Università Roma Tre

Spazi topologici. Esempi e prime proprietà. Spazi metrici e applicazioni continue. Esempi. Lo spazio topologico associato ad uno spazio metrico.
Spazi metrizzabili e no, spazi metrici topologicamente equivalenti. Chiusi di uno spazio topologico e operatori di chiusura, intorno e frontiera di un sottoinsieme di uno spazio topologico.
Proprietà e esempi di chiusure, interni e frontiere di sottoiensiemi di uno spazio topologico. Punti limite e derivato di un sottoinsieme di uno spazio topologico. Basi per una topologia. Caratterizzazione di una base.
Sottobasi per una topologia. Spazi topologici separabili. Basi fondamentali di intorni per un punto e assiome di numerabilità. Limite di una sucessione. Continuità di applicazioni tra spazi topologici.
Esempi di applicazioni continue. Applicazione aperte e chiuse. Omeoformismi tra spazi topologici. Esempi di spazi omeomorfi e no. La topologia prodotto.
Esempi e proprietà di topologie prodotto. La topologia prodotto su collezioni infinite di spazi topologici. La topologia quoziente. Esempi di identificazioni.
La topologia quoziente: ancora esempi e caratterizzazione tramite aperti saturi. Spazi di Hausdorff o T2: definizione, esempi e prime proprietà.
Proprietà di spazi di Hausdorff. Spazi T0 e T1: esempi e proprietà. Spazi regolari e normali.
Spazi normali. Il lemma di Uryshon e il teorema dell'estensione di Tietze.
Spazi di Lindelof: definizioni, proprietà e esempi. Spazi compatti: definizione, esempi e prime proprietà. Compatti in spazi di Hausdorff.
Applicazioni continue e compatezza. Il teorema di Heine-Borel e sottospazi compatti di R. Esercizi di revisione.
Primo esonero.
Teorema di Tychonoff. Generalizzazioni di compatezza: spazi localmente compatti, paracompatti, numerabilmente compatti e compatti per sucessioni.
Equivalenza tra spazi metrici compatti e completi e totalmenti limitati. Compattificazione di Alexandroff e di Stone-Cech.
Compattificazione di Stone-Cech: esistenza e proprietà. Spazi connessi: definizione e prime proprietà.
Proprietà di spazi connessi e applicazioni, componente connesse e connessione per archi.
Componenti connesse per archi e proprietà. Omotopia di mappe.
Equivalenza omotopica, esempi. Gruppo fondamentale.
Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale. Accenni su Teoria delle Categorie.
Proprietà del gruppo fondamentale: invarianza per componenti connesse per archi e banalità del gruppo fondamentale di spazi contraibili. Il gruppo fondamentale di S^1 è isomorfo a Z.
Rivestimenti. Teorema del sollevamento delle omotopie e alcune conseguenze. Morfismo indotto da un rivestimento nei gruppo fondamentali.
Rivestimenti e gruppo fondamentale. Monodromia. Corrispondenza tra sottogruppi del gruppo fondamentale e classi di isomorfismo di rivestimenti.

E. Sernesi: Geometria 2, Bollati Boringhieri, 2001.
S. Willard: General Topology, Dover Publications, 2004.
J. L. Kelley: General Topology, Graduate Text in Mathematics, Springer 1975.
J. R. Munkres: Topology: a first course, Prentice Hall, 1974.
A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.