Università Roma Tre

Elementi di teoria degli insiemi. Applicazioni fra insiemi: applicazioni invettive, suriettive, biiettive.
Cenni di logica proposizionale, tavole di verità. Relazioni d'equivalenza e d'ordine.
Elementi di calcolo combinatorio. Coefficienti binomiali e teorema binomiale. Permutazioni. 
I numeri interi: divisibilità, MCD e algoritmo di Euclide, identità di Bézout, congruenze lineari.
Cenni sulle strutture algebriche: gruppi di permutazioni, gruppi astratti, polinomi e campi finiti.
Elementi di teoria dei grafi.Reticoli e algebre di Boole.

Giulia Maria Piacentini Cattaneo
Matematica discreta e applicazioni
Zanichelli 2008

Richiami di teoria degli insiemi. Unione, intersezione, prodotto cartesiano,
differenza, complementare. Insieme delle parti di un insieme finito, e sua
cardinalità.

Elementi di logica: calcolo proposizionale. Operazioni di negazione,
congiunzione, disgiunzione, XOR, implicazione logica, doppia implicazione.
Tavole di verità. Equivalenza logica. Tautologie e contraddizioni. Cenni
sui predicati. Quantificatore universale e esistenziale.

Applicazioni fra insiemi. Dominio, codominio, immagine, controimmagine.
Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Applicazione inversa.
Prodotto operatorio fra applicazioni. Identità. L’insieme delle applicazioni
fra due insiemi finiti e la sua cardinalità. Permutazioni.

Relazioni. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva:
relazione di ordine e di equivalenza. Esempi di relazioni. Insiemi parzialmente
ordinati. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insieme
quoziente.

Numeri interi: divisibilità e sue proprietà. Divisione con il resto. Massimo
comune divisore. Algoritmo di Euclide. Identità di B ́ezout, algoritmo
di Euclide esteso. Equazioni diofantine. Applicazione dell’algoritmo di
Euclide alle ricerca di soluzioni intere per l’equazione ax + by = c. Numeri
primi. Teorema fondamentale dell’aritmetica e teorema di Euclide.

Congruenza modulo n. L’insieme Z/nZ delle classi resto modulo n. Somma e
moltiplicazione in Z/nZ. Congruenze lineari. Condizione per la risolubilità.
Descrizione delle soluzioni delle congruenze lineari. Sistemi di congruenze
e teorema cinese dei resti. Elementi invertibili in Z/nZ. Funzione φ di Eulero.
Piccolo teorema di Fermat, teorema di Eulero-Fermat.

Combinatoria: disposizioni e combinazioni senza ripetizioni, coefficienti
binomiali. Proprietà dei coefficienti binomiali, Sviluppo del binomio.
Disposizioni e combinazioni con ripetizioni, triangolo di Tartaglia.

Insiemi parzialmente ordinati, diagrammi di Hasse. Massimo e minimo,
elementi massimali e minimali, maggioranti e minoranti, sup e inf.
Reticoli. Proprietà di inf e sup in un reticolo. Reticoli algebrici. Reticoli
limitati, complementati, distributivi. Algebre di Boole.

Piacentini Cattaneo, Matematica discreta. Zanichelli.
Delizia-Longobardi-Maj-Nicotera, Matematica Discreta, McGraw Hill.
Procesi-Rota, Elementi di algebra e matematica discreta. Accademica.

1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

G. Accascina e V. Monti, Geometria*
* Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf

1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi

2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.

3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.

4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.

5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.

6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.

7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.

8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.

9. Metodo di Gauss
Applicazioni del metodo di Gauss. Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.

10. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio

11. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.

12. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.

13. Dipendenza e indipendenza lineare

14. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.

15. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.

16. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.

17. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.

18. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.

19. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.

20. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.

21. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.

22. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

G. Accascina e V. Monti,
"Geometria"

1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi

2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.

3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.

4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.

5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.

6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.

7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.

8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.

9. Metodo di Gauss
Applicazioni del metodo di Gauss. Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.

10. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio

11. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.

12. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.

13. Dipendenza e indipendenza lineare

14. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.

15. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.

16. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.

17. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.

18. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.

19. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.

20. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.

21. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.

22. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

G. Accascina e V. Monti,
"Geometria"