Università Roma Tre

0. Serie numeriche
Definizione e criteri di convergenza.

1. Successioni e serie di funzioni
Convergenza puntuale, convergenza uniforme.
Convergenza totale di serie di funzioni.
Serie di potenze, serie di Fourier.

2. Funzioni di n variabili reali
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza,
topologia standard, compattezza in Rn .

Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass.
Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate direzionali.
Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz. Funzioni
Ck, regola della catena . Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi
Matrici definite positive.
Prop: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti
critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.

3. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle
funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach.
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach.
Teorema della funzione implicita e della funzione inversa.

Analisi Matematica II, Giusti - Analisi Matematica II, Chierchia

Parte 1: Assiomatica di R e suoi sottoinsiemi principali
Definizione assiomatica di R.
Insiemi induttivi; definizione di N e principio di induzione.
Definizione di Z e Q; Z è un anello, Q è un campo.
Radici ennesime; potenze razionali.

Parte 2: Teoria dei limiti
La retta estesa R*: intervalli, intorni e punti di accumulazione.
Limiti di funzioni in R*.
Teoremi di confronto.
Limiti laterali; limiti di funzioni monotone.
Algebra dei limiti su R e R*.
Limite di composizione di funzioni.
Limiti di funzioni inverse.
Limiti notevoli. Il numero di Nepero.
Funzioni esponenziali e trigonometriche.

Parte 3: Funzioni continue
Topologia di R.
Teorema di esistenza degli zeri.
Teoremi di Bolzano-Weierstrass.
Teorema di Weierstrass.
Funzioni uniformemente continue.

Parte 4: Funzioni derivabili
Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari.
Minimi e massimi locali e teoremi elementari sulle derivate (Fermat, Rolle, Cauchy,
Lagrange).
Teorema di Bernoulli-Hopital.
Convessità.
Formule di Taylor.

Parte 5: Integrale di Riemann in R
L’integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali.
Criteri di integrabilità. Integrabilità di funzioni continue e monotone.
Il Teorema fondamentale del calcolo e sue applicazioni
(integrazione per parti, cambi di variabile nell’integrazione).
Integrali generalizzati (“impropri”) e relativi criteri di integrabilità.

Luigi Chierchia: Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R
McGraw-Hill Education Collana: Collana di istruzione scientifica
Data di Pubblicazione: giugno 2019
EAN: 9788838695438 ISBN: 8838695431
Pagine: XI-374 Formato: brossura
https://www.mheducation.it/9788838695438-italy-corso-di-analisi-prima-parte

Testi di esercizi:
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010