Università Roma Tre

Insiemi numerici
Sistemi numerici: n, z, q, r. Loro rappresentazione come "estensioni", cioè attraverso elementi del più piccolo: z come elementi di n con segno, q come coppie di z, r come successioni ("convergenti") di q.
Dialettica continuo/discreto: r come "tagli di dedekind" in q; approssimabilità. Loro rappresentazione come "inclusioni" nel più grande: r come retta numerica, posizione dei sottoinsiemi n, z, q.
Irrazionalità di radice di 2.
Misurare insiemi infiniti: cardinalità di n e di r. numerabilità (primo procedimento diagonale di cantor). potenza del continuo (secondo procedimento diagonale di cantor).
Successioni, limite di successioni. Successioni monotone, divergenti, convergenti, senza limite. Composizione di successioni: algebra dei limiti, teorema dei carabinieri.
Il numero di Nepero e successioni collegate il principio di induzione.

Analisi matematica in una variabile: coordinate, incrementi, funzioni. Insieme di definizione di una funzione reale di variabile reale. Piano cartesiano. Grafico di una funzione. Algebra dei grafici. Pendenza di un segmento, velocità di variazione di una funzione. Limiti di funzioni. Limiti notevoli. Derivata come limite del rapporto incrementale. velocità di un moto. differenziali. Derivata prima, pendenza di una curva in un punto, velocità istantanea. Equazioni che "legano" tra loro variabili in un "modello" matematico, insieme di reinterpretabilità del modello.
Derivate di funzioni polinomiali, razionali; derivate di funzioni trigonometriche; derivate di funzioni composte, inverse. Derivate prime ed applicazioni: studio dei grafici, variazione relativa di due grandezze collegate in un modello matematico. ottimizzazione di grandezze vincolate in un modello matematico. Derivata seconda, concavità di una curva, accelerazione istantanea. Teoremi sulle funzioni continue: Teorema del valore intermedio, esistenza di estremi locali. Massimi e minimi, teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange (derivata in un estremo locale, esistenza di un estremo locale, teorema del valor medio). Regola di de L'Hopital.
Studio dei grafici; comportamento ai bordi dell'insieme di definizione: asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Sintesi grafica delle informazioni ottenute analiticamente.

Metodo di Newton. approssimazione di una funzione con polinomi, polinomio di Taylor di una funzione.
Integrazione. Integrali indefiniti. Somme di Riemann, calcolo delle aree come limiti di somme di Riemann; integrale definito e teorema di Torricelli (o "fondamentale del calcolo"). Formula fondamentale del calcolo. Applicazioni: calcolo di aree, ricerca di primitive. Metodi di integrazione: integrazione di polinomi, di funzioni trigonometriche, integrazione per sostituzione e per parti, integrazioni di funzioni razionali.
Funzioni trascendenti: logaritmo naturale ed esponenziale, integrazione e derivazione logaritmica ed esponenziale.

Integrali impropri

Curve parametriche: vettori geometrici, curve parametriche regolari, lunghezza di un arco di curva.

- G.B. Thomas, R.L. Finney, Elementi di analisi matematica e geometria analitica Ed. Zanichelli
- Robert A. Adams, Calcolo differenziale ied. cea (casa editrice ambrosiana)
- Courant, Robbins "Che cos' è la matematica?" Ed. Boringhieri

Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.
Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano. Equazione circonferenza
Algebra lineare: somma di vettori, prodotto scalare. Equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate
Matrici 2x2. Matrici operazioni di somma e prodotto, determinante, rango di una matrice.
Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari: teorema di rappresentazione. Significato geometrico del determinante. Applicazioni alle trasformazioni, altre interpretazioni del determinante.

Matrici di rotazione e omotetie. Equazione parametrica della retta. Condizioni di ortogonalità. Riflessione rispetto ad una retta. Introduzione alle funzioni. Grafici.

Operazioni con i grafici, valore assoluto di un grafico. Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si sa il grafico.
Insieme aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, esercizi su limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto.
Limiti notevoli. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue.

Asintoti. Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni: somma, prodotto, quoziente, prodotto per scalare. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni.
Equazione della retta tangente in un punto al grafico.

Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima.

Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi di ottimizzazione.

Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange: calcolo esplicito nel caso n=2 e poi generalizzazione. Funzioni iperboliche, coniche come luoghi geometrici.

Autovalori e autovettori di matrici simmetriche, assi di simmetria delle coniche a centro.

Introduzione agli integrali: il problema del calcolo dell'area di una regione piana. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, integrali definiti.
Il teorema della media. Integrazione per parti e sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
Definizione di curva parametrica. Passaggio da parametrica a cartesiana
Esempi: circonferenza cicloide, coniche. Vettore e versore tangente, vettore e versore normale. Lunghezza di una curva. Curvatura.

G.B. THOMAS, R.L. FINNEY ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA ANALITICA ED. ZANICHELLI
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
Naldi, Pareschi, Aletti “calcolo differenziale e algebra lineare”, Ed. Mc Graw-Hill
ROBERT A. ADAMS CALCOLO DIFFERENZIALE IED. CEA (CASA EDITRICE AMBROSIANA)

testi di ulteriore approfondimento:
COURANT, ROBBINS "CHE COS' È LA MATEMATICA?" ED. BORINGHIERI