Università Roma Tre

Logica, insiemi ed insiemi numerici
• Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.
• Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. (c.d.). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.
• Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.
Funzioni reali di una variabile reale
• Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.
• Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.
• Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.
Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).
• Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale
• Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).
• Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare
• Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.
• Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.
• Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Consigliati:
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023

Logica, insiemi ed insiemi numerici

· Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.

· Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Radice di due non appartiene ai numeri razionali (c.d). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.

· Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.

Funzioni reali di una variabile reale

· Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.

· Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.

· Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).

· Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale

· Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).

· Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare

· Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.

· Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.

· Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Consigliati:

- Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910

- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/


Facoltativi:
-Peccati, Salsa, Squellati. "Matematica per l'economia e l'azienda". Egea.

-Bramanti, Pagani, Salsa. "Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Seconda edizione

- Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. "Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia". Società Editrice Esculapio, 2009.