Università Roma Tre

Parte I: Algebra lineare
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)

Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.

Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso

Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.