Università Roma Tre

Riepilogo funzioni reali di una variabile reale. Proprietà e definizioni principali, funzioni elementari, derivate e regole di derivazione. Derivate successive, derivata di funzione composta, derivata e monotonia, derivata seconda e convessità, CNeS per l’esistenza di massimi e minimi locali. Max e min globali. T. di Weierstrass.
Topologia di . Successioni di R. Lo spazio metrico . Successioni di . Topologia di : insiemi aperti. Insiemi chiusi. Insiemi compatti.
Funzioni di più variabili reali. Definizione ed esempi. Curve di livello. Funzioni lineari e forme quadratiche. Funzioni continue e teorema di Weierstrass (c.d.).
Calcolo differenziale per funzioni a più variabili. Derivate parziali. Differenziale e piano tangente. Gradiente e matrice Jacobiana. Approssimazioni mediante differenziali. Derivata lungo una curva. Derivata direzionale. Derivata di funzione composta. Derivate di ordine superiore e matrice Hessiana.
Teorema della funzione implicita: Caso di una funzione in due variabili. Interpretazione geometrica. Caso di una funzione in più variabili. Caso lineare: m equazioni, n+m incognite. Caso generale dei sistemi di m equazioni ed n+m incognite . Teorema della funzione inversa.
Ottimizzazione statica. Ottimizzazione libera. CN per l’esistenza di massimi e minimi locali (c.d.). Punti stazionari. Forme quadratiche definite e semidefinite. Criterio per 2 o 3 variabili. CS del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi liberi locali. Ottimizzazione vincolata. Vincoli bilaterali. CN per l’esistenza di massimi e minimi locali. Vincoli unilaterali: CN per l’esistenza di massimi e minimi locali. Condizioni di Kuhn-Tucker per variabili non negative. Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange (c.d.).
Funzioni omogenee. Definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero. Funzioni omotetiche
Funzioni concave e convesse. Definizioni e proprietà geometriche. Proprietà e caratterizzazione. Concavità e segno della matrice Hessiana. Funzioni quasi concave e quasi convesse. Funzioni di Cobb-Douglas. Funzioni pseudoconcave Ottimizzazione libera e vincolata in ipotesi di quasi convessità e quasi concavità.
Modelli dinamici: Modello di Malthus a tempo discreto e continuo. Modelli dinamici a tempo continuo e discreto. Definizione di equazione differenziale e alle differenze. Equazioni alle differenze di passo uno: esistenza e unicità delle soluzioni.
Calcolo delle variazioni. Problema di calcolo delle variazioni. Equazione di Eulero in forma integrale (c.d.). Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni di trasversalità. Condizioni sufficienti in ipotesi di concavità o convessità.
Introduzione alla teoria del controllo ottimo. Problema di controllo ottimo (tempo discreto e continuo). Principio di massimo di Pontryagin. Condizioni sufficienti in ipotesi di concavità.
Programmazione dinamica. Orizzonte finito e tempo discreto: Principio di ottimalità di Bellman. Principio della programmazione dinamica. Equazione di Bellman e condizioni di ottimalità.
(c.d.)=”con dimostrazione”.

Libri di testo:
• Simon & Blume “Matematica per le scienze economiche” ed Egea.
• Salsa & Squellati “Modelli dinamici e controllo ottimo” ed. Egea: capitolo 1 (pp.1-6, 17-26), capitolo 3 (pp.69-73, 78-79) , capitolo 9 (pp. 211-232), capitolo 10 (pp. 245-249, 277-288); capitolo 11 (pp. 293-296, 304-310).