big hanno gruppi di coomologia superiore nulli, la classificazione dei fasci invertibili nef.
Modelli proiettivi di superfici algebriche K3: sistemi lineari iperellittici e non iperellittici. Il cono ampio delle superfici algebriche K3: decomposizione in camere del cono positivo, il gruppo Weyl agisce semplicemente transitivamente sull'insieme delle camere.
Il cono (pseudo)effettivo delle superfici algebriche K3: la tricotomia di Kovacs, circolarità vs localmente finitamente generazione, raggi estremali (-2 curve e classi ellittiche indecomponibili), restrizioni necessarie (e sufficienti) sul numero di Picard.
Teorema del cono per superfici K3 (senza dimostrazione). Caratterizzazione di superfici K3 che sono Mori dream spaces (senza dimostrazione). Lo schema di Hilbert delle superfici K3.
Liscezza dello schema di Hilbert delle superfici K3. Lo stack dei moduli delle superfici K3 primitivamente polarizzate è uno stack di DM separato e di tipo finito, liscio fuori al di fuori di alcune caratteristiche piccole.
Lo spazio dei moduli grezzo delle superfici K3 primitivamente polarizzate è uno spazio algebrico separato di tipo finito, che ha singolarità quoziente finito al di fuori di alcune caratteristiche piccole. Domini di periodi associati a reticoli con almeno 2 indici positivi.
Variazione delle strutture di Hodge associate a una famiglia di superfici K3 complesse e mappe di periodo locale / globale. La mappa dei periodi dallo spazio di deformazione universale al dominio dei periodi è un isomorfismo locale (teorema locale di Torelli). Lo spazio dei moduli delle superfici K3 marcate e le loro componenti connesse. Proprietà della mappa dei periodi dallo spazio dei moduli delle superfici K3 marcate al dominio dei periodi (senza dimostrazione): suriettività della mappa dei periodi e teorema globale di Torelli. Teorema di Torelli Hodge-teoretico debole e forte.
Riformulazione dei teoremi di Torelli teorici globali e Hodge-teoretico in termini di gruppo delle isometrie di Hodge. Variazione delle strutture di Hodge associate ad una famiglia di superfici K3 primitive polarizzate e mappe dei periodi. Lo spazio dei moduli di superfici K3 marcate primitivamente polarizzate. Proprietà della mappa dee periodi polarizzata: è un embedding aperto (senza dimostrazione), descrizione dell'immagine. Lo spazio dei moduli grossolani delle superfici complesse K3 primitivamente polarizzate è un quoziente dello spazio dei moduli di superfici K3 marcate primitivamente polarizzate ed è quasi-proiettivo e irriducibile.
Fasci coerenti su schemi arbitrari (filtrazione della torsione, dualità, fasci puri e riflessivi). Semistabilità: polinomio Hilbert ridotto, filtrazione di Harder-Narashiman, filtrazione di Jordan-Holder, S_equivalenza e fasci polisabili. (d, d ') - semistabilità: la categoria abeliana dei (d, d') - fasci coerenti, (d, d ') - semistabilità, semistabilità della pendenza, risultato di completezza di Langton-Maruyama. Lo spazio dei moduli di fasci (semi) stabili su uno schema proiettivo polarizzato arbitrario: metodo di costruzione che utilizza lo schema Quot e GIT.

D. Huybrechts: Lectures on K3 surfaces. Cambridge University Press, 2016.