Università Roma Tre

La numerazione dei teoremi si riferisce al testo "Funzioni algebriche e trascendenti" (Accademica, 2015). I teoremi si intendono con dimostrazione, in mancanza di indicazione contraria.

NUMERI REALI
Cenni su una definizione costruttiva dell’insieme dei reali. Definizione assiomatica di R. Assiomi di campo e loro conseguenze (leggi di cancellazione, unicità degli elementi neutri, regole algebriche, ecc.). Assiomi dell’ordine. Simboli di disuguaglianza. Legge di tricotomia. Proprietà transitiva della disuguaglianza ed altre conseguenze (teoremi 1.14, 1.15 e 1.16 senza dim.). Intervalli. Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Maggiorante, massimo, estremo superiore di un insieme; minorante, minimo, estremo inferiore. Proprietà caratteristiche dell'estremo superiore. Assioma di completezza e conseguenze (teor. 1.19 senza dim.). Simbolo di modulo e disuguaglianza triangolare (teor. 1.21 senza dim.). Insiemi induttivi. Intersezione di una famiglia di insiemi induttivi. Illimitatezza degli insiemi induttivi. Definizione di N. Chiusura di N rispetto ad addizione e moltiplicazione. Proprietà di Z e di Q. Proprietà archimedea dei numeri reali. Principio di induzione. Esempi di dimostrazione per induzione (disuguaglianza di Bernoulli e generalizzazioni, dimostrazione di uguaglianze e disuguaglianze su sommatorie e produttorie, ecc.). Definizioni per induzione (potenze, fattoriale, doppio fattoriale, ecc.) (terminare il paragrafo 1.9 prima del teorema 1.30). Principio del buon ordinamento (senza dim. del teor. 1.31). Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni e permutazioni semplici, combinazioni semplici, coefficienti binomiali e loro proprietà (legge dei termini complementari, legge di Stifel). Formula del binomio di Newton. Parte intera e parte decimale. Densità dei numeri razionali nei reali (e viceversa). Esistenza di numeri irrazionali (senza dim.). Cenni su insiemi numerabili e non numerabili.

FUNZIONI ELEMENTARI
Concetto di funzione (definizione intuitiva e rigorosa). Dominio e codominio. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni pari e dispari. Invertibilità. Funzioni crescenti e decrescenti. Restrizioni e prolungamenti. Definizione di radice ad indice n. Funzioni algebriche in generale. Grado di una funzione algebrica. Funzione modulo. Cenni su alcune funzioni trascendenti. Definizione di potenza ad esponente reale e funzione esponenziale. Numero e. Definizione di logaritmo e principali proprietà di esponenziale e logaritmo. Grafici dell'esponenziale e del logaritmo. Grafici di parte intera e parte decimale. Funzioni periodiche. Misura di angoli e definizione delle funzioni goniometriche. Grafici delle funzioni goniometriche. Funzioni goniometriche inverse. Funzioni iperboliche e loro inverse.

LIMITI E CONTINUITÀ
Intorni di un punto. Intorni circolari e intorni bucati. Concetto di limite finito per x che tende ad a finito: illustrazione geometrica e definizione rigorosa, con verifiche. Teorema dell’unicità del limite. Teorema della permanenza del segno (I formulazione). Esempi di funzioni che non ammettono limite. Teorema del limite di una somma. Limite di un infinitesimo per una funzione limitata. Continuità in un intervallo aperto. Esempi di funzioni elementari continue: costanti, funzioni lineari, polinomi, funzioni razionali. Continuità di funzioni trascendenti elementari (esponenziale, logaritmo, ecc.); continuità della funzione inversa e della funzione composta (senza dim.). Esempi di risoluzione di forme indeterminate con semplificazione di fattori comuni e razionalizzazioni. Teorema del confronto e limite di
sen x / x. Limiti parziali. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Limiti infiniti per x  a finito (anche parziali). Limite di 1/f(x) se f(x)  0. Teoremi sui limiti infiniti e su combinazione di limiti finiti e infiniti. Limiti infiniti all’infinito. Definizione ed esempi di calcolo. Teorema di Bolzano - Cauchy (esistenza degli zeri) ed applicazioni. Teorema dei valori intermedi e sue estensioni. Dimostrazione dell’esistenza della radice n-esima di un numero positivo. Teorema del segno costante ed applicazione alla risoluzione di disequazioni. Teorema di limitatezza delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Immagine di un intervallo secondo una funzione continua. Ordine di infinito e di infinitesimo di una funzione per x  + . di infinito e ordine di infinitesimo di una funzione per x  a.

DERIVATE ED APPLICAZIONI
Problema delle tangenti. Diagramma orario e velocità istantanea. Definizione di rapporto incrementale e di derivata. Derivata destra e sinistra. Continuità delle funzioni derivabili. Derivata intesa come numero e come funzione. Regole elementari di derivazione (derivata di una somma, differenza, prodotto e rapporto). Derivate di alcune funzioni elementari. Derivazione delle funzioni inverse e delle funzioni composte. Alcuni casi notevoli. Derivate delle funzioni goniometriche inverse e delle iperboliche inverse. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Teorema di monotonia delle funzioni derivabili e teorema della derivata nulla. Esempi di applicazioni: esistenza ed unicità di radici di equazioni, dimostrazioni di identità. Applicazioni del calcolo delle derivate alla ricerca di estremi relativi e di flessi a tangente orizzontale. Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. Asintoti obliqui e relativi metodi. Esempi di studi di funzioni (anche casi comprendenti punti di non derivabilità). Cenno sul concetto di differenziale e sui simboli di Leibniz.

CALCOLO INTEGRALE
Problema delle aree e calcolo dell’area del sottografico di una funzione. Definizione di integrale come elemento di separazione tra le somme integrali inferiori e superiori. Esempi di calcolo di un integrale con la sola definizione. Norma di una partizione. Integrale inteso come limite della somma integrale per δ → 0. Proprietà di monotonia. Proprietà di linearità e di additività rispetto all’intervallo. Estensioni del simbolo di integrale (casi a b e a = b). Teorema della media. Definizione di funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizione di primitiva e simbolo di integrale indefinito. Unicità della primitiva. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali immediati. Teorema della media pesata. Integrazione per sostituzione (nei due casi). Integrazione per parti. Decomposizione in fratti semplici. Tecniche di integrazione per particolari classi di funzioni.

FORMULA DI TAYLOR
Polinomi di Taylor. Definizione e forma esplicita. Esempi di polinomi di Taylor di funzioni elementari. Resto nella formula di Taylor. Dimostrazione della formula integrale del resto. Forma di Lagrange del resto. Esempi di calcolo di valori di funzioni con valutazione del resto. Calcolo del numero e. Simbolo “o piccolo” e regole algebriche per l'uso di "o piccolo". Formule di linearizzazione. Resto della formula di Taylor espresso come o piccolo. Calcolo di limiti. Polinomi di Taylor di prodotti e di funzioni composte.

NUMERI COMPLESSI
Definizione del campo C dei numeri complessi come insieme delle coppie ordinate di numeri reali. Definizione di addizione e moltiplicazione, e verifica degli assiomi di campo. Identificazione tra R e il sottocampo dei complessi con secondo elemento nullo. Unità immaginaria. Forma algebrica di un numero complesso. Parte reale e parte immaginaria. Coniugato di un numero complesso. Modulo di un numero complesso. Piano di Gauss. Rappresentazione dei numeri complessi nel piano. Coordinate polari. Formule di passaggio da coordinate polari a cartesiane e viceversa. Argomento di un numero complesso. Argomento principale. Prodotto di due numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-esime di un numero complesso.

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
Definizione di successione. Limite di successione. Successioni regolari e indeterminate. Teoremi di regolarità per le successioni. Controesempi su monotonia e regolarità. Successioni definite per ricorrenza. Sottosuccessioni. Regolarità della sottosuccessione estratta da una regolare. Esistenza di una sottosuccessione regolare per ogni successione. Definizione di serie. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Somma di una serie. Serie telescopiche. Serie geometrica. Serie armonica. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, del rapporto, della radice, del confronto con un integrale, del confronto asintotico (anche nella versione debole). Serie a termini di segno qualsiasi. Criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per le serie a segni alterni.

ALCUNE QUESTIONI DI TEORIA DEI NUMERI
Divisibilità in N e in Z. Numeri primi e composti. Teorema della fattorizzazione unica (senza dim.). Dimostrazioni di irrazionalità: casi semplici risolvibili con il teorema della fattorizzazione unica (radici, logaritmi); irrazionalità del numero e.

B. Palumbo, M.C. Signorino: FUNZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI. Ed. Accademica, Roma, 2015
M. Amar, A.M. Bersani: ANALISI MATEMATICA 1 - ESERCIZI E RICHIAMI DI TEORIA. Ed. La Dotta, Bologna, 2013

vedi scheda del docente titolare

vedi scheda del docente titolare