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Docente
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TERESI LUCIANO
(programma)
Obiettivi
L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.
2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.
4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.
6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.
7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.
8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.
Elenco Esercitazioni
Software COMSOL
C01_Heat_Equation.mph
C02_Heat_Equation_boundary_source.mph
C03_HeatEquation_conductive_interface.mph
C04_Heat_2D_Sphere.mph
C05_Heat_2D_Toro.mph
C06_Elastic_Solid.mph
C07_Convection_Diffusion_1D.mph
C08_Convection_Diffusion_2D.mph
C09_Navier_Stokes_L_Junction _2D.mph
C10_L2_norm.mph
C11_wave_1D.mph
C12_wave_2D.mph
Software Mathematica
M01_Test_Function.nb
M02_Convection_diffusion_nb
(testi)
Testi adottati
1) Notes_Convection_Diffusion.pdf
note a cura del docente
2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011
3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006
Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP
Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2)
Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)
4) Computational Science and Engineering
Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007
Cap 3.1, page 236~241;
Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567
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Università Roma Tre